Deseja-se estimar o tempo médio gasto por crianças de uma certa idade para realizarem uma tarefa. Para isso, seleciona-se uma amostra aleatória de 81 crianças e verifica-se que elas gastam, em média, 40 minutos para concluir a tarefa. O desvio padrão dessa amostra foi
minutos. Admita que a variável tempo de realização da tarefa seja normal.
Determine o intervalo de confiança de
para a média da população
Determine o intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado pede que se determine o intervalo de confiança de
para a média populacional do tempo que crianças gastam para realizar a tarefa. As informações fornecidas são:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
minutos. - Desvio padrão amostral:
minutos. - Suposição: a variável tempo é normalmente distribuída.
As perguntas a responder:
- Calcular o intervalo de confiança de
para a média populacional .
Passo 2
Qual fórmula usar? Quando a distribuição da população é normal e o desvio padrão populacional
é desconhecido (temos apenas
), o intervalo de confiança para a média usa a distribuição
de Student com
graus de liberdade. A fórmula geral é:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade tal que a área à direita é . Para nível de confiança usamos no caso de , então . -
é o desvio padrão amostral (aqui ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra; . - O termo
é o erro padrão da média (standard error), que mede a variabilidade esperada da média amostral.
Breve “aula” sobre por que usamos
: quando
é desconhecido, a razão
segue a distribuição
(e não a normal padrão), o que ajusta a incerteza adicional introduzida pela estimativa
. Para amostras grandes o
aproxima-se da normal; para
já estamos em uma situação bem próxima, mas o procedimento correto é usar
com
graus de liberdade.
Passo 3
Determinar os parâmetros numéricos:
- Nível de confiança:
e . - Graus de liberdade:
. - Erro padrão: calcular
:
Passo 4
Achar o valor crítico
. Consultando uma tabela da distribuição
(ou calculadora estatística), obtém-se aproximadamente
(obs.: esse valor vem da tabela
para área de cauda
e 80 graus de liberdade.)
Passo 5
Calcular a margem de erro (meia‑largura do intervalo):
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Arredondando a margem para duas casas decimais obtemos
minutos (para apresentação usual).
Passo 6
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem da média amostral:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em relatórios), o intervalo fica
minutos.
Passo 7
Interpretação curta e motivadora: com base nesta amostra de
crianças, pode‑se afirmar com
de confiança que a média populacional do tempo para realizar a tarefa está entre aproximadamente
e
minutos. Isso significa que se repetíssemos o procedimento muitas vezes, cerca de
dos intervalos construídos dessa forma conteriam a verdadeira média populacional — então está valendo para a prova e para decisões baseadas nesse dado! Força aí, tá indo bem.