Desejamos processar 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução aquosa contendo 40 \% em peso de ácido acético, numa coluna operando em contracorrente simples e usando éter isopropílico puro como solvente ( 200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} ) O produto rafinado deve conter 5 \% de ácido acético. Pedese:
a) A composição máxima do extrato,
b) A relação solvente/carga mínima,
c) Determinar o no de estágios de equilíbrio necessários à separação se trabalharmos com uma relação solvente/carga 70% maior que a mínima,
d) A recuperação do ácido no extrato para as condições do item (c), \mathrm{RR}=1,5 \mathrm{RRmin} - estágios \mathrm{S} / \mathrm{F}=1,7(\mathrm{~S} / \mathrm{F}) \mathrm{min} \mathrm{F}=100 \mathrm{~S}=\mathrm{M}
Rn M E1
Passo 1
O enunciado (resumido) e o que é pedido:
Dados fornecidos:
Vazão da carga: F=100\\ \mathrm{kg/h}.
Composição da carga (fração em massa de ácido acético): z_F=0,40.
Solvente: éter isopropílico puro, vazão informada no enunciado como \;200\\ \mathrm{kg/h} (isto é \;S=200\\ \mathrm{kg/h} se essa for a vazão adotada).
Produto rafinado (raffinate) desejado: composição em ácido acético x_R=0,05 (isto é 5\% em massa).
O que se pede:
a) A composição máxima do extrato (isto é, o máximo teor de ácido que o extrato pode alcançar em equilíbrio com a fase aquosa).
b) A relação solvente/carga mínima ((S/F)_{\min}) necessária para atingir x_R=0,05.
c) O número de estágios de equilíbrio necessários se trabalharmos com uma relação solvente/carga 70\% maior que a mínima (isto é S/F = 1{,}7\,(S/F)_{\min}).
d) A recuperação do ácido no extrato para as condições do item (c).
Informação que falta (crucial):
Não foi fornecida a curva de equilíbrio líquido–líquido, nem uma relação simples de partição (coeficiente de partição/distribuição) do ácido entre solvente e água, ou dados de linhas de ligação/linhas de troca. Em LLE (extração líquido–líquido) é absolutamente necessário conhecer a relação de equilíbrio entre a fração do soluto na fase orgânica e na fase aquosa, normalmente dada como y=f(x) (onde x é a fração mássica do soluto na fase aquosa e y na fase orgânica) ou, para casos simplificados, um coeficiente de partição constante k tal que y = k\,x.
Consequência imediata:
Sem a curva de equilíbrio y=f(x) ou um valor de k não é possível calcular numericamente (nem a) nem b) nem c) nem d). Vou, portanto, a seguir explicar passo a passo como se resolve cada item quando a curva/coeficiente de equilíbrio é conhecida, com as fórmulas e o raciocínio detalhado. No final eu digo exatamente qual dado é necessário para cada cálculo. Isso vai te deixar apto a fazer os cálculos na prova assim que tiver (ou te pedirem) a curva de equilíbrio.
Passo 2
Conceitos e definição de variáveis (aulas rápidas e necessárias)
Fases e concentrações:
F: vazão da alimentação (kg/h).
S: vazão do solvente puro que entra (kg/h). A composição do solvente puro em soluto é tipicamente z_S=0 (se for puro e não contiver ácido).
R: vazão do raffinate (corrente aquosa saída).
E: vazão do extrato (corrente orgânica saída).
z_F: fração mássica de soluto na alimentação (no enunciado 0{,}40).
x: fração mássica de soluto na fase aquosa (raffinate) em um ponto dado.
y: fração mássica de soluto na fase orgânica (extrato) em um ponto dado.
Equilíbrio líquido–líquido:
Para cada estágio de equilíbrio, as concentrações nas duas fases estão relacionadas por uma curva de equilíbrio y=f(x). Em muitos exercícios didáticos usamos uma aproximação linear y = k\,x, com k constante (coeficiente de partição).
Sem essa relação não há como saber quanto de ácido migra para o solvente em cada contato.
Balanços gerais (sempre úteis):
Balanço de massa total (global): F + S = R + E.
Balanço do soluto (ácido acético): F z_F + S z_S = R x_R + E y_E, onde z_S é a fração de soluto no solvente de alimentação (normalmente 0).
Esses balanços sozinhos não fecham a separação: falta a lei de equilíbrio y=f(x).
Passo 3
Como determinar a composição máxima do extrato (item a) — raciocínio e procedimentos
O que significa “composição máxima do extrato”? É o maior valor de y que a fase orgânica pode alcançar em equilíbrio com a fase aquosa dentro do intervalo de concentrações que ocorrerá no processo. Em termos práticos, essa composição máxima depende totalmente da curva de equilíbrio y=f(x).
