Um analista deseja estimar a proporção das vendas de um detergente x em relação à venda total de todos os detergentes. Pelos dados fornecidos por vários supermercados, o analista conclui que, de um total de 300 caixas de detergentes vendidas, em um dia, 50 são da marca x . Determine o intervalo de
de confiança para a parcela do mercado detida pelo detergente x.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede um único resultado:
- Número total de caixas vendidas:
. - Número de caixas da marca
: . - Pedido: determinar o intervalo de
de confiança para a parcela (proporção) do mercado detida pelo detergente .
Passo 2
Calcular a proporção amostral (estimador pontual)
.
Explicação didática:
é a nossa melhor estimativa da proporção verdadeira
com base na amostra. Ela é simplesmente a razão entre o número de sucessos (vendas da marca
) e o tamanho da amostra.
Passo 3
Verificar se a aproximação normal para o erro padrão é válida (condição prática).
Calcular e
:
Calcular
Como ambos são maiores que
, a aproximação por normal é adequada e podemos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição normal.
Passo 4
Apresentar a fórmula do intervalo de confiança para proporção (explicar cada termo).
A fórmula do intervalo de confiança a nível de confiança é
A fórmula do intervalo de confiança a nível de confiança
Explicando os símbolos:
-
: proporção amostral (estimativa pontual). -
: quantil da distribuição normal padrão que deixa em cada cauda (para de confiança, veremos o valor). -
: erro padrão de (medida de variabilidade da estimativa).
Passo 5
Determinar
para
de confiança.
Para nível de tem-se
e
. O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
Para nível de
Breve justificativa: esse valor é tabelado ou lembrado como o valor usual para 95% em problemas de estatística básica.
Passo 6
Calcular o erro padrão passo a passo e a margem de erro.
Primeiro, calcular exatamente usando frações:
Primeiro, calcular
Dividindo por
:
Agora a raiz quadrada (erro padrão):
Margem de erro (multiplicando pelo
crítico):
Comentário didático: a margem de erro diz quanto, aproximadamente, a estimativa
pode variar para cima ou para baixo devido ao acaso da amostra, com
de confiança.
Passo 7
Calcular os limites inferior e superior do intervalo de confiança.
Em porcentagem, isso corresponde aproximadamente a
até
.
Passo 8
Interpretação curta e encorajamento (didática).
Significa que, com base nessa amostra de vendas, tem-se
de confiança de que a verdadeira parcela do mercado ocupada pelo detergente
está entre aproximadamente
e
(ou entre
e
). Boa notícia: os cálculos foram feitos com passos que você pode reproduzir rapidamente em prova.
Significa que, com base nessa amostra de