Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de 0,2 \mathrm{~mm}. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de 0,32 \mathrm{~mm}, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
\sigma=\mathrm{k}
\epsilon
n
\mathrm{k}=1217(\mathrm{MPa}) e \mathrm{n}=0,13
Limite de escoamento =669 \mathrm{MPa}
Limite de Resistência =983 \mathrm{MPa}
A redução de área máxima permitida por fieira é \mathrm{RA}=14 \%
O atrito nas fieiras é \mu=0,14
CALCULE:
Força de trefilação na última fieira (kN)

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e os dados que temos (tudo que segue foi extraído do enunciado, sem assumir nada extra).
O enunciado pede: calcular a força de trefilação na última fieira (em kN).
Dados fornecidos:
  • Diâmetro inicial do fio (matéria-prima): d_{0}=0,32\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro final desejado: d_{f}=0,20\\ \mathrm{mm}.
  • Número de fieiras/etapas disponíveis: 10.
  • Redução de área máxima permitida por fieira: \mathrm{RA}_{\max}=14\% (ou seja, cada fieira pode reduzir a área em até 14\%, se necessário).
  • Atrito nas fieiras: \mu=0,14.
  • Lei de Hollomon (tensão-verdadeira vs deformação-verdadeira): \sigma=k\,\varepsilon^{n} com k=1217\\ \mathrm{MPa} e n=0,13.
  • Limite de escoamento =669\\ \mathrm{MPa} e limite de resistência =983\\ \mathrm{MPa} (dados de referência para verificação de coerência dos esforços).
Observações importantes que extraio do enunciado:
  • Não foi dada geometria da fieira (ângulo, comprimento de apoio), logo não há como calcular uma contribuição de atrito que dependa desses parâmetros de forma precisa. Vou portanto:
    • distribuir a redução total em 10 passadas uniformes em termos de razão de áreas (isso respeita o limite de redução por fieira porque o valor encontrado será menor que 14\%); e
    • calcular a força na última fieira considerando a tensão média de escoamento resultante da deformação verdadeira da última passagem e acrescentar uma correção simples para atrito (uma aproximação razoável quando não há dimensão de apoio da fieira). Vou explicar e justificar essa aproximação mais à frente.

Passo 2

Calcular a redução total em área necessária e a redução por passagem assumindo 10 passagens iguais em área.
Área está relacionada ao diâmetro por A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. A razão entre áreas final e inicial é
\frac{A_{f}}{A_{0}}=\left(\frac{d_{f}}{d_{0}}\right)^{2}=\left(\frac{0{,}20}{0{,}32}\right)^{2}=\left(0{,}625\right)^{2}=0{,}390625.
Se usarmos 10 passagens idênticas em fator de manutenção de área s tal que A_{i+1}=s\cdot A_{i}, então
s^{10}=\frac{A_{f}}{A_{0}}=0{,}390625.
Logo
s=\left(0{,}390625\right)^{1/10}.
Calculemos s. Tomando logaritmo,
\ln s=\frac{1}{10}\ln(0{,}390625)\approx\frac{1}{10}(-0{,}9400067)=-0{,}09400067,
portanto
s=\mathrm{e}^{-0{,}09400067}\approx 0{,}91030.
A redução de área por passe (em fração) é
\mathrm{RA}_{\text{passe}}=1-s\approx 1-0{,}91030=0{,}08970\approx 8{,}97\%.
Essa redução por passe é menor que o máximo permitido 14\%, logo a distribuição é válida.

Passo 3

Determinar as áreas e o diâmetro imediatamente anterior à última fieira (passagem 9 → 10) e a deformação verdadeira (verdadeira) na última passagem.
Seja A_{f} a área do fio após a última fieira (diâmetro final d_{f}=0{,}20\\ \mathrm{mm}). Então
A_{f}=\frac{\pi d_{f}^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}20\\ \mathrm{mm})^{2}}{4}.
Calculando numericamente (vou fazer em SI para a força em N): d_{f}=0{,}20\\ \mathrm{mm}=0{,}0002\\ \mathrm{m}. Então
A_{f}=\frac{\pi (0{,}0002)^{2}}{4}=\pi\times 1{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}=\pi\cdot10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 3{,}1416\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.
A área imediatamente antes da última fieira (área de entrada da 10ª fieira), denotada A_{p}, é
A_{p}=\frac{A_{f}}{s} \quad\text{(porque }A_{f}=s\cdot A_{p}\text{)},
portanto
A_{p}=\frac{A_{f}}{0{,}91030}\approx \frac{3{,}1416\times10^{-8}}{0{,}91030}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 3{,}450\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.
O diâmetro antes da última fieira d_{p} satisfaz d_{p}=\sqrt{4A_{p}/\pi}. Numericamente já podia usar a relação entre diâmetros via s:
d_{p}= \frac{d_{f}}{\sqrt{s}}.
Calculemos \sqrt{s}. Como s\approx0{,}91030,
\sqrt{s}\approx 0{,}95357,
logo
d_{p}=\frac{0{,}20}{0{,}95357}\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}20980\\ \mathrm{mm}.
Agora a deformação verdadeira na última passagem (de A_{p} para A_{f}) é a verdadeira de área:
\varepsilon=\ln\!\left(\frac{A_{p}}{A_{f}}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{s}\right)=-\ln s.
Como já tínhamos \ln s\approx -0{,}09400067, segue
\varepsilon\approx 0{,}0940007.
Observação prática: essa é a verdadeira deformação plástica aplicada no último passe (valor pequeno, cerca de 0{,}094).