Procedimento quando se tem a curva:
Identificar o intervalo de x que aparece no processo (tipicamente entre x_R — composição final desejada do raffinate — e a composição do raffinate logo após o primeiro contato).
A composição máxima do extrato será o maior valor de y correspondente aos valores de x que de fato ocorrem no processo, ou, se se deseja o limite teórico, é o máximo de y=f(x) para x no intervalo físico permitido (geralmente 0\le x\le z_F).
Observação prática: se a curva de equilíbrio for monotônica (caso comum), a composição máxima do extrato muitas vezes corresponde ao valor y=f(x_{\text{menor}}), onde x_{\text{menor}} é o menor x atingido na corrente aquosa (por ex. se você consegue levar a fase aquosa até x=0{,}05, então o extrato em equilíbrio com essa x terá y=f(0{,}05)). Logo:
resposta numérica a) exige y=f(0{,}05) (ou, dependendo do diagrama, o máximo de y no intervalo relevante).
O que eu preciso que esteja na prova/papel para computar: a curva y=f(x) ou pelo menos o valor k no caso de y=kx. Exemplo ilustrativo (apenas para entender o método): se y=kx e k=2, então a composição do extrato em equilíbrio com x_R=0{,}05 seria y=f(0{,}05)=k\cdot 0{,}05=0{,}10 (isto é 10\% em massa).
Passo 4
Como obter a relação solvente/carga mínima (S/F)_{\min} (item b) — teoria e método
Interpretação física: (S/F)_{\min} é a menor razão solvente/carga capaz de atingir a composição de raffinate x_R desejada, assumindo estágios de equilíbrio suficientes (no limite: número de estágios → infinito). O caso limite corresponde, graficamente, à situação em que a linha de operação fica tangente à curva de equilíbrio na figura y vs x.
Método geral (gráfico): traçar a curva de equilíbrio y=f(x) e, no diagrama y (eixo vertical) vs x (eixo horizontal), traçar a linha de operação cuja inclinação é relacionada a S/F. O mínimo S/F corresponde à linha de operação tangente à curva de equilíbrio e que passa pelo ponto que representa a composição do solvente de entrada e do raffinate desejado.
Fórmula analítica em caso simples y=kx (coeficiente de partição constante):
Para z_S=0 (solvente puro), existe uma expressão simples e frequentemente usada:(S/F)_{\min}=\frac{z_F - x_R}{k\,x_R}(essa expressão vem do balanço de soluto assumindo que no caso limite a corrente extrato que sai está em equilíbrio com o raffinate final e que o solvente de entrada é puro).
Observação: essa fórmula vale somente para o caso simplificado de y=kx e quando se usa a convenção de frações mássicas consistentes; em casos gerais (curva arbitrária y=f(x)) é preciso resolver o sistema “linha de operação tangente à curva de equilíbrio” (equações simultâneas).
O que é necessário da prova/papel para calcular numericamente (S/F)_{\min}:
A curva y=f(x), ou ao menos um k se a aproximação y=kx for válida.
Exemplo ilustrativo: se k=2, z_F=0{,}40, x_R=0{,}05, então(S/F)_{\min} = \frac{0{,}40-0{,}05}{2\cdot 0{,}05}=\frac{0{,}35}{0{,}10}=3{,}5.Isso é só um exemplo pedagógico — não o resultado do seu caso porque eu não tenho k.
Passo 5
Como calcular o número de estágios de equilíbrio (item c) — método e fórmulas
Abordagem geral:
Com a curva de equilíbrio y=f(x) e uma razão S/F escolhida, faz-se um diagrama à la McCabe–Thiele para extração (gráfico y vs x):
Traça-se a curva de equilíbrio y=f(x).
Desenha-se a linha de operação contracorrente apropriada (ela depende de S/F e do ponto do solvente de entrada z_S).
A partir do ponto correspondente à composição da alimentação no gráfico, traçam-se degraus entre a curva de equilíbrio e a linha de operação para contar o número de estágios teóricos.
Alternativa analítica simples quando a aproximação y=kx (coeficiente constante) é válida: usa-se a chamada fórmula de Kremser (que é análoga e bastante usada para absorção/extração com k constante).
Fórmula Kremser (caso y=kx e solvente puro z_S=0):
A redução do soluto na fase aquosa em função do número de estágios N é dada por\frac{x_N}{x_0} = \left(\frac{1}{1 + k\,\dfrac{S}{F}}\right)^{N},onde x_0 é a concentração inicial de soluto na corrente aquosa (que, para o primeiro contato, é igual a z_F se começamos a contar a partir da alimentação) e x_N é a concentração final após N estágios (no caso x_N = x_R).
Rearranjando para N:N = \frac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{x_0}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{1 + k\,S/F}\right)}.
Atenção: essa fórmula é válida sob a hipótese de coeficiente de partição constante k e para a configuração de estágios em contracorrente ideais. Para curvas arbitrárias y=f(x) deve-se usar o método gráfico (McCabe–Thiele) ou resolver numericamente as equações de balanço etapa-a-etapa.
