Uma entrada rampa qi(t)=llq0=0 & t <= 0 barqi s t & t >0 é aplicada em um instrumento de 1^0 ordem. Pedese:
b-) Calcular as componentes (transiente e permanente ) do erro de medida em

Passo 1

O enunciado diz que a gente aplica uma entrada rampa
qi(t)=0,&t<=0bar qis,t,&t>0
num instrumento de 1ª ordem e pede pra calcular a componente transitória e a componente permanente (ou “de regime”) do erro de medição
em(t)=qi(t)-qo(t),
O que vamos usar:
  • Modelo de 1ª ordem (equação diferencial ou função de transferência).
  • Transformada de Laplace pra obter saída e erro no domínio de .
  • Frações parciais e transformada inversa de Laplace pra voltar a .

Passo 2

Primeiro, o modelo do instrumento de 1ª ordem com ganho estático taudqodt+qo=qi, e constante de tempo Qo(s)=1tau s+1;Qi(s), é
qi(t)=bar qis,tlongrightarrow Qi(s)=bar qiss^2,
Em Laplace isso vira
Como a entrada é rampa de taxa ,

Passo 3

Aí o erro em E(s)=Qi(s)-Qo(s)=Qi(s)l[1-tfrac1tau s+1r] =bar qiss^2,tau s+1-1tau s+1 =bar qis,taus^2(tau s+1), é
bar qis,taus^2(tau s+1) =As+Bs^2+Ctau s+1,
Agora quebramos em frações parciais:
A=bar qis,tau, B=0, C=-bar qis,tau^2
Multiplicando tudo por e igualando coeficientes, acha-se

Passo 4

Voltando pra em(t)=Acdot1 + Bcdot t + Ccdot e^-t/tau =bar qis,tau -bar qis,tau^2;e^-t/tau,1tau =bar qis,taul[1 - e^-t/taur] pela transformada inversa:

Resposta

  • Componente transitória do erro: etrans(t)=-bar qis,tau;e^-t/tau
    - Componente permanente (erro em regime):
    eperm=limttoinftyem(t)=bar qis,tau

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