Deseja-se obter 0,3 toneladas (métricas) de uma solução alcoólica contendo
em massa de soluto a partir da mistura de água a
e etanol anidro a
, em um vaso fechado e bem isolado à pressão atmosférica. Desprezando-se o calor de mistura, pede-se determinar a temperatura de equilíbrio.
Dados:
água
e
etanol
.
Dados:
Passo 1
O enunciado pede a temperatura de equilíbrio final do sistema formado pela mistura de água e etanol anidro em um vaso fechado e bem isolado, desprezando o calor de mistura. Dados e o que se pede:
- Massa total da solução desejada:
toneladas . - Fração mássica do soluto (etanol) na solução final:
. Portanto:
- Temperaturas iniciais:
- Capacidades caloríficas (em
):
- Condições do problema: vaso bem isolado (adiabático), pressão atmosférica, desprezar calor de mistura. Pede-se a temperatura de equilíbrio
.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho e sem pressa):
- A capacidade calorífica mássica
indica quanto de energia (em kJ) é necessário para elevar da substância em . Unidade usada: . - Para uma massa
com praticamente constante, o calor trocado ao variar a temperatura de para é - Se
depende de , o calor é dado pela integral - Em sistema adiabático e fechado, a soma dos calores trocados é zero (energia interna/conservação de energia; calor perdido por um corpo = calor ganho pelo outro):
Vou usar essas fórmulas aplicadas às duas correntes (água e etanol). Sinal: se uma substância resfria, seu
é negativo (perde calor); se aquece, é positivo (ganha calor).
Passo 3
Montagem da equação de balanço energético (sem pular passos):
- Calor trocado pela água (Cp constante):
. - Calor trocado pelo etanol (Cp dependente de
): . - Como o sistema é adiabático:
Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Substituição dos valores numéricos e preparação da integral:
-
, . -
. - Definimos
.
A equação fica
Passo 5
Resolver a integral do etanol passo a passo:
- Integral de
em dá . - Integral de
em dá .
Portanto
Multiplicando por
:
Passo 6
Compute os coeficientes numéricos (mostrando as contas):
- Para a água:
. Então o termo da água é . - Para o etanol,
. - Para o termo quadrático,
.
Agora escrevemos a equação completa:
Passo 7
Expandir e organizar como equação polinomial (detalhando os passos numéricos):
- Expanda os termos lineares:
- Calcule os produtos constantes:
- Agrupando termos semelhantes:
- Soma dos coeficientes lineares:
- Soma das constantes:
Portanto a equação final é
Passo 8
Resolver a equação quadrática com a fórmula de Bhaskara (mostrando discriminante e escolha da raiz física):
- Fórmula:
com , , . - Calcule o discriminante:
Primeiro .
Depois.
Então - Raiz quadrada:
- As duas raízes são
Calculando numeradores: - Com o sinal
: . - Com o sinal
: é muito negativo (gera solução fisicamente impossível, temperatura negativa muito grande em módulo).
- Com o sinal
- Dividindo pelo denominador
:
- Explicação física: a solução válida é aquela entre
e ; a raiz está nesse intervalo, faz sentido físico (água cede calor e etanol ganha calor até esse equilíbrio).
Passo 9
Verificação rápida (checadinha numérica para não perder sono):
- Calor perdido pela água:
- Calor ganho pelo etanol (usando a integral já calculada numericamente) dá aproximadamente
. A pequena diferença residual vem de arredondamentos; a conservação de energia é satisfeita dentro do erro numérico.