O projeto original da Usina Hidrelétrica de São Gabriel, no rio Iguaçu, previa 150 MW de potência instalada com três unidades de turbinas do tipo Kaplan (axial) de 50 MW cada uma. A altura de queda disponível é de 45 m . Supondo que as características construtivas das turbinas apresentem os seguintes valores: \mathrm{n}= 150 \mathrm{rpm} ; \mathrm{De}=3,5 \mathrm{~m} ; \mathrm{Di} / \mathrm{De}=0,5 ; \mathrm{nh}=0,95 ; \mathrm{nv}=1 ; \mathrm{na}=1; \mathrm{nm}=0,97 ; \mathrm{cm} 4=\mathrm{cm} 5=\mathrm{c} 5 (para todos os diâmetros do rotor) e considerando a massa específica da água, \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, calcular:
a) A vazão nominal (de projeto) de cada turbina;
b) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor, para diâmetro exterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para cada turbina (cada unidade de 50\\ \mathrm{MW}):
a) A vazão nominal (de projeto) de cada turbina.
b) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor, no diâmetro exterior.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
\begin{aligned} &P_\text{uni}=50\\ \mathrm{MW},\\\ &H&=45\\ \mathrm{m},\\\ &n&=150\\ \mathrm{rpm},\\\ &D_e&=3{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\dfrac{D_i}{D_e}&=0{,}5\\ \Rightarrow\\ D_i=0{,}5\cdot D_e,\\\ &\eta_h&=0{,}95,\\ \eta_v=1,\\ \eta_a=1,\\ \eta_m=0{,}97,\\\ &\rho&=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ &\text{e foi dado: } c_{m4}=c_{m5}=c_5\\ \text{(para todos os diâmetros).} \end{aligned}â
Observações explícitas que vamos usar depois (ainda não vou resolver): a notação com índices 4 e 5 refere-se, como é comum, à seção de entrada do rotor (4) e à seção de saída do rotor (5). A condição c_{m4}=c_{m5}=c_5 significa que a componente meridional (axial) da velocidade é a mesma na entrada e saída e que, na saída, a velocidade absoluta é puramente axial (isto implica c_{u5}=0). Não resolvo nada aqui, só organizei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Definir a eficiência total utilizada para ligar potência elétrica de saída com a potência hidráulica disponível. Explicação didática curta: a potência entregue pela água (potência hidráulica) é \rho g Q H. Nem toda essa potência chega como potência útil no eixo; perdemos frações por perdas hidráulicas, mecânicas etc. Se multiplicarmos todas as eficiências parciais, obtemos a fração da potência hidráulica que vira potência útil.
Calculo da eficiência total \eta:
\eta=\eta_h\cdot\eta_v\cdot\eta_a\cdot\eta_m=0{,}95\cdot1\cdot1\cdot0{,}97=0{,}9215.

Passo 3

Relacionar potência por turbina com vazão e eficiência. Fórmula (aula rápida): potência elétrica por turbina P_\text{uni} é a potência hidráulica disponível multiplicada pela eficiência total:
P_\text{uni}=\rho g Q H \,\eta.
Dessa expressão isolamos a vazão Q:
Q=\dfrac{P_\text{uni}}{\rho g H \,\eta}.
Aqui P_\text{uni} em watts, \rho em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, H em \mathrm{m}, e Q sairá em \mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Calcular numericamente a vazão Q. Substituindo os valores:
\begin{aligned} P_\text{uni}&=50\cdot10^6\\ \mathrm{W},\\\ \rho&=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\\\ g&=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\\\ H&=45\\ \mathrm{m},\\\ \eta&=0{,}9215. \end{aligned}
Cálculo:
Q=\dfrac{50\cdot10^6}{1000\cdot9{,}81\cdot45\cdot0{,}9215}.
Faço primeiro o denominador:
1000\cdot9{,}81\cdot45\cdot0{,}9215=406\,796{,}175.
Portanto
Q=\dfrac{50\,000\,000}{406\,796{,}175}\approx122{,}92\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpretação: cada turbina precisa que passem cerca de 122{,}9\\ \mathrm{m^3/s} para fornecer 50\\ \mathrm{MW} com as eficiências dadas.

