Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de 0,2 \mathrm{~mm}. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de 0,32 \mathrm{~mm}, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
\sigma=\mathrm{k}
\epsilon
n
\mathrm{k}=1217(\mathrm{MPa}) e \mathrm{n}=0,13
Limite de escoamento =669 \mathrm{MPa}
Limite de Resistência =983 \mathrm{MPa}
A redução de área máxima permitida por fieira é \mathrm{RA}=14 \%
O atrito nas fieiras é \mu=0,14
CALCULE:
Energia consumida na última fieira (kJ)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (todos os números foram copiados do enunciado):
  • Comprimento de fio desejado: 1000\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro inicial: d_0=0{,}32\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro final: d_f=0{,}20\\ \mathrm{mm}.
  • Número de fieiras disponíveis: 10.
  • Lei de Hollomon: \sigma = k\,\epsilon^{n}, com k=1217\\ \mathrm{MPa} e n=0{,}13.
  • Limite de escoamento e resistência foram fornecidos (não serão usados diretamente na integral de trabalho, mas servem para consistência): \sigma_Y=669\\ \mathrm{MPa}, \sigma_u=983\\ \mathrm{MPa}.
  • Redução de área máxima permitida por fieira: \mathrm{RA}_{\max}=14\%.
  • Coeficiente de atrito nas fieiras: \mu=0{,}14.
O que é pedido: energia consumida na última fieira (em kJ), para fabricar os 1000\\ \mathrm{m} de fio.
Observação importante: para calcular o trabalho de atrito é necessário conhecer a geometria da fieira (ângulo da cunha/land e comprimento de contato). Essa geometria não foi fornecida; portanto neste cálculo vou obter de forma rigorosa a componente de trabalho plástico (a mínima energia necessária devida à deformação plástica) na última fieira. Em seguida explico por que não é possível calcular precisamente a contribuição do atrito com os dados fornecidos e como ela afetaria o resultado.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se a redução total pode ser feita em 10 fieiras respeitando \mathrm{RA}_{\max}=14\% e calcular a redução de área que ocorre em cada fieira se a redução for uniforme.
  • A razão entre diâmetros é
\frac{d_f}{d_0}=\frac{0{,}20}{0{,}32}=0{,}625.
  • A razão entre áreas (já que A\propto d^2) é
\frac{A_f}{A_0}=\left(\frac{d_f}{d_0}\right)^2=0{,}625^{2}=0{,}390625.
  • Se a redução de área for igual em cada uma das 10 fieiras, cada fieira multiplica a área por um fator
\alpha=\left(\frac{A_f}{A_0}\right)^{1/10}=0{,}390625^{1/10}.
Calculemos \alpha explicitamente:
\alpha=\exp\!\left(\frac{\ln(0{,}390625)}{10}\right)=\exp(-0{,}0940007)\approx0{,}91035.
  • Então a redução de área por fieira (fração perdida) é
\mathrm{RA}_{\mathrm{por\_fieira}}=1-\alpha\approx1-0{,}91035=0{,}08965\approx8{,}965\%.
Conclusão: a redução uniforme necessária por fieira é \approx8{,}97\%, que é menor que o máximo permitido 14\%. Logo é aceitável e a última fieira efetua uma redução de área de cerca de 8{,}97\%.

Passo 3

Precisamos da deformação verdadeira (true strain) que ocorre na última fieira — é essa a variável que aparece nas leis de escoamento do tipo Hollomon.
Para uma redução de área da seção de A_{\mathrm{in}} para A_{\mathrm{out}} a deformação verdadeira (no sentido da área) é
\epsilon=\ln\!\left(\frac{A_{\mathrm{in}}}{A_{\mathrm{out}}}\right).
Como A_{\mathrm{out}}=(1-\mathrm{RA}_{\mathrm{por\_fieira}})A_{\mathrm{in}}, obtemos
\epsilon=-\ln\!\left(1-\mathrm{RA}_{\mathrm{por\_fieira}}\right).
Substituindo o valor encontrado:
\epsilon=-\ln(0{,}91035)\approx0{,}09400.
Interpretação simples: a deformação verdadeira na última fieira é \epsilon\approx0{,}094 (adimensional). Outra forma equivalente, usando diâmetros, é \epsilon=2\ln(d_{\mathrm{in}}/d_{\mathrm{out}}); ambos dão o mesmo valor.

