Um analista deseja estimar a proporção das vendas de um detergente x em relação à venda total de todos os detergentes. Pelos dados fornecidos por vários supermercados, o analista conclui que, de um total de 300 caixas de detergentes vendidas, em um dia, 50 são da marca x . Determine o intervalo de 95 \% de confiança para a parcela do mercado detida pelo detergente x.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede um único resultado:
  • Número total de caixas vendidas: n=300.
  • Número de caixas da marca x: X=50.
  • Pedido: determinar o intervalo de 95\% de confiança para a parcela (proporção) do mercado detida pelo detergente x.

Passo 2

Calcular a proporção amostral (estimador pontual) \hat{p}.
\hat{p}=\frac{X}{n}=\frac{50}{300}=\frac{1}{6}\approx 0,1666667.
Explicação didática: \hat{p} é a nossa melhor estimativa da proporção verdadeira p com base na amostra. Ela é simplesmente a razão entre o número de sucessos (vendas da marca x) e o tamanho da amostra.

Passo 3

Verificar se a aproximação normal para o erro padrão é válida (condição prática).
Calcular n\hat{p} e n(1-\hat{p}):
n\hat{p}=300\cdot\frac{1}{6}=50, \qquad n(1-\hat{p})=300\cdot\frac{5}{6}=250.
Como ambos são maiores que 5, a aproximação por normal é adequada e podemos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição normal.

Passo 4

Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (explicar cada termo).
A fórmula do intervalo de confiança a nível de confiança 1-\alpha é
\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Explicando os símbolos:
  • \hat{p}: proporção amostral (estimativa pontual).
  • z_{\alpha/2}: quantil da distribuição normal padrão que deixa \alpha/2 em cada cauda (para 95\% de confiança, veremos o valor).
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}: erro padrão de \hat{p} (medida de variabilidade da estimativa).

Passo 5

Determinar z_{\alpha/2} para 95\% de confiança.
Para nível de 95\% tem-se \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
z_{0,025}=1,96.
Breve justificativa: esse valor é tabelado ou lembrado como o valor usual para 95% em problemas de estatística básica.

Passo 6

Calcular o erro padrão passo a passo e a margem de erro.
Primeiro, calcular \hat{p}(1-\hat{p}) exatamente usando frações:
\hat{p}(1-\hat{p})=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}.
Dividindo por n:
\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\frac{5}{36\cdot 300}=\frac{5}{10800}=\frac{1}{2160}.
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
\sqrt{\frac{1}{2160}}\approx 0,021515.
Margem de erro (multiplicando pelo z crítico):
\text{margem}=z_{0,025}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=1,96\cdot 0,021515\approx 0,04217.
Comentário didático: a margem de erro diz quanto, aproximadamente, a estimativa \hat{p} pode variar para cima ou para baixo devido ao acaso da amostra, com 95\% de confiança.

Passo 7

Calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança.
\text{limite inferior}=\hat{p}-\text{margem}\approx 0,1666667-0,04217\approx 0,12450.
\text{limite superior}=\hat{p}+\text{margem}\approx 0,1666667+0,04217\approx 0,20884.
Em porcentagem, isso corresponde aproximadamente a 12,45\% até 20,88\%.

Passo 8

Interpretação curta e encorajamento (didática).
Significa que, com base nessa amostra de 300 vendas, tem-se 95\% de confiança de que a verdadeira parcela do mercado ocupada pelo detergente x está entre aproximadamente 0,1245 e 0,2088 (ou entre 12,45\% e 20,88\%). Boa notícia: os cálculos foram feitos com passos que você pode reproduzir rapidamente em prova.

Resposta

\displaystyle \left(0,1245;\,0,2088\right)
\displaystyle 12,45\%\\ \text{a}\\\ 20,88\%

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