Deseja-se medir o arrasto de um avião, cuja velocidade é de 180 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Será possível, por semelhança completa, testar um modelo do avião escala 1: 20 \mathrm{em} um túnel de vento à mesma pressão e temperatura que no protótipo, para determinar a força de arrasto? Estabeleça os parâmetros do modelo reduzido.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível, por semelhança completa, testar um modelo à escala 1:20 de um avião num túnel de vento que opera à mesma pressão e temperatura do protótipo, de modo a determinar a força de arrasto. Dados fornecidos:
  • velocidade do protótipo: U_p = 180\\ \mathrm{m/s};
  • escala geométrica do modelo: \text{escala} = 1:20 \Rightarrow L_m = L_p/20;
  • túnel opera à mesma pressão e temperatura que o protótipo (logo as propriedades do ar: densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu e velocidade do som a são as mesmas no túnel e no protótipo).
    O que se pede: dizer se é possível obter semelhança completa (para determinar arrasto) e estabelecer os parâmetros do modelo reduzido.

Passo 2

Explico o que é preciso igualar para haver semelhança dinâmica completa (com a linguagem bem direta).
  • Para geometria parecida já temos: L_m = L_p/20.
  • Para semelhança dinâmica completa, nos interessa igualar os números adimensionais que controlam o escoamento. Os dois principais aqui são:
    • número de Reynolds:
    \mathrm{Re} = \frac{\rho U L}{\mu},onde \rho é a densidade do fluido, U a velocidade característica e L o comprimento característico (no nosso caso, envergadura ou comprimento do avião) e \mu a viscosidade dinâmica.
    • número de Mach:
    \mathrm{M} = \frac{U}{a},onde a é a velocidade do som no meio (depende da temperatura).
  • Para semelhança completa precisamos que simultaneamente \mathrm{Re}_m = \mathrm{Re}_p \quad\text{e}\quad \mathrm{M}_m = \mathrm{M}_p.
Vou usar essas fórmulas e as condições dadas (mesma \rho,\mu,a entre modelo e protótipo).

Passo 3

Derivo a condição para igualar o número de Reynolds entre modelo e protótipo.
  • Escrevo os Reynolds:
\mathrm{Re}_p = \frac{\rho U_p L_p}{\mu},\qquad \mathrm{Re}_m = \frac{\rho U_m L_m}{\mu}.
  • Como L_m = L_p/20, substituo em \mathrm{Re}_m:
\mathrm{Re}_m = \frac{\rho U_m (L_p/20)}{\mu} = \frac{U_m}{20 U_p}\;\mathrm{Re}_p.
  • Para ter \mathrm{Re}_m = \mathrm{Re}_p é necessário
\frac{U_m}{20 U_p}=1 \quad\Rightarrow\quad U_m = 20\,U_p.
  • Usando U_p = 180\\ \mathrm{m/s} obtemos
U_m = 20\cdot 180\\ \mathrm{m/s} = 3600\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Analiso a consequência física de U_m = 3600\\ \mathrm{m/s} em termos de Mach.
  • A velocidade do som a depende só da temperatura (e como p e T são iguais, a é o mesmo para protótipo e túnel). Para ar próximo das condições ao nível do mar, a\approx 340\\ \mathrm{m/s} (assumindo T\approx 288\\ \mathrm{K}). Então o Mach correspondente seria aproximadamente
\mathrm{M}_m = \frac{U_m}{a} \approx \frac{3600}{340}\approx 10{,}6.
  • Isso é extremamente supersônico; além de ser inviável no túnel (e provocar regimes de escoamento completamente diferentes, com ondas de choque, aquecimento, etc.), foge do regime do protótipo (que está em torno de algumas décimas de Mach). Portanto igualar \mathrm{Re} mantendo as mesmas \rho e \mu e geometria levaria a velocidades absurdas e incomparáveis com o protótipo.

Passo 5

Agora vejo a outra equação: igualar o Mach.
  • Igualar o número de Mach requer
\mathrm{M}_m = \mathrm{M}_p \quad\Rightarrow\quad \frac{U_m}{a}=\frac{U_p}{a} \Rightarrow U_m=U_p.
  • Portanto, para manter o mesmo Mach com a mesma a, o túnel teria que trabalhar com U_m = 180\\ \mathrm{m/s}.
  • Se U_m = U_p e L_m = L_p/20, então do Passo 3 segue que
\mathrm{Re}_m = \frac{1}{20}\,\mathrm{Re}_p.
Ou seja, o Reynolds do modelo será 20 vezes menor que o do protótipo.

