Deseja-se especificar um termômetro para o monitoramento de uma dada reação térmica, cuja temperatura tem um comportamento de um sinal periódico simples, sendo que a frequência deste sinal pode variar entre 1 Hz e 5 Hz . Existem no mercado diferentes sensores, cuja a diferença básica está na constante de tempo tau. Baseado na constante de tempo selecione um sensor adequado, assumindo que um erro dinâmico de +/- 3 % é aceitável.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão tá pedindo: precisamos escolher um termômetro (sensor) que meça direitinho uma temperatura que varia como uma onda senoidal entre 1 Hz e 5 Hz. Os sensores do mercado têm resposta de primeira ordem com constante de tempo τ diferente. Queremos que o erro dinâmico (de amplitude) seja no máximo ±3 %. Então, a ideia é usar a fórmula de resposta em frequência de um sistema de primeira ordem e achar pra que τ esse erro fica ≤3 %.
Matéria envolvida: resposta em frequência de sistemas de primeira ordem. Vamos precisar da relação entre ganho em regime permanente para entrada senoidal e τ.

Passo 2

Primeiro, a teoria básica: um sensor de primeira ordem tem função de transferência
G(s) = 1tau s + 1
Para uma entrada senoidal de frequência angular M(omega) = l|G(jomega)r| = 1raiz1 + (omega tau)^2, , o ganho em módulo (fator de atenuação) é
erro = l(1 - M(omega)r)times 100%
Isso significa que, se a temperatura variar tipo , a saída vai ser . O erro dinâmico em amplitude, em porcentagem, é

Passo 3

Como aceitamos até ±3 % de erro, queremos:
1 - M(omega) <= 0.03 Longrightarrow M(omega) >= 0.97
Substituindo o 1raiz1 + (omega tau)^2 >= 0.97 Longrightarrow raiz1 + (omega tau)^2 <= 10.97 :
1 + (omega tau)^2 <= 10.97^2 Longrightarrow (omega tau)^2 <= 10.97^2 - 1
Elevando ao quadrado:

Passo 4

A frequência máxima é 5 Hz, então 10.97^2 - 1 = 10.9409 - 1 approx 1.0632 - 1 = 0.0632 . Vamos calcular:
omega^2 tau^2 <= 0.0632 Longrightarrow tau <= raiz0.0632omegamax = 0.251410pi approx 0.0080 s
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Resposta

Escolha um sensor com constante de tempo τ menor ou igual a 8 ms (0,008 s) para garantir erro dinâmico de até ±3 % nas frequências de 1 a 5 Hz.

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