Passo 4

Calcular a tensão média de escoamento (tensão média verdadeira) na última passagem usando a lei de Hollomon.
Explicação didática curta: a equação de Hollomon dá a tensão verdadeira instantânea como função da deformação verdadeira instantânea:
\sigma(\varepsilon)=k\,\varepsilon^{n},
onde k é a consistência do material (unidades de pressão) e n é o expoente de encruamento. Para obter a tensão média efetiva que “segura” o material durante uma deformação de 0 até \varepsilon usamos a média aritmética na escala de deformação verdadeira, isto é:
\sigma_{\text{média}}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon)\,d\varepsilon =\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon}k\,\varepsilon^{n}d\varepsilon =\frac{k}{\varepsilon}\cdot\frac{\varepsilon^{\,n+1}}{n+1} =\frac{k}{n+1}\,\varepsilon^{\,n}.é
Esta expressão dá a tensão média ponderada pela deformação verdadeira: faz sentido físico porque se n=0 (material perfeitamente plástico, \sigma=k constante) obtém-se \sigma_{\text{média}}=ké.
Aplicando aos números:
k=1217\\ \mathrm{MPa},\quad n=0{,}13,\quad \varepsilon\approx 0{,}0940007.
Calculemos \varepsilon^{n}:
\varepsilon^{n}=(0{,}0940007)^{0{,}13}=\mathrm{e}^{0{,}13\ln(0{,}0940007)}.
Numérico: \ln(0{,}0940007)\approx -2{,}3639, então 0{,}13\ln(\varepsilon)\approx -0{,}3073 e
\varepsilon^{n}\approx \mathrm{e}^{-0{,}3073}\approx 0{,}7356.
Agora
\frac{k}{n+1}=\frac{1217}{1{,}13}\\ \mathrm{MPa}\approx 1077{,}876\\ \mathrm{MPa}.
Finalmente,
\sigma_{\text{média}}=\frac{k}{n+1}\,\varepsilon^{n}\approx 1077{,}876\times0{,}7356\\ \mathrm{MPa}\approx 792{,}7\\ \mathrm{MPa}.é
Verificação rápida de coerência: esse valor fica entre o limite de escoamento 669\\ \mathrm{MPa} e o limite de resistência 983\\ \mathrm{MPa}, o que é razoável para esforço de conformação em frio — portanto o resultado faz sentido.

Passo 5

Calcular a força de trefilação ideal (sem atrito) na última fieira.
Explicação didática curta: a força necessária para puxar o fio num regime plástico em estado estacionário (negligenciando perdas por atrito) é a tensão média multiplicada pela área do fio na saída da fieira (área menor, A_{f}), porque o esforço de tração age sobre a seção menor. Assim:
F_{\text{ideal}}=A_{f}\,\sigma_{\text{média}}.é
Já calculamos A_{f}\approx 3{,}1416\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}} e \sigma_{\text{média}}\approx 792{,}7\\ \mathrm{MPa}=792{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}é. Logo:
F_{\text{ideal}}=3{,}1416\times10^{-8}\times792{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{N}.
Fazendo a conta:
F_{\text{ideal}}\approx 24{,}91\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Incluir uma correção aproximada para atrito (explicação e justificativa da aproximação usada).
Comentário e justificativa didática: para calcular a contribuição de atrito com precisão seria preciso conhecer a geometria da fieira (ângulo conico, comprimento de calha/apoio, pressão normal ao longo da superfície de contato etc.). Como estes dados não foram fornecidos, usa-se uma aproximação simples e conservadora: estima-se que a contribuição de atrito seja proporcional ao coeficiente de atrito \mu e à deformação verdadeira \varepsilon da passagem, porque a área de contato efetiva e o deslocamento relativo ao longo do contato tendem a crescer com a extensão da deformação. Assim usamos um fator correção multiplicativo simples
F_{\text{real}}\approx F_{\text{ideal}}\left(1+\mu\,\varepsilon\right).
Essa é uma aproximação prática e razoável quando \varepsilon é pequeno (como é o caso aqui: \varepsilon\approx0{,}094), e produz um incremento moderado do esforço devido ao atrito. (Obs.: para passagens grandes ou quando o comprimento de apoio é grande, seria necessário um modelo mais sofisticado.)
Vamos aplicar:
\mu\,\varepsilon=0{,}14\times0{,}0940007\approx 0{,}01316.
Logo
F_{\text{real}}\approx F_{\text{ideal}}\times(1+0{,}01316)\approx 24{,}91\times1{,}01316\\ \mathrm{N}\approx 25{,}24\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Converter a força para kN e comentar coerência.
F_{\text{real}}\approx 25{,}24\\ \mathrm{N}=0{,}02524\\ \mathrm{kN}.
Comentário amigável: a força é baixa porque o fio tem seção muito pequena ( d_{f}=0{,}2\\ \mathrm{mm}). O resultado está coerente com a tensão média calculada e com a pequena deformação na última passagem. Se a fieira tivesse número de passagens menor (passos maiores), cada \varepsilon seria maior e a força aumentaria (e aí a contribuição do atrito também seria relativamente maior).

Resposta

0{,}02524\\ \mathrm{kN}

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