Um pesquisador está investigando o comprimento da concha de certa espécie de molusco. Para isso, ele mediu 60 conchas e verificou que o comprimento médio foi de 30,5 mm. Consultando a literatura científica, o pesquisador descobriu que o desvio padrão populacional para o comprimento da concha é de 3,1 mm. Com base nessas informações, obtenha o intervalo de 90 % confiança para o comprimento da concha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um pesquisador que mediu o comprimento de 60 conchas de moluscos, encontrou uma média de 30,5 , mm e sabe que o desvio padrão da população é 3,1 , mm. O que precisamos fazer é calcular o intervalo de confiança de 90% para o comprimento das conchas. Isso quer dizer que vamos estimar um intervalo onde temos 90% de certeza que a média verdadeira das conchas está dentro desse intervalo. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente intervalos de confiança para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a fórmula para calcular o intervalo de confiança quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
IC = barx pm z ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado,
  • sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de z que corresponde a um intervalo de confiança de 90%. Como a distribuição normal é simétrica, vamos dividir o nível de significância ( 1 - 0,90 = 0,10) igualmente nas duas caudas da distribuição. Então, cada cauda terá 0,05.
Consultando a tabela da distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de z para 90% de confiança é aproximadamente 1,645.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é sigmaraizn:
Erro padrão = 3,1raiz60 approx 3,17,746 approx 0,4 , mm ã
Agora, multiplicamos o valor de z pelo erro padrão:
1,645 times 0,4 approx 0,658 , mm
Esse valor é o margem de erro que vamos adicionar e subtrair da média da amostra.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
Limite inferior = 30,5 - 0,658 approx 29,842 , mm
Limite superior = 30,5 + 0,658 approx 31,158 , mm

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para o comprimento da concha é aproximadamente 29,84 mm a 31,16 mm.

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