Passo 4

Agora calculamos a energia específica (trabalho por unidade de volume) necessária para a deformação plástica na última fieira, usando a lei de Hollomon.
  • A tensão verdadeira dada por Hollomon é \sigma(\epsilon)=k\,\epsilon^{n}.
  • O trabalho específico plástico (energia por volume) para ir de \epsilon=0 até \epsilon=\epsilon_f é a integral
w_{\text{plástico}}=\int_{0}^{\epsilon_f}\sigma(\epsilon)\,d\epsilon =\int_{0}^{\epsilon_f} k\,\epsilon^{n}\,d\epsilon =\frac{k}{n+1}\,\epsilon_f^{\,n+1}.á
Explicação didática: integrar \sigma\,d\epsilon dá a energia por volume (área sob a curva tensão × deformação verdadeira). Como \sigma depende de \epsilon pela lei de Hollomon, a integral é direta e resulta em k/(n+1) vezes \epsilon^{n+1}.
  • Substituindo os valores numéricos ( k=1217\\ \mathrm{MPa}, n=0{,}13, \epsilon_f=0{,}09400):
n+1=1{,}13,\qquad \epsilon_f^{\,n+1}=0{,}09400^{\,1{,}13}\approx0{,}06914.
w_{\text{plástico}}=\frac{1217}{1{,}13}\times0{,}06914\\ \mathrm{MPa}\approx74{,}4\\ \mathrm{MPa}.á
Unidade: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. O valor w_{\text{plástico}}=74{,}4\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2á é, de fato, energia por volume expressa em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 que corresponde a 74{,}4\times10^{6}\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^3.
Resumo do passo: o trabalho plástico específico mínimo na última fieira é w_{\text{plástico}}\approx74{,}4\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2á.

Passo 5

Calculemos o volume de material que passa pela última fieira para fabricar 1000\\ \mathrm{m} de fio final, para então obter a energia total.
  • Área da seção final ( d_f=0{,}20\\ \mathrm{mm}):
A_f=\frac{\pi d_f^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}20)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}01\\ \mathrm{mm}^2\approx0{,}0314159\\ \mathrm{mm}^2.
  • Comprimento total: L=1000\\ \mathrm{m}=1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{mm}.
  • Volume total fabricado:
V=A_f\cdot L\approx0{,}0314159\\ \mathrm{mm}^2 \times 1{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{mm}=31415{,}9\\ \mathrm{mm}^3.

Passo 6

Energia total consumida na última fieira (considerando apenas o trabalho plástico mínimo, sem o termo de atrito) é
E=w_{\text{plástico}}\cdot V.á
Cuidado com unidades: w_{\text{plástico}}á está em \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 e V em \mathrm{mm}^3. O produto dá \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}. Para passar para joules usaremos 1\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Cálculo numérico:
E=74{,}4\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\times31415{,}9\\ \mathrm{mm}^3 =74{,}4\times31415{,}9\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm} \approx2{,}34\times10^{3}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
Convertendo para joules:
E\approx2{,}34\times10^{3}\times10^{-3}\\ \mathrm{J}=2{,}34\\ \mathrm{kJ}.
Portanto, a energia mínima (devida à deformação plástica) consumida na última fieira para fabricar 1000\\ \mathrm{m} de fio é aproximadamente \;2{,}34\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Discussão sobre o atrito ( \mu=0{,}14): o enunciado forneceu o coeficiente de atrito, porém não forneceu a geometria da fieira (ângulo de redução, comprimento de land, etc.). Para calcular a contribuição de atrito para a energia é necessário conhecer a área de contato e o percurso relativo de deslizamento do metal contra a fieira (depende do ângulo da cunha e do comprimento do trecho de contato). Sem esses dados NÃO é possível calcular de forma única e correta a energia adicional por atrito.
  • Intuição física: o atrito aumenta a força de tração necessária e, portanto, aumenta a energia total consumida na fieira. O valor calculado acima ( \approx2{,}34\\ \mathrm{kJ}) é a contribuição mínima (apenas trabalho plástico). A contribuição do atrito deve ser somada a esse valor para obter a energia elétrica/ mecânica realmente consumida pela máquina na última fieira.
Se for aceitável usar aproximações/hipóteses sobre a geometria (por exemplo, assumir uma certa largura de contato ou ângulo típico), pode-se estimar um acréscimo ao trabalho baseado em F_{\text{atrito}}=\tau\cdot A_{\text{contato}} com \tau=\mu p e p estimado por uma pressão média proporcional à tensão de escoamento/fluxo; mas isso exigiria assumir números que o problema não forneceu. Por isso parei na estimativa rigorosa do trabalho plástico.

Passo 8

Recapitulando: com os dados fornecidos e sem assumir geometria da fieira, a energia mínima (plástica) consumida na última fieira para produzir 1000\\ \mathrm{m} de fio é cerca de \;2{,}34\\ \mathrm{kJ}. Se precisar, eu faço uma estimativa do termo de atrito assumindo um ângulo/land típico da fieira (por exemplo ângulo coníco \alpha e comprimento de land L_c) — mas isso exigirá que eu escolha esses valores como hipóteses.
Força e ânimo: deu trabalho, mas já temos a energia mínima bem fundamentada — isso já é um ótimo ponto de partida para a prova!

Resposta

2{,}34\\ \text{kJ}

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