Para os camarões de certa espécie serem considerados adultos, devem apresentar um comprimento maior ou igual a 22 mm . Em uma população de camarões, a média do comprimento é igual a 27,3 mm e variabilidade é de 7,8 mm.
Qual é a probabilidade de, em uma amostra de 102 camarões, obter uma média amostral do comprimento menor que 25 mm ? Você fez alguma suposição para chegar a sua resposta? Se sim, indique-a.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre camarões adultos que têm comprimento maior ou igual a 22 mm. A média do comprimento desses camarões na população é de 27,3 mm, com uma variabilidade de 7,8 mm. Nossa matéria aqui é Estatística, mais especificamente sobre distribuição da média amostral. Vamos precisar usar o Teorema Central do Limite para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que queremos encontrar: a probabilidade de que, em uma amostra de 102 camarões, a média do comprimento seja menor que 25 mm.

Passo 3

Vamos usar o Teorema Central do Limite, que nos diz que, para uma amostra grande, a distribuição da média amostral será aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. Isso é válido aqui porque nossa amostra é grande (102 camarões).

Passo 4

Precisamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (σₓ̄) é dado por:
σₓ̄ = σraizn
Onde:
  • σ é o desvio padrão da população (7,8 mm)
  • n é o tamanho da amostra (102)
Vamos calcular:
σₓ̄ = 7,8raiz102 approx 7,810,10 approx 0,772 mm

Passo 5

Agora, vamos padronizar o valor que nos interessa (25 mm) usando a fórmula do escore z:
z = barx - μσₓ̄
Onde:
  • barx é a média amostral (25 mm)
  • μ é a média da população (27,3 mm)
  • σₓ̄ é o erro padrão (0,772 mm)
Calculando:
z = 25 - 27,30,772 approx -2,30,772 approx -2,98

Passo 6

Com o valor de z calculado, agora consultamos a tabela da distribuição normal padrão ou usamos uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a z = -2,98.
A probabilidade de z ser menor que -2,98 é aproximadamente 0,0014, ou 0,14%.

Passo 7

Sobre as suposições: Sim, supus que a distribuição dos comprimentos dos camarões é aproximadamente normal ou que a amostra é grande o suficiente para aplicar o Teorema Central do Limite, o que permite que a média amostral siga uma distribuição normal.

Resposta

A probabilidade de obter uma média amostral do comprimento menor que 25 mm em uma amostra de 102 camarões é aproximadamente 0,14%.

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