Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de
. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de
, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
n
e
Limite de escoamento
Limite de Resistência
A redução de área máxima permitida por fieira é
O atrito nas fieiras é
CALCULE:
Força de trefilação na última fieira (kN)
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de
n
Limite de escoamento
Limite de Resistência
A redução de área máxima permitida por fieira é
O atrito nas fieiras é
Força de trefilação na última fieira (kN)
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem assumir nada extra).
O enunciado pede: calcular a força de trefilação na última fieira (em kN).
Dados fornecidos:
- Diâmetro inicial do fio (matéria-prima):
. - Diâmetro final desejado:
. - Número de fieiras/etapas disponíveis:
. - Redução de área máxima permitida por fieira:
(ou seja, cada fieira pode reduzir a área em até , se necessário). - Atrito nas fieiras:
. - Lei de Hollomon (tensão-verdadeira vs deformação-verdadeira):
com e . - Limite de escoamento
e limite de resistência (dados de referência para verificação de coerência dos esforços).
Observações importantes que extraio do enunciado:
- Não foi dada geometria da fieira (ângulo, comprimento de apoio), logo não há como calcular uma contribuição de atrito que dependa desses parâmetros de forma precisa. Vou portanto:
- distribuir a redução total em 10 passadas uniformes em termos de razão de áreas (isso respeita o limite de redução por fieira porque o valor encontrado será menor que
); e - calcular a força na última fieira considerando a tensão média de escoamento resultante da deformação verdadeira da última passagem e acrescentar uma correção simples para atrito (uma aproximação razoável quando não há dimensão de apoio da fieira). Vou explicar e justificar essa aproximação mais à frente.
- distribuir a redução total em 10 passadas uniformes em termos de razão de áreas (isso respeita o limite de redução por fieira porque o valor encontrado será menor que
Passo 2
Calcular a redução total em área necessária e a redução por passagem assumindo 10 passagens iguais em área.
Área está relacionada ao diâmetro por
. A razão entre áreas final e inicial é
Se usarmos 10 passagens idênticas em fator de manutenção de área
tal que
, então
Logo
Calculemos
. Tomando logaritmo,
portanto
A redução de área por passe (em fração) é
Essa redução por passe é menor que o máximo permitido
, logo a distribuição é válida.
Passo 3
Determinar as áreas e o diâmetro imediatamente anterior à última fieira (passagem 9 → 10) e a deformação verdadeira (verdadeira) na última passagem.
Seja
a área do fio após a última fieira (diâmetro final
). Então
Calculando numericamente (vou fazer em SI para a força em N):
. Então
A área imediatamente antes da última fieira (área de entrada da 10ª fieira), denotada
, é
portanto
O diâmetro antes da última fieira
satisfaz
. Numericamente já podia usar a relação entre diâmetros via
:
Calculemos
. Como
,
logo
Agora a deformação verdadeira na última passagem (de
para
) é a verdadeira de área:
Como já tínhamos
, segue
Observação prática: essa é a verdadeira deformação plástica aplicada no último passe (valor pequeno, cerca de
).
Passo 4
Calcular a tensão média de escoamento (tensão média verdadeira) na última passagem usando a lei de Hollomon.
Explicação didática curta: a equação de Hollomon dá a tensão verdadeira instantânea como função da deformação verdadeira instantânea:
onde
é a consistência do material (unidades de pressão) e
é o expoente de encruamento. Para obter a tensão média efetiva que “segura” o material durante uma deformação de
até
usamos a média aritmética na escala de deformação verdadeira, isto é:
Esta expressão dá a tensão média ponderada pela deformação verdadeira: faz sentido físico porque se
(material perfeitamente plástico,
constante) obtém-se
.
Aplicando aos números:
Calculemos
:
Numérico:
, então
e
Agora
Finalmente,
Verificação rápida de coerência: esse valor fica entre o limite de escoamento
e o limite de resistência
, o que é razoável para esforço de conformação em frio — portanto o resultado faz sentido.
Passo 5
Calcular a força de trefilação ideal (sem atrito) na última fieira.
Explicação didática curta: a força necessária para puxar o fio num regime plástico em estado estacionário (negligenciando perdas por atrito) é a tensão média multiplicada pela área do fio na saída da fieira (área menor,
), porque o esforço de tração age sobre a seção menor. Assim:
Já calculamos
e
. Logo:
Fazendo a conta:
Passo 6
Incluir uma correção aproximada para atrito (explicação e justificativa da aproximação usada).
Comentário e justificativa didática: para calcular a contribuição de atrito com precisão seria preciso conhecer a geometria da fieira (ângulo conico, comprimento de calha/apoio, pressão normal ao longo da superfície de contato etc.). Como estes dados não foram fornecidos, usa-se uma aproximação simples e conservadora: estima-se que a contribuição de atrito seja proporcional ao coeficiente de atrito
e à deformação verdadeira
da passagem, porque a área de contato efetiva e o deslocamento relativo ao longo do contato tendem a crescer com a extensão da deformação. Assim usamos um fator correção multiplicativo simples
Essa é uma aproximação prática e razoável quando
é pequeno (como é o caso aqui:
), e produz um incremento moderado do esforço devido ao atrito. (Obs.: para passagens grandes ou quando o comprimento de apoio é grande, seria necessário um modelo mais sofisticado.)
Vamos aplicar:
Logo
Passo 7
Converter a força para kN e comentar coerência.
Comentário amigável: a força é baixa porque o fio tem seção muito pequena (
). O resultado está coerente com a tensão média calculada e com a pequena deformação na última passagem. Se a fieira tivesse número de passagens menor (passos maiores), cada
seria maior e a força aumentaria (e aí a contribuição do atrito também seria relativamente maior).