Deseja-se medir o arrasto de um avião, cuja velocidade é de
. Será possível, por semelhança completa, testar um modelo do avião escala
um túnel de vento à mesma pressão e temperatura que no protótipo, para determinar a força de arrasto? Estabeleça os parâmetros do modelo reduzido.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível, por semelhança completa, testar um modelo à escala
de um avião num túnel de vento que opera à mesma pressão e temperatura do protótipo, de modo a determinar a força de arrasto. Dados fornecidos:
- velocidade do protótipo:
; - escala geométrica do modelo:
; - túnel opera à mesma pressão e temperatura que o protótipo (logo as propriedades do ar: densidade
, viscosidade dinâmica e velocidade do som são as mesmas no túnel e no protótipo).
O que se pede: dizer se é possível obter semelhança completa (para determinar arrasto) e estabelecer os parâmetros do modelo reduzido.
Passo 2
Explico o que é preciso igualar para haver semelhança dinâmica completa (com a linguagem bem direta).
- Para geometria parecida já temos:
. - Para semelhança dinâmica completa, nos interessa igualar os números adimensionais que controlam o escoamento. Os dois principais aqui são:
- número de Reynolds:
onde é a densidade do fluido, a velocidade característica e o comprimento característico (no nosso caso, envergadura ou comprimento do avião) e a viscosidade dinâmica. - número de Mach:
onde é a velocidade do som no meio (depende da temperatura). - Para semelhança completa precisamos que simultaneamente
Vou usar essas fórmulas e as condições dadas (mesma
entre modelo e protótipo).
Passo 3
Derivo a condição para igualar o número de Reynolds entre modelo e protótipo.
- Escrevo os Reynolds:
- Como
, substituo em :
- Para ter
é necessário
- Usando
obtemos
Passo 4
Analiso a consequência física de
em termos de Mach.
- A velocidade do som
depende só da temperatura (e como p e T são iguais, é o mesmo para protótipo e túnel). Para ar próximo das condições ao nível do mar, (assumindo ). Então o Mach correspondente seria aproximadamente
- Isso é extremamente supersônico; além de ser inviável no túnel (e provocar regimes de escoamento completamente diferentes, com ondas de choque, aquecimento, etc.), foge do regime do protótipo (que está em torno de algumas décimas de Mach). Portanto igualar
mantendo as mesmas e e geometria levaria a velocidades absurdas e incomparáveis com o protótipo.
Passo 5
Agora vejo a outra equação: igualar o Mach.
- Igualar o número de Mach requer
- Portanto, para manter o mesmo Mach com a mesma
, o túnel teria que trabalhar com . - Se
e , então do Passo 3 segue que
Ou seja, o Reynolds do modelo será 20 vezes menor que o do protótipo.
Passo 6
Interpreto o que isso significa para medir arrasto por semelhança completa.
- Para que a força de arrasto determinada no modelo seja diretamente escalável para o protótipo, precisamos que o coeficiente de arrasto
do modelo seja o mesmo que do protótipo. O depende fortemente de e também de (quando não é desprezível). - Com as condições dadas (mesma
e ), só conseguimos manter o mesmo se , mas aí fica 20 vezes menor e, em geral, . Se tentarmos igualar exigiria (impraticável e não equivalente em ). - Conclusão qualitativa: não é possível obter semelhança completa mantendo as mesmas
e e usando um modelo . Ou seja, não se pode garantir que o arrasto medido no modelo seja diretamente o arrasto do protótipo sem correções, porque não se consegue igualar simultaneamente e nas condições dadas.
Passo 7
Estabeleço os parâmetros do modelo reduzido e as relações de escala úteis (para usar no túnel nas próprias condições dadas, mesmo sabendo da limitação).
- escala geométrica:
- para manter o mesmo Mach (já que
é igual):
- Reynolds do modelo em relação ao protótipo:
- relação de forças (se, por hipótese, aceitássemos usar o
medido no modelo sem correção — o que é incorreto devido à diferença de — a escala geométrica e de velocidade dão): - área característica escala como
, logo . - a força de arrasto dinâmica escala como
. Se e igual, então
mas atenção: essa relação só vale se , o que não é verdadeiro quando . Portanto a relação numérica não é confiável sem correções de Reynolds. - área característica escala como
Passo 8
Resumo prático e sugestão curta (para não te deixar desesperado):
- Resumo: NÃO — não é possível obter semelhança completa com escala
mantendo a mesma pressão e temperatura, porque não se consegue igualar simultaneamente e . Mantendo (ou seja ) fica ; para igualar seria preciso (impraticável). - Alternativas práticas (breve): usar correções empíricas de Reynolds, pressurizar/ou trocar fluido no túnel para aumentar
(aumenta sem subir ), aquecer/esfriar para mudar , ou usar modelo em escala maior — essas opções permitem aproximar melhor a semelhança.
Resposta
Não é possível obter semelhança completa nas condições dadas.
Parâmetros do modelo reduzido (na operação do túnel com a mesma e
):
.
Para manter :
e então
.
Para igualar seria necessário
(impraticável; corresponderia a
se
).
Se for mantido e
não, a escala geométrica dá
apenas sob a (inválida) hipótese
; na prática é preciso correção de Reynolds ou alterar as condições do túnel.
Parâmetros do modelo reduzido (na operação do túnel com a mesma
Para manter
Para igualar
Se