Deseja-se obter 0,3 toneladas (métricas) de uma solução alcoólica contendo 70 \% em massa de soluto a partir da mistura de água a 80^{\circ} \mathrm{C} e etanol anidro a 25^{\circ} \mathrm{C}, em um vaso fechado e bem isolado à pressão atmosférica. Desprezando-se o calor de mistura, pede-se determinar a temperatura de equilíbrio.
Dados: \mathrm{Cp}( água )=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{Cp}( etanol )=2,238+0,0121 \times 10^{-3} \times \mathrm{T} \mathrm{em} \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura de equilíbrio final do sistema formado pela mistura de água e etanol anidro em um vaso fechado e bem isolado, desprezando o calor de mistura. Dados e o que se pede:
  • Massa total da solução desejada: \,0,3 toneladas =300\\ \mathrm{kg}.
  • Fração mássica do soluto (etanol) na solução final: \,70\%. Portanto: \text{massa do etanol final } m_e = 0,7\times300=210\\ \mathrm{kg},
\text{massa da água final } m_w = 300-210=90\\ \mathrm{kg}.á
  • Temperaturas iniciais: T_{w,\text{inicial}}=80^\circ\mathrm{C},\qquad T_{e,\text{inicial}}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Capacidades caloríficas (em \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}): C_{p,\text{água}}=4,18,á
C_{p,\text{etanol}}(T)=2,238+0,0121\times10^{-3}\,T.
  • Condições do problema: vaso bem isolado (adiabático), pressão atmosférica, desprezar calor de mistura. Pede-se a temperatura de equilíbrio T_{\text{eq}}.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicadinho e sem pressa):
  • A capacidade calorífica mássica C_p indica quanto de energia (em kJ) é necessário para elevar 1\\ \mathrm{kg} da substância em 1^\circ\mathrm{C}. Unidade usada: \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Para uma massa m com C_p praticamente constante, o calor trocado ao variar a temperatura de T_i para T_f é Q = m C_p (T_f-T_i).
  • Se C_p depende de T, o calor é dado pela integral Q = m\int_{T_i}^{T_f} C_p(T)\,dT.
  • Em sistema adiabático e fechado, a soma dos calores trocados é zero (energia interna/conservação de energia; calor perdido por um corpo = calor ganho pelo outro): \sum Q = 0.
Vou usar essas fórmulas aplicadas às duas correntes (água e etanol). Sinal: se uma substância resfria, seu (T_f-T_i) é negativo (perde calor); se aquece, é positivo (ganha calor).

Passo 3

Montagem da equação de balanço energético (sem pular passos):
  • Calor trocado pela água (Cp constante): Q_w = m_w C_{p,w} (T_{\text{eq}} - 80).
  • Calor trocado pelo etanol (Cp dependente de T): Q_e = m_e \displaystyle\int_{25}^{T_{\text{eq}}} \bigl(2,238+0,0121\times10^{-3}T\bigr)\,dT.
  • Como o sistema é adiabático: Q_w + Q_e = 0.
Escrevendo explicitamente:
m_w C_{p,w} (T_{\text{eq}} - 80) + m_e \int_{25}^{T_{\text{eq}}} \bigl(2,238+0,0121\times10^{-3}T\bigr)\,dT = 0.

Passo 4

Substituição dos valores numéricos e preparação da integral:
  • m_w=90\\ \mathrm{kg}, C_{p,w}=4,18.
  • m_e=210\\ \mathrm{kg}.
  • Definimos b=0,0121\times10^{-3}=1,21\times10^{-5}.
    A equação fica
90\cdot4,18\,(T_{\text{eq}}-80)+210\int_{25}^{T_{\text{eq}}}\bigl(2,238+1,21\times10^{-5}T\bigr)\,dT=0.

Passo 5

Resolver a integral do etanol passo a passo:
  • Integral de 2,238 em T 2,238(T_{\text{eq}}-25).
  • Integral de 1,21\times10^{-5}T em T \tfrac{1}{2}\,1,21\times10^{-5}\,(T_{\text{eq}}^2-25^2).
    Portanto
\int_{25}^{T_{\text{eq}}}\bigl(2,238+1,21\times10^{-5}T\bigr)\,dT =2,238(T_{\text{eq}}-25)+\tfrac{1}{2}\,1,21\times10^{-5}\,(T_{\text{eq}}^2-625).
Multiplicando por 210:
210\cdot2,238(T_{\text{eq}}-25)+210\cdot\tfrac{1}{2}\,1,21\times10^{-5}\,(T_{\text{eq}}^2-625).

