Questão 1.41 - Munson: Em um viscosímetro do tipo capilar, a viscosidade é avaliada pela equação \vartheta=K R^{4} t\left(\mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right), sendo K a constante do viscosímetro, R o raio do tubo capilar (mm) e o tempo em segundos. O viscosímetro foi calibrado com glicerina ( \rho=1260 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mu=1,5 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} ) e tempo de 1,430 \mathrm{~s}. Para o tempo de 900 s , qual a viscosidade de um líquido de \rho=970 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá a relação para a viscosidade cinemática \vartheta medida no viscosímetro capilar:
\vartheta = K R^{4} t \quad(\text{unidade: }\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s})
Dados da calibração com glicerina:
\rho_{\text{glicerina}}=1260\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\qquad \mu_{\text{glicerina}}=1,5\\ \mathrm{Ns}/\mathrm{m}^{2},\qquad t_{\text{glicerina}}=1,430\\ \mathrm{s}.
Dados do líquido desconhecido:
\rho_{\text{líquido}}=970\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3},\qquad t_{\text{líquido}}=900\\ \mathrm{s}.íí
O que o enunciado pede: determinar a viscosidade do líquido para t=900\\ \mathrm{s}. O enunciado fornece a fórmula para \vartheta (viscosidade cinemática, unidades \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}), portanto vamos calcular primeiro \vartheta do líquido e, em seguida, converter (se for útil) para viscosidade dinâmica \mu usando a densidade fornecida.

Passo 2

Conceitos importantes (explicação didática, passo a passo):
  • Viscosidade dinâmica \mu (unidade \mathrm{Ns}/\mathrm{m}^{2} ou \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}) é a “resistência interna” do fluido ao escoamento.
  • Viscosidade cinemática \vartheta (às vezes denotada \nu) tem unidade \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s} e está relacionada por:
\vartheta = \frac{\mu}{\rho},
onde \rho é a densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}). Esta fórmula significa: para obter a viscosidade cinemática, divide-se a viscosidade dinâmica pela densidade do fluido.
  • No viscosímetro capilar dado, o produto K R^{4} é constante para o aparelho e a mesma seção do tubo; calibrando com um fluido conhecido obtemos K R^{4}, que depois aplicamos para o fluido desconhecido.

Passo 3

Calcular a viscosidade cinemática da glicerina (dados de calibração). Usamos
\vartheta_{\text{glicerina}} = \frac{\mu_{\text{glicerina}}}{\rho_{\text{glicerina}}}.
Substituindo os números:
\vartheta_{\text{glicerina}} = \frac{1,5}{1260}.
Note que 1,5/1260 simplifica: 1,5/1260 = \dfrac{15}{12600} = \dfrac{1}{840}. Então
\vartheta_{\text{glicerina}} = \frac{1}{840}\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 4

Determinar K R^{4} a partir da calibração. Da equação \vartheta = K R^{4} t temos, para a glicerina:
K R^{4} = \frac{\vartheta_{\text{glicerina}}}{t_{\text{glicerina}}} = \frac{1/840}{1,430} = \frac{1}{840\cdot 1,430}.
Não precisamos calcular um valor decimal neste ponto; podemos usar a razão para achar diretamente a viscosidade do líquido desconhecido por proporcionalidade de tempos.

Passo 5

Usar a proporcionalidade para o líquido desconhecido. Como \vartheta é proporcional a t (mesmo K R^{4} para o mesmo aparelho), temos
\vartheta_{\text{líquido}} = (K R^{4})\,t_{\text{líquido}} = \frac{\vartheta_{\text{glicerina}}}{t_{\text{glicerina}}}\,t_{\text{líquido}}.ííí
Substituindo \vartheta_{\text{glicerina}}=\dfrac{1}{840}, t_{\text{glicerina}}=1,430 e t_{\text{líquido}}=900í:
\vartheta_{\text{líquido}} = \frac{1/840}{1,430}\cdot 900 = \frac{900}{840\cdot 1,430}.í
Para facilitar, multiplicamos numerador e denominador por 10 para eliminar a vírgula: \dfrac{9000}{12012}. Isso simplifica dividindo por 12:
\vartheta_{\text{líquido}} = \frac{750}{1001}.í
Como decimal,
\vartheta_{\text{líquido}} \approx 0,7492507493\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.í

Passo 6

Converter para viscosidade dinâmica \mu_{\text{líquido}}í usando \mu=\rho\vartheta. Assim,
\mu_{\text{líquido}} = \rho_{\text{líquido}}\;\vartheta_{\text{líquido}} = 970\cdot\frac{750}{1001}.ííí
Calculando:
\mu_{\text{líquido}} = \frac{970\cdot 750}{1001} = \frac{727500}{1001}\\ \mathrm{Ns}/\mathrm{m}^{2}\approx 726,8\\ \mathrm{Ns}/\mathrm{m}^{2}.í
Portanto temos tanto a viscosidade cinemática quanto a dinâmica do líquido desconhecido.

Resposta

\vartheta_{\text{líquido}} = 0,7492507493\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}í
\mu_{\text{líquido}} = 726,8\\ \mathrm{Ns}/\mathrm{m}^{2}í

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