Passo 6

Interpreto o que isso significa para medir arrasto por semelhança completa.
  • Para que a força de arrasto determinada no modelo seja diretamente escalável para o protótipo, precisamos que o coeficiente de arrasto C_D do modelo seja o mesmo que do protótipo. O C_D depende fortemente de \mathrm{Re} e também de \mathrm{M} (quando \mathrm{M} não é desprezível).
  • Com as condições dadas (mesma p e T), só conseguimos manter o mesmo \mathrm{M} se U_m=U_p, mas aí \mathrm{Re} fica 20 vezes menor e, em geral, C_{D,m}\neq C_{D,p}. Se tentarmos igualar \mathrm{Re} exigiria U_m=3600\\ \mathrm{m/s} (impraticável e não equivalente em \mathrm{M}).
  • Conclusão qualitativa: não é possível obter semelhança completa mantendo as mesmas p e T e usando um modelo 1:20. Ou seja, não se pode garantir que o arrasto medido no modelo seja diretamente o arrasto do protótipo sem correções, porque não se consegue igualar simultaneamente \mathrm{Re} e \mathrm{M} nas condições dadas.

Passo 7

Estabeleço os parâmetros do modelo reduzido e as relações de escala úteis (para usar no túnel nas próprias condições dadas, mesmo sabendo da limitação).
  • escala geométrica:
L_m = \frac{L_p}{20}.
  • para manter o mesmo Mach (já que a é igual):
U_m = U_p = 180\\ \mathrm{m/s}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{M}_m = \mathrm{M}_p.
  • Reynolds do modelo em relação ao protótipo:
\mathrm{Re}_m = \frac{1}{20}\,\mathrm{Re}_p.
  • relação de forças (se, por hipótese, aceitássemos usar o C_D medido no modelo sem correção — o que é incorreto devido à diferença de \mathrm{Re} — a escala geométrica e de velocidade dão):
    • área característica escala como L^2, logo A_m = A_p/20^2 = A_p/400.
    • a força de arrasto dinâmica escala como \rho U^2 A. Se U_m=U_p e \rho igual, então
    D_m = \frac{1}{400}\,D_p \quad\Longrightarrow\quad D_p = 400\,D_m,mas atenção: essa relação só vale se C_{D,m}=C_{D,p}, o que não é verdadeiro quando \mathrm{Re}_m\neq \mathrm{Re}_p. Portanto a relação numérica D_p=400\,D_m não é confiável sem correções de Reynolds.

Passo 8

Resumo prático e sugestão curta (para não te deixar desesperado):
  • Resumo: NÃO — não é possível obter semelhança completa com escala 1:20 mantendo a mesma pressão e temperatura, porque não se consegue igualar simultaneamente \mathrm{Re} e \mathrm{M}. Mantendo \mathrm{M} (ou seja U_m=180\\ \mathrm{m/s}) fica \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p/20; para igualar \mathrm{Re} seria preciso U_m=3600\\ \mathrm{m/s} (impraticável).
  • Alternativas práticas (breve): usar correções empíricas de Reynolds, pressurizar/ou trocar fluido no túnel para aumentar \rho/\mu (aumenta \mathrm{Re} sem subir U), aquecer/esfriar para mudar \mu, ou usar modelo em escala maior — essas opções permitem aproximar melhor a semelhança.

Resposta

Não é possível obter semelhança completa nas condições dadas.
Parâmetros do modelo reduzido (na operação do túnel com a mesma p e T):
L_m = L_p/20.
Para manter \mathrm{M}: U_m = U_p = 180\\ \mathrm{m/s} e então \mathrm{Re}_m = \mathrm{Re}_p/20.
Para igualar \mathrm{Re} seria necessário U_m = 20\,U_p = 3600\\ \mathrm{m/s} (impraticável; corresponderia a \mathrm{M}\approx 10{,}6 se a\approx 340\\ \mathrm{m/s}).
Se \mathrm{M} for mantido e \mathrm{Re} não, a escala geométrica dá D_p \approx 400\,D_m apenas sob a (inválida) hipótese C_{D,m}=C_{D,p}; na prática é preciso correção de Reynolds ou alterar as condições do túnel.

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