O projeto original da Usina Hidrelétrica de São Gabriel, no rio Iguaçu, previa 150 MW de potência instalada com três unidades de turbinas do tipo Kaplan (axial) de 50 MW cada uma. A altura de queda disponível é de 45 m . Supondo que as características construtivas das turbinas apresentem os seguintes valores:
;
(para todos os diâmetros do rotor) e considerando a massa específica da água,
, calcular:
a) A vazão nominal (de projeto) de cada turbina;
b) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor, para diâmetro exterior.
a) A vazão nominal (de projeto) de cada turbina;
b) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor, para diâmetro exterior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para cada turbina (cada unidade de
):
a) A vazão nominal (de projeto) de cada turbina.
b) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor, no diâmetro exterior.
b) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor, no diâmetro exterior.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
Observações explícitas que vamos usar depois (ainda não vou resolver): a notação com índices
e
refere-se, como é comum, à seção de entrada do rotor (4) e à seção de saída do rotor (5). A condição
significa que a componente meridional (axial) da velocidade é a mesma na entrada e saída e que, na saída, a velocidade absoluta é puramente axial (isto implica
). Não resolvo nada aqui, só organizei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Definir a eficiência total utilizada para ligar potência elétrica de saída com a potência hidráulica disponível. Explicação didática curta: a potência entregue pela água (potência hidráulica) é
. Nem toda essa potência chega como potência útil no eixo; perdemos frações por perdas hidráulicas, mecânicas etc. Se multiplicarmos todas as eficiências parciais, obtemos a fração da potência hidráulica que vira potência útil.
Calculo da eficiência total
:
Passo 3
Relacionar potência por turbina com vazão e eficiência. Fórmula (aula rápida): potência elétrica por turbina
é a potência hidráulica disponível multiplicada pela eficiência total:
Dessa expressão isolamos a vazão
:
Aqui
em watts,
em
,
em
,
em
, e
sairá em
.
Passo 4
Calcular numericamente a vazão
. Substituindo os valores:
Cálculo:
Faço primeiro o denominador:
Portanto
Interpretação: cada turbina precisa que passem cerca de
para fornecer
com as eficiências dadas.
Passo 5
Agora vamos achar o ângulo de entrada das pás no diâmetro exterior. Primeiro precisamos da velocidade meridional (axial) do fluxo na entrada do rotor, que se obtém dividindo a vazão pela área do anel atravessado pela água (área entre
e
). Fórmula da área da seção anular:
Como
, temos
Substituindo
:
Então
Passo 6
Calcular a velocidade meridional (axial)
na entrada do rotor:
Explicação curta:
é a velocidade componente na direção axial que atravessa o rotor; em máquinas axiais como Kaplan, costuma-se manter essa componente praticamente constante.
Passo 7
Usar a equação de Euler para turbinas (aula curta): a energia específica por unidade de massa extraída pela máquina (em
) é dada por
onde
é a velocidade periférica da pá no raio considerado,
é a componente circumferencial (tangencial) da velocidade absoluta na entrada do rotor e
é a componente tangencial da velocidade absoluta na saída. Em termos de carga (altura) aproveitada, e considerando eficiência hidráulica
, temos
Explicação do uso: como o enunciado diz
(velocidade absoluta de saída puramente axial), isso implica
. Então:
Passo 8
Calcular a velocidade periférica
no diâmetro exterior. Fórmula (rápida):
ou, em termos de
e
,
Substituindo
e
:
Passo 9
Calcular
com a equação de Euler já simplificada:
logo
Interpretação: a componente tangencial da velocidade absoluta que chega ao rotor, no diâmetro externo, é cerca de
.
Passo 10
Montar o triângulo de velocidades na entrada do rotor e obter o ângulo da pá. Explicação didática do triângulo: a velocidade relativa da água em relação à pá na entrada é
. Em componentes axiais e tangenciais isso dá: componente axial de
é
e componente tangencial é
. O ângulo da pá medido em relação ao eixo (direção axial) é o ângulo que
faz com a direção axial; sua tangente é a razão entre a componente tangencial (em módulo) e a axial:
pois
aqui. Então
Substituindo números:
portanto
Interpretação prática: as pás, na borda externa, devem estar inclinadas em torno de
em relação ao eixo (ou seja, esse é o ângulo que a relativa água faz com o eixo; projetistas usam esse ângulo como referência para o perfil da pá na entrada).
Resposta
(a)
(b)
(b)