Como usar o enunciado (item c): se o enunciado pede com razão \;70\% maior que a mínima, você faria:
Calcular (S/F)_{\min} (como no Passo 4).
Tomar \;S/F = 1{,}7\,(S/F)_{\min}.
Aplicar a fórmula Kremser (se y=kx) para obter N resolvendo a expressão acima com x_0=z_F e x_N=x_R.
Observação pedagógica: para curvas não-lineares, não existe uma expressão tão simples; tem-se de construir os degraus no gráfico e contá-los.
Passo 6
Como calcular a recuperação do ácido no extrato (item d)
Definição de recuperação (fracao do ácido que sai na fase extrato):\text{Recuperação} = \frac{\text{massa de ácido no extrato }E\;(\text{kg/h})}{\text{massa de ácido na alimentação }F z_F\;(\text{kg/h})}.çãááçã
Usando balanços:
Massa de ácido na alimentação: F z_F.
Massa de ácido no raffinate final: R x_R.
Por conservação do soluto, massa de ácido no extrato é F z_F - R x_R.
Se você conhece R (obtido de balanço total R = F + S - E e do balanço de soluto com E e y_E), pode calcular a recuperação. Contudo, em many cases you can write directly:\text{Recuperação} = 1 - \frac{R x_R}{F z_F}.çã
Para usar essa fórmula é preciso conhecer R. Mas por simplificação é comum manipular com as frações: com z_S=0, do balanço global e do balanço de soluto você obtém E y_E = F z_F - R x_R e E = F + S - R; assim basta conhecer uma das incógnitas (por exemplo y_E do equilíbrio ou R) para fechar.
Em muitos exercícios se usa E e R obtidos diretamente do balanço com y e x em equilíbrio. Em suma: para calcular recuperação numericamente você precisa de y (composição do extrato) ou de R — e y depende da curva y=f(x).
Passo 7
Resumo do que falta e como proceder na prova rapidamente (passo-a-passo prático)
Dados mínimos necessários para números concretos:
A curva de equilíbrio y=f(x) (ou ao menos um valor de k se o exercício permitir a aproximação linear y=kx).
Com essa curva, calcule y=f(x_R) para a resposta a).
Calcule (S/F)_{\min} graficamente (linha tangente) ou analiticamente se y=kx usando (S/F)_{\min}=(z_F-x_R)/(k x_R).
A razão adotada no item c) será S/F = 1{,}7\,(S/F)_{\min}. Use a fórmula de Kremser (se k constante) ou McCabe–Thiele (se curva arbitrária) para obter N.
Com N e as concentrações em cada corrente, calcule R e E via balanços e daí a recuperação.
Se na prova te derem um valor numérico para o coeficiente de partição k ou a curva de equilíbrio, aplica-se imediatamente as fórmulas do Passo 4–6 (exemplos numéricos são rápidos).
Se você só tem o número S=200\\ \mathrm{kg/h} (como no enunciado inicial), isso corresponde a uma razão S/F=2{,}0. Para verificar se isso é maior ou menor que (S/F)_{\min} seria preciso conhecer k. Assim, não é possível confirmar se S=200 já cumpre x_R=0{,}05 sem k.
Passo 8
Exemplo didático rápido (apenas para fixar o método — NÃO é a solução do seu caso, é um exemplo com k suposto)
Suponha, só para ver como aplicar fórmulas, que a relação de equilíbrio seja y=kx com k=2.
a) Composição do extrato em equilíbrio com x_R=0{,}05: y=f(0{,}05)=2\cdot 0{,}05=0{,}10 (10%).
b) (S/F)_{\min}=(z_F-x_R)/(k x_R)=(0{,}40-0{,}05)/(2\cdot 0{,}05)=3{,}5.
c) Se S/F =1{,}7\cdot 3{,}5=5{,}95 e aplicando a fórmula Kremser:N=\frac{\ln\!\left(\dfrac{x_R}{z_F}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{1+k\,S/F}\right)} =\frac{\ln(0{,}05/0{,}40)}{\ln\!\left(\dfrac{1}{1+2\cdot 5{,}95}\right)}que dá um N numérico ao substituir os números (isso é só um exemplo didático).
d) A recuperação seria \;1 - \dfrac{R x_R}{F z_F}, onde R e E se obtem dos balanços com y.
Observação: este bloco é só exemplar para você ver onde encaixar os números; repito: para o exercício original você precisa do k ou da curva.
Resposta
Não é possível fornecer os valores numéricos pedidos (a), (b), (c) e (d) porque falta a informação essencial: a curva de equilíbrio líquido–líquido y=f(x) ou um coeficiente de partição k. Com essa informação eu aplico imediatamente os passos descritos acima e calculo todos os itens numericamente.