Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte-americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libras. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90 \% para a média.

Passo 1

O enunciado pede que se construa um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional. As informações fornecidas são:
  • Tamanho da amostra: n=13.
  • Média amostral: \bar{x}=4,3 libras por dia.
  • Desvio-padrão amostral: s=0,3 libras por dia.
  • Supõe-se que a variável seja normalmente distribuída.
O que se pede: um intervalo de confiança de 90\% para a média verdadeira \mu.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
Quando a amostra é pequena e o desvio-padrão populacional \sigma é desconhecido (aqui só temos s), a distribuição adequada para construir o intervalo de confiança é a distribuição t de Student. Essa distribuição é parecida com a normal, mas tem caudas mais pesadas; a forma depende dos graus de liberdade. Os graus de liberdade são
\text{gl}=n-1.
No nosso caso,
\text{gl}=13-1=12.
Fórmula do intervalo de confiança (fórmula e significado das variáveis):
O intervalo de confiança de nível 1-\alpha para a média é dado por
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (a nossa estimativa pontual),
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade (ou seja, o valor tal que a área à sua direita é \alpha/2),
  • s é o desvio-padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra,
  • \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro-padrão da média (desvio padrão da média amostral).

Passo 3

Calcular os parâmetros do intervalo:
Nível de confiança 90\% significa \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. Precisamos do valor crítico
t_{0,05,\;12}.
Consultando uma tabela t (ou calculadora estatística) para \text{gl}=12 e área superior 0,05, obtém-se aproximadamente
t_{0,05,\;12}\approx 1,782.
(Essa é a entrada da tabela t para probabilidade de cauda superior 0,05 e 12 graus de liberdade.)

Passo 4

Calcular o erro-padrão da média (passo-a-passo para fazer sem calculadora):
O erro-padrão é
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}.
Calcule \sqrt{n}:
\sqrt{13}\approx 3,605551.
Agora
\text{SE}=\frac{0,3}{3,605551}\approx 0,083138.
Explanação curta: dividir 0,3 por cerca de 3,6 dá aproximadamente 0,083; assim é razoável fazer essa conta à mão com divisão longa ou aproximação.

Passo 5

Calcular a margem de erro E:
E=t_{0,05,\;12}\cdot\text{SE}\approx 1,782\cdot 0,083138\approx 0,148.
Interpretação: a média amostral 4,3 pode variar cerca de 0,148 para cima ou para baixo para formar o intervalo de confiança de 90\%.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança (contas explícitas):
Limite inferior:
\bar{x}-E=4,3-0,148\approx 4,152.
Limite superior:
\bar{x}+E=4,3+0,148\approx 4,448.
Arredondando para duas casas decimais (opção comum em provas):
(4,15,\\\ 4,45).

Passo 7

Interpretação final curta e encorajamento:
Isso significa que, com 90\% de confiança (no sentido de procedimento), o verdadeiro valor médio de lixo reciclado por dia por adulto norte-americano está entre aproximadamente 4,15 e 4,45 libras. Ótimo trabalho por chegar até aqui — você entendeu o raciocínio para montar intervalos quando \sigma é desconhecido!

Resposta

\left(4,15,\\\ 4,45\right)

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