Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de
. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de
, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
n
e
Limite de escoamento
Limite de Resistência
A redução de área máxima permitida por fieira é
O atrito nas fieiras é
CALCULE:
Energia consumida na última fieira (kJ)
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de
n
Limite de escoamento
Limite de Resistência
A redução de área máxima permitida por fieira é
O atrito nas fieiras é
Energia consumida na última fieira (kJ)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números foram copiados do enunciado):
- Comprimento de fio desejado:
. - Diâmetro inicial:
. - Diâmetro final:
. - Número de fieiras disponíveis:
. - Lei de Hollomon:
, com e . - Limite de escoamento e resistência foram fornecidos (não serão usados diretamente na integral de trabalho, mas servem para consistência):
, . - Redução de área máxima permitida por fieira:
. - Coeficiente de atrito nas fieiras:
.
O que é pedido: energia consumida na última fieira (em kJ), para fabricar os
de fio.
Observação importante: para calcular o trabalho de atrito é necessário conhecer a geometria da fieira (ângulo da cunha/land e comprimento de contato). Essa geometria não foi fornecida; portanto neste cálculo vou obter de forma rigorosa a componente de trabalho plástico (a mínima energia necessária devida à deformação plástica) na última fieira. Em seguida explico por que não é possível calcular precisamente a contribuição do atrito com os dados fornecidos e como ela afetaria o resultado.
Observação importante: para calcular o trabalho de atrito é necessário conhecer a geometria da fieira (ângulo da cunha/land e comprimento de contato). Essa geometria não foi fornecida; portanto neste cálculo vou obter de forma rigorosa a componente de trabalho plástico (a mínima energia necessária devida à deformação plástica) na última fieira. Em seguida explico por que não é possível calcular precisamente a contribuição do atrito com os dados fornecidos e como ela afetaria o resultado.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se a redução total pode ser feita em
fieiras respeitando
e calcular a redução de área que ocorre em cada fieira se a redução for uniforme.
- A razão entre diâmetros é
- A razão entre áreas (já que
) é
- Se a redução de área for igual em cada uma das
fieiras, cada fieira multiplica a área por um fator
Calculemos
explicitamente:
- Então a redução de área por fieira (fração perdida) é
Conclusão: a redução uniforme necessária por fieira é
, que é menor que o máximo permitido
. Logo é aceitável e a última fieira efetua uma redução de área de cerca de
.
Passo 3
Precisamos da deformação verdadeira (true strain) que ocorre na última fieira — é essa a variável que aparece nas leis de escoamento do tipo Hollomon.
Para uma redução de área da seção de
para
a deformação verdadeira (no sentido da área) é
Como
, obtemos
Substituindo o valor encontrado:
Interpretação simples: a deformação verdadeira na última fieira é
(adimensional). Outra forma equivalente, usando diâmetros, é
; ambos dão o mesmo valor.
Passo 4
Agora calculamos a energia específica (trabalho por unidade de volume) necessária para a deformação plástica na última fieira, usando a lei de Hollomon.
- A tensão verdadeira dada por Hollomon é
. - O trabalho específico plástico (energia por volume) para ir de
até é a integral
Explicação didática: integrar
dá a energia por volume (área sob a curva tensão × deformação verdadeira). Como
depende de
pela lei de Hollomon, a integral é direta e resulta em
vezes
.
- Substituindo os valores numéricos (
, , ):
Unidade:
. O valor
é, de fato, energia por volume expressa em
que corresponde a
.
Resumo do passo: o trabalho plástico específico mínimo na última fieira é
.
Passo 5
Calculemos o volume de material que passa pela última fieira para fabricar
de fio final, para então obter a energia total.
- Área da seção final (
):
- Comprimento total:
. - Volume total fabricado:
Passo 6
Energia total consumida na última fieira (considerando apenas o trabalho plástico mínimo, sem o termo de atrito) é
Cuidado com unidades:
está em
e
em
. O produto dá
. Para passar para joules usaremos
.
Cálculo numérico:
Convertendo para joules:
Portanto, a energia mínima (devida à deformação plástica) consumida na última fieira para fabricar
de fio é aproximadamente
.
Passo 7
Discussão sobre o atrito (
): o enunciado forneceu o coeficiente de atrito, porém não forneceu a geometria da fieira (ângulo de redução, comprimento de land, etc.). Para calcular a contribuição de atrito para a energia é necessário conhecer a área de contato e o percurso relativo de deslizamento do metal contra a fieira (depende do ângulo da cunha e do comprimento do trecho de contato). Sem esses dados NÃO é possível calcular de forma única e correta a energia adicional por atrito.
- Intuição física: o atrito aumenta a força de tração necessária e, portanto, aumenta a energia total consumida na fieira. O valor calculado acima (
) é a contribuição mínima (apenas trabalho plástico). A contribuição do atrito deve ser somada a esse valor para obter a energia elétrica/ mecânica realmente consumida pela máquina na última fieira.
Se for aceitável usar aproximações/hipóteses sobre a geometria (por exemplo, assumir uma certa largura de contato ou ângulo típico), pode-se estimar um acréscimo ao trabalho baseado em
com
e
estimado por uma pressão média proporcional à tensão de escoamento/fluxo; mas isso exigiria assumir números que o problema não forneceu. Por isso parei na estimativa rigorosa do trabalho plástico.
Passo 8
Recapitulando: com os dados fornecidos e sem assumir geometria da fieira, a energia mínima (plástica) consumida na última fieira para produzir
de fio é cerca de
. Se precisar, eu faço uma estimativa do termo de atrito assumindo um ângulo/land típico da fieira (por exemplo ângulo coníco
e comprimento de land
) — mas isso exigirá que eu escolha esses valores como hipóteses.
Força e ânimo: deu trabalho, mas já temos a energia mínima bem fundamentada — isso já é um ótimo ponto de partida para a prova!