Passo 6

Compute os coeficientes numéricos (mostrando as contas):
  • Para a água: 90\cdot4,18=376,2. Então o termo da água é 376,2\,(T_{\text{eq}}-80).
  • Para o etanol, 210\cdot2,238=469,98.
  • Para o termo quadrático, 210\cdot\tfrac{1}{2}\,1,21\times10^{-5}=105\cdot1,21\times10^{-5}=1,2705\times10^{-3}.
    Agora escrevemos a equação completa:
376,2\,(T_{\text{eq}}-80)+469,98\,(T_{\text{eq}}-25)+1,2705\times10^{-3}\,(T_{\text{eq}}^2-625)=0.

Passo 7

Expandir e organizar como equação polinomial (detalhando os passos numéricos):
  • Expanda os termos lineares: 376,2T_{\text{eq}}-376,2\cdot80+469,98T_{\text{eq}}-469,98\cdot25+1,2705\times10^{-3}T_{\text{eq}}^2-1,2705\times10^{-3}\cdot625=0.
  • Calcule os produtos constantes: 376,2\cdot80=30\,096,\qquad 469,98\cdot25=11\,749,5,\qquad 1,2705\times10^{-3}\cdot625=0,7940625.
  • Agrupando termos semelhantes: 1,2705\times10^{-3}T_{\text{eq}}^2+(376,2+469,98)T_{\text{eq}}-(30\,096+11\,749,5+0,7940625)=0.
  • Soma dos coeficientes lineares: 376,2+469,98=846,18.
  • Soma das constantes: 30\,096+11\,749,5+0,7940625=41\,846,2940625.
Portanto a equação final é
1,2705\times10^{-3}T_{\text{eq}}^2+846,18\,T_{\text{eq}}-41\,846,2940625=0.

Passo 8

Resolver a equação quadrática com a fórmula de Bhaskara (mostrando discriminante e escolha da raiz física):
  • Fórmula: T_{\text{eq}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},com a=1,2705\times10^{-3}, b=846,18, c=-41\,846,2940625.
  • Calcule o discriminante: \Delta=b^2-4ac=846,18^2-4(1,2705\times10^{-3})(-41\,846,2940625).Primeiro 846,18^2=716\,020,5924.
    Depois 4a(-c)=4\cdot1,2705\times10^{-3}\cdot41\,846,2940625\approx212,6628664.
    Então \Delta\approx716\,020,5924+212,6628664=716\,233,2552664.
  • Raiz quadrada: \sqrt{\Delta}\approx846,30565.
  • As duas raízes são T_{\text{eq}}=\frac{-846,18\pm846,30565}{2\cdot1,2705\times10^{-3}}.Calculando numeradores:
    • Com o sinal +: -846,18+846,30565=0,12565.
    • Com o sinal -: -846,18-846,30565 é muito negativo (gera solução fisicamente impossível, temperatura negativa muito grande em módulo).
  • Dividindo pelo denominador 2a=0,002541: T_{\text{eq},1}\approx\frac{0,12565}{0,002541}\approx49,46^\circ\mathrm{C}.
T_{\text{eq},2}\approx\frac{-1\,692,48565}{0,002541}\\ (\text{não física, desprezamos}).ãí
  • Explicação física: a solução válida é aquela entre 25^\circ\mathrm{C} e 80^\circ\mathrm{C}; a raiz \approx49,46^\circ\mathrm{C} está nesse intervalo, faz sentido físico (água cede calor e etanol ganha calor até esse equilíbrio).

Passo 9

Verificação rápida (checadinha numérica para não perder sono):
  • Calor perdido pela água: Q_w=90\cdot4,18\,(49,46-80)\approx376,2\cdot(-30,54)\approx-11\,491\\ \mathrm{kJ}.
  • Calor ganho pelo etanol (usando a integral já calculada numericamente) dá aproximadamente +11\,491\\ \mathrm{kJ}. A pequena diferença residual vem de arredondamentos; a conservação de energia é satisfeita dentro do erro numérico.

Resposta

T_{\text{eq}}\approx49,46^\circ\mathrm{C}

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