Deseja-se estimar o tempo médio gasto por crianças de uma certa idade para realizarem uma tarefa. Para isso, seleciona-se uma amostra aleatória de 81 crianças e verifica-se que elas gastam, em média, 40 minutos para concluir a tarefa. O desvio padrão dessa amostra foi S=12 minutos. Admita que a variável tempo de realização da tarefa seja normal.
Determine o intervalo de confiança de 98 \% para a média da população

Passo 1

O enunciado pede que se determine o intervalo de confiança de 98\% para a média populacional do tempo que crianças gastam para realizar a tarefa. As informações fornecidas são:
  • Tamanho da amostra: n=81.
  • Média amostral: \bar{X}=40 minutos.
  • Desvio padrão amostral: S=12 minutos.
  • Suposição: a variável tempo é normalmente distribuída.
As perguntas a responder:
  • Calcular o intervalo de confiança de 98\% para a média populacional \mu.

Passo 2

Qual fórmula usar? Quando a distribuição da população é normal e o desvio padrão populacional \sigma é desconhecido (temos apenas S), o intervalo de confiança para a média usa a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A fórmula geral é:
\bar{X} \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{X}=40).
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade tal que a área à direita é \alpha/2. Para nível de confiança 1-\alpha usamos \alpha=0,02 no caso de 98\%, então \alpha/2=0,01.
  • S é o desvio padrão amostral (aqui S=12).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra; \sqrt{81}=9.
  • O termo \dfrac{S}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error), que mede a variabilidade esperada da média amostral.
Breve “aula” sobre por que usamos t: quando \sigma é desconhecido, a razão \dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} segue a distribuição t (e não a normal padrão), o que ajusta a incerteza adicional introduzida pela estimativa S. Para amostras grandes o t aproxima-se da normal; para n=81 já estamos em uma situação bem próxima, mas o procedimento correto é usar t com n-1=80 graus de liberdade.

Passo 3

Determinar os parâmetros numéricos:
  • Nível de confiança: 98\%\Rightarrow \alpha=0,02 e \alpha/2=0,01.
  • Graus de liberdade: n-1=81-1=80.
  • Erro padrão: calcular \dfrac{S}{\sqrt{n}}:
\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{81}}=\frac{12}{9}= \frac{12}{9}=1,\overline{3}\\ \text{minutos} \quad(\text{ou }1,333\ldots)

Passo 4

Achar o valor crítico t_{0,01,\;80}. Consultando uma tabela da distribuição t (ou calculadora estatística), obtém-se aproximadamente
t_{0,01,\;80}\approx 2{,}374.
(obs.: esse valor vem da tabela t para área de cauda 0,01 e 80 graus de liberdade.)

Passo 5

Calcular a margem de erro (meia‑largura do intervalo):
\text{margem} = t_{0,01,\;80}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}} \approx 2{,}374 \times 1{,}333\ldots
Fazendo a multiplicação passo a passo:
1{,}333\ldots = \frac{4}{3}.
\text{margem} \approx 2{,}374 \times \frac{4}{3} = 2{,}374 \times 1{,}333\ldots \approx 3{,}1653.
Arredondando a margem para duas casas decimais obtemos 3{,}17 minutos (para apresentação usual).

Passo 6

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem da média amostral:
\text{limite inferior} = \bar{X} - \text{margem} \approx 40 - 3{,}1653 \approx 36{,}8347,
\text{limite superior} = \bar{X} + \text{margem} \approx 40 + 3{,}1653 \approx 43{,}1653.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios), o intervalo fica [36{,}83,\;43{,}17] minutos.

Passo 7

Interpretação curta e motivadora: com base nesta amostra de 81 crianças, pode‑se afirmar com 98\% de confiança que a média populacional do tempo para realizar a tarefa está entre aproximadamente 36{,}83 e 43{,}17 minutos. Isso significa que se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de 98\% dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira média populacional — então está valendo para a prova e para decisões baseadas nesse dado! Força aí, tá indo bem.

Resposta

[36{,}83,\;43{,}17]

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