Deseja-se construir um resisto de 20 \Omega, usando fio de cobre com seção de 1,0 \mathrm{~mm}^{2} e um outro, de mesmo valor, porém feito com um fio de níquel-cromo de mesma seção do fio de cobre. Calcule o comprimento que cada resistor de fio terá. ( \rho do NiCr =100 \times 10^{-8} \Omega m; \rho do cobre 1,72 \times 10^{-8} \Omega m, ambos a 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o comprimento de dois resistores de 20\\ \Omega feitos com fio maciço de mesma seção ( 1{,}0\\ \mathrm{mm}^2), sendo um fio de cobre e outro de níquel-cromo (NiCr). Queremos o comprimento de cada fio para que sua resistência valha 20\\ \Omega.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como foram dados):
R=20\\ \Omega
\text{seção }A=1{,}0\\ \mathrm{mm}^2çã
\rho_{\text{NiCr}}=100\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
\rho_{\text{Cu}}=1{,}72\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
O que eu vou calcular: os comprimentos L_{\text{Cu}} e L_{\text{NiCr}} em metros.

Passo 2

Principío físico e fórmula que vamos usar: a resistência elétrica de um fio homogêneo e cilíndrico (ou de qualquer forma de seção constante) é dada por
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (unidade: \Omega\cdot\mathrm{m});
  • L é o comprimento do fio (unidade: \mathrm{m});
  • A é a área da seção transversal (unidade: \mathrm{m}^2);
  • R é a resistência elétrica (unidade: \Omega).
Explicando em palavras simples: resistividade \rho mede quanto o material “opõe” passagem de corrente por unidade de comprimento e área. Quanto maior \rho, mais curto deve ser o fio para atingir a mesma resistência, e vice-versa.

Passo 3

Isolando L da fórmula para poder calcular o comprimento a partir de R, temos:
L=\frac{R A}{\rho}.
Vou usar essa expressão para cada material. Antes, preciso colocar todas as grandezas nas mesmas unidades (SI).

Passo 4

Converter a área de seção de \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2. Lembre que 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}, logo 1\\ \mathrm{mm}^2=(10^{-3})^2=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2. Assim:
A=1{,}0\\ \mathrm{mm}^2=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Também simplifico a resistividade do NiCr:
\rho_{\text{NiCr}}=100\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}=1{,}00\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Mantemos a do cobre conforme dada:
\rho_{\text{Cu}}=1{,}72\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular o comprimento do resistor de NiCr. Substituímos na fórmula L=\dfrac{R A}{\rho}:
L_{\text{NiCr}}=\frac{20\cdot(1{,}0\times10^{-6})}{1{,}00\times10^{-6}}\\ \mathrm{m}.
Agora simplifico passo a passo:
L_{\text{NiCr}}=\frac{20\times1{,}0\times10^{-6}}{1{,}0\times10^{-6}}=\frac{20}{1{,}0}=20\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: como a resistividade do NiCr é igual à área (em potências de dez) nesta combinação, cancela e sobra 20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular o comprimento do resistor de cobre. Substituindo:
L_{\text{Cu}}=\frac{20\cdot(1{,}0\times10^{-6})}{1{,}72\times10^{-8}}\\ \mathrm{m}.
Faço a divisão com cuidado, mostrando passos intermediários para você poder replicar sem calculadora (ou com uma calculadora básica):
\frac{1{,}0\times10^{-6}}{1{,}72\times10^{-8}}=\frac{1{,}0}{1{,}72}\times10^{2}.
Explicando: ao dividir 10^{-6} por 10^{-8} obtemos 10^{2}=100. Então:
L_{\text{Cu}}=20\cdot\left(\frac{1{,}0}{1{,}72}\times10^{2}\right)\\ \mathrm{m}.
Calculo a fração \dfrac{1{,}0}{1{,}72}:
\frac{1{,}0}{1{,}72}\approx0{,}5813953.
Multiplico por 20 e por 10^{2}=100:
L_{\text{Cu}}=20\times0{,}5813953\times100\\ \mathrm{m}=11{,}627906\times100\\ \mathrm{m}=1162{,}7906\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável para uma casa decimal (suficiente para dimensões práticas):
L_{\text{Cu}}\approx1162{,}8\\ \mathrm{m}.
Interpretação: como o cobre tem resistividade muito menor que o NiCr, precisa de um fio muito mais longo para atingir a mesma resistência.

Passo 7

Comentário prático e checagem: os resultados fazem sentido físico — NiCr tem resistividade \sim1{,}0\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} (muito maior), então só precisa de 20\\ \mathrm{m}. O cobre, com resistividade muito baixa ( 1{,}72\times10^{-8}), precisa de um fio da ordem de quilômetros para alcançar 20\\ \Omega (aqui ficou \approx1{,}16\\ \mathrm{km}). É sempre bom conferir unidades: usamos \mathrm{m} em tudo, portanto o resultado está em metros.
Força aí — você já tem os passos práticos para aplicar essa fórmula em qualquer outro problema semelhante!

Resposta

L_{\text{Cu}}=1162{,}8\\ \mathrm{m}
L_{\text{NiCr}}=20\\ \mathrm{m}

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