Passo 5

Agora vamos achar o ângulo de entrada das pás no diâmetro exterior. Primeiro precisamos da velocidade meridional (axial) do fluxo na entrada do rotor, que se obtém dividindo a vazão pela área do anel atravessado pela água (área entre D_i e D_e). Fórmula da área da seção anular:
A=\dfrac{\pi}{4}\left(D_e^2-D_i^2\right).
Como D_i=0{,}5D_e, temos
D_e^2-D_i^2=D_e^2\left(1-(0{,}5)^2\right)=D_e^2(1-0{,}25)=0{,}75D_e^2.
Substituindo D_e=3{,}5\\ \mathrm{m}:
D_e^2=3{,}5^2=12{,}25,\quad D_e^2-D_i^2=12{,}25\cdot0{,}75=9{,}1875.
Então
A=\dfrac{\pi}{4}\cdot9{,}1875\approx7{,}2124\\ \mathrm{m^2}.

Passo 6

Calcular a velocidade meridional (axial) c_m na entrada do rotor:
c_m=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{122{,}9159}{7{,}2124}\approx17{,}04\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: c_m é a velocidade componente na direção axial que atravessa o rotor; em máquinas axiais como Kaplan, costuma-se manter essa componente praticamente constante.

Passo 7

Usar a equação de Euler para turbinas (aula curta): a energia específica por unidade de massa extraída pela máquina (em \mathrm{m^2/s^2}) é dada por
\Delta E_\text{específica}=U\,(c_{u4}-c_{u5}),í
onde U é a velocidade periférica da pá no raio considerado, c_{u4} é a componente circumferencial (tangencial) da velocidade absoluta na entrada do rotor e c_{u5} é a componente tangencial da velocidade absoluta na saída. Em termos de carga (altura) aproveitada, e considerando eficiência hidráulica \eta_h, temos
gH\eta_h=U\,(c_{u4}-c_{u5}).
Explicação do uso: como o enunciado diz c_{m5}=c_5 (velocidade absoluta de saída puramente axial), isso implica c_{u5}=0. Então:
c_{u4}=\dfrac{gH\eta_h}{U}.

Passo 8

Calcular a velocidade periférica U no diâmetro exterior. Fórmula (rápida): U=\omega r ou, em termos de n e D,
U=\dfrac{\pi n D_e}{60}.
Substituindo n=150\\ \mathrm{rpm} e D_e=3{,}5\\ \mathrm{m}:
U=\dfrac{\pi\cdot150\cdot3{,}5}{60}=\pi\cdot2{,}5\cdot3{,}5=\pi\cdot8{,}75\approx27{,}4928\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Calcular c_{u4} com a equação de Euler já simplificada:
gH\eta_h=9{,}81\cdot45\cdot0{,}95=419{,}3775
logo
c_{u4}=\dfrac{419{,}3775}{27{,}4928}\approx15{,}25\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a componente tangencial da velocidade absoluta que chega ao rotor, no diâmetro externo, é cerca de 15{,}25\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

Montar o triângulo de velocidades na entrada do rotor e obter o ângulo da pá. Explicação didática do triângulo: a velocidade relativa da água em relação à pá na entrada é \vec{w}_4=\vec{c}_4-\vec{U}. Em componentes axiais e tangenciais isso dá: componente axial de \vec{w}_4 é w_m=c_m e componente tangencial é w_u=c_{u4}-U. O ângulo da pá medido em relação ao eixo (direção axial) é o ângulo que \vec{w}_4 faz com a direção axial; sua tangente é a razão entre a componente tangencial (em módulo) e a axial:
\tan\beta_4=\dfrac{|w_u|}{w_m}=\dfrac{|c_{u4}-U|}{c_m}=\dfrac{U-c_{u4}}{c_m},
pois U>c_{u4} aqui. Então
\beta_4=\arctan\!\left(\dfrac{U-c_{u4}}{c_m}\right).
Substituindo números:
U-c_{u4}=27{,}4928-15{,}2543\approx12{,}2385\\ \mathrm{m/s},
c_m\approx17{,}0363\\ \mathrm{m/s},
\tan\beta_4=\dfrac{12{,}2385}{17{,}0363}\approx0{,}7185,
portanto
\beta_4\approx\arctan(0{,}7185)\approx35{,}8^\circ.
Interpretação prática: as pás, na borda externa, devem estar inclinadas em torno de 35{,}8^\circ em relação ao eixo (ou seja, esse é o ângulo que a relativa água faz com o eixo; projetistas usam esse ângulo como referência para o perfil da pá na entrada).

Resposta

(a) Q\approx122{,}92\\ \mathrm{m^3/s}
(b) \beta_4\approx35{,}8^\circ

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