Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte-americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libras. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de
para a média.
Passo 1
O enunciado pede que se construa um intervalo de confiança de
para a média populacional. As informações fornecidas são:
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
libras por dia. - Desvio-padrão amostral:
libras por dia. - Supõe-se que a variável seja normalmente distribuída.
O que se pede: um intervalo de confiança de
para a média verdadeira
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
Quando a amostra é pequena e o desvio-padrão populacional é desconhecido (aqui só temos
), a distribuição adequada para construir o intervalo de confiança é a distribuição
de Student. Essa distribuição é parecida com a normal, mas tem caudas mais pesadas; a forma depende dos graus de liberdade. Os graus de liberdade são
Quando a amostra é pequena e o desvio-padrão populacional
No nosso caso,
Fórmula do intervalo de confiança (fórmula e significado das variáveis):
O intervalo de confiança de nível para a média é dado por
O intervalo de confiança de nível
onde:
-
é a média amostral (a nossa estimativa pontual), -
é o quantil superior da distribuição com graus de liberdade (ou seja, o valor tal que a área à sua direita é ), -
é o desvio-padrão amostral, -
é o tamanho da amostra, -
é o erro-padrão da média (desvio padrão da média amostral).
Passo 3
Calcular os parâmetros do intervalo:
Nível de confiança significa
e
. Precisamos do valor crítico
Nível de confiança
Consultando uma tabela
(ou calculadora estatística) para
e área superior
, obtém-se aproximadamente
(Essa é a entrada da tabela
para probabilidade de cauda superior
e
graus de liberdade.)
Passo 4
Calcular o erro-padrão da média (passo-a-passo para fazer sem calculadora):
O erro-padrão é
O erro-padrão é
Calcule
:
Agora
Explanação curta: dividir
por cerca de
dá aproximadamente
; assim é razoável fazer essa conta à mão com divisão longa ou aproximação.
Passo 5
Calcular a margem de erro
:
Interpretação: a média amostral
pode variar cerca de
para cima ou para baixo para formar o intervalo de confiança de
.
Passo 6
Construir o intervalo de confiança (contas explícitas):
Limite inferior:
Limite inferior:
Limite superior:
Arredondando para duas casas decimais (opção comum em provas):
Passo 7
Interpretação final curta e encorajamento:
Isso significa que, com de confiança (no sentido de procedimento), o verdadeiro valor médio de lixo reciclado por dia por adulto norte-americano está entre aproximadamente
e
libras. Ótimo trabalho por chegar até aqui — você entendeu o raciocínio para montar intervalos quando
é desconhecido!
Isso significa que, com