No processo de calibração de um dado instrumento de 1^0 ordem, o mesmo é submetido a uma entrada degrau, que vai instantaneamente de 0 a 100 unidades. Após 1.2 s , o
instrumento indica 80 unidades, estimar a constante de tempo do instrumento. Estimar a leitura após um tempo de 1.5 s . Assumir que qo(t=0)=0 unidades.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo. Temos um instrumento de 1ª ordem que recebe um degrau de 0 para 100 unidades instantaneamente. A resposta do instrumento num tempo de 1,2 s é 80 unidades. Precisamos:
  1. Achar a constante de tempo τ desse instrumento.
  2. Calcular qual vai ser a indicação dele em t = 1,5 s.
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de 1ª ordem. Fórmula básica:

Vamos usar esse modelo e achar τ e depois a leitura em 1,5 s.

Passo 2

Primeiro, escreve a equação de resposta ao degrau, sabendo que o valor final q(t) = 100;l(1 - e^-t/taur) é 100 e que 80 = 100;l(1 - e^-1,2/taur) :
0,8 = 1 - e^-1,2/tau
No instante e^-1,2/tau = 1 - 0,8 = 0,2 ,s, sabemos que -,1,2tau = ln(0,2) . Substitui na fórmula:
tau = -1,2ln(0,2)
Agora isola o expoente:
  1. Divide os dois lados por 100:
  1. Passa o expoente para um lado:
  1. Aplica logaritmo natural:
  1. Logo,

Passo 3

Calcula numericamente:
ln(0,2) approx -1,6094 Longrightarrow tau = -1,2-1,6094 approx 0,745 s
Beleza, já temos a constante de tempo.

Passo 4

Agora, vamos achar a leitura em q(t) = 100;l(1 - e^-t/taur) ,s. Usa de novo
q(1,5) = 100;l(1 - e^-1,5/0,745r)
com -1,50,745 approx -2,0134 Longrightarrow e^-2,0134 approx 0,1336 ,s e q(1,5) = 100,(1 - 0,1336) = 100 times 0,8664 approx 86,64 unidades ,s:
Calcula o expoente:
Então

Resposta

Constante de tempo .
Leitura em ,s: unidades.

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