Deseja-se determinar o diâmetro médio da roseta de bromélias expostas ao sol. Acredita-se que o diâmetro médio de uma roseta distribui-se normalmente. Em uma amostra de 20 bromélias, obteve-se diâmetro médio de 6,98 cm com variabilidade de 1,528 cm.
Estime o diâmetro médio da roseta foliar utilizando um intervalo de 90 % de confiança.

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística, especificamente sobre intervalos de confiança para a média de uma população. O enunciado nos dá uma amostra de 20 bromélias com diâmetro médio de 6,98 , cm e uma variabilidade (desvio padrão) de 1,528 , cm. Nosso objetivo é estimar o diâmetro médio da roseta foliar com um intervalo de confiança de 90%.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo dentro do qual acreditamos que a média verdadeira da população está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 90%).

Passo 3

Como a distribuição do diâmetro é normal e temos uma amostra pequena (n = 20), vamos usar a distribuição t de Student para calcular o intervalo de confiança.

Passo 4

A fórmula para o intervalo de confiança é:
Média pm talpha/2, n-1 times (sraizn) é
Onde:
  • Média = 6,98 , cmé
  • s = 1,528 , cm (desvio padrão da amostra)
  • n = 20 (tamanho da amostra)
  • talpha/2, n-1 é o valor crítico da distribuição t para um intervalo de confiança de 90% e 19 graus de liberdade (n - 1).

Passo 5

Primeiro, vamos determinar o valor crítico talpha/2, n-1. Para um intervalo de confiança de 90%, alpha = 0,10, então alpha/2 = 0,05. Consultando uma tabela t de Student ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
t0,05, 19 approx 1,729

Passo 6

Agora, calculamos o erro padrão da média:
Erro padrão = sraizn = 1,528raiz20 approx 1,5284,472 approx 0,341 , cm ã

Passo 7

Multiplicamos o valor crítico pelo erro padrão:
1,729 times 0,341 approx 0,589 , cm

Passo 8

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média amostral:
6,98 , cm pm 0,589 , cm
Isso resulta em:
6,98 - 0,589 = 6,391 , cm
6,98 + 0,589 = 7,569 , cm

Resposta

O diâmetro médio da roseta foliar está estimado entre 6,39 cm e 7,57 cm com 90% de confiança.

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