Deseja-se produzir um compósito com matriz epóxi e fibras de carbono alinhadas com limite de resistência à tração longitudinal de 500 MPa . Calcule a fração volumétrica de fibras que é necessária se (1) o diâmetro e o comprimento médios das fibras são de 0,01 mm e 0,5 mm, respectivamente; (2) a resistência à fratura das fibras é de 4,0 GPa; (3) a resistência da ligação fibra-matriz é de 25 MPa e (4) a tensão na matriz no momento da falha do compósito é de 7,0 MPa.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente quer um compósito epóxi + fibras de carbono alinhadas, cuja resistência à tração longitudinal seja 500 MPa.
Conteúdo da matéria: compósitos de fibras curtas alinhadas, regra das misturas e modelo de Kelly–Tyson (comprimento crítico e resistência limitada pelo cisalhamento na interface).
O que vamos precisar:
  • calcular o comprimento crítico das fibras;
  • ver que, como o comprimento real é menor que , a falha ocorre por arrancamento (não por quebra da fibra);
  • usar a expressão de resistência do compósito para fibras curtas ( ) e resolver para a fração volumétrica de fibras .

Passo 2

Teoria envolvida:
  1. Comprimento crítico lc ;=;sigmaf,d2,tau é o mínimo pra fibra inteira atingir sua resistência antes de escorregar.
    Fórmula:
    sigmac ;=; Vf;tau,ld;+;(1 - Vf),sigmam
    onde
    = resistência à fratura da fibra,
    = diâmetro da fibra,
    = resistência ao cisalhamento da interface.
  2. Se , a fibra não quebra – ela arranca. A resistência do compósito vem da combinação do arranque das fibras e da fratura da matriz. Para fibras curtas alinhadas, tem-se:
    com
    = resistência exigida do compósito (500 MPa),
    = fração volumétrica de fibra,
    = resistência “efetiva” pela interface,
    = resistência à tração da matriz (7 MPa).

Passo 3

Calcular o comprimento crítico lc = 4000;MPatimes 0,01;mm2times25;MPa = 4050 = 0,8;mm :
Dados:
,
,
.
Como o comprimento real mm é menor que mm, confirmamos que as fibras arrancam antes de soldarem até partir.

Passo 4

Usar a fórmula para fibras curtas ( sigmac = Vf;tau,ld + (1 - Vf),sigmam ):
500 = Vf;25times0,50,01 + (1 - Vf);7
Substituindo:
500 = 1250,Vf + 7 - 7,Vf = 7 + 1243,Vf
Primeiro calcule
Então:

Passo 5

Isolando 500 - 7 = 1243,Vf Longrightarrow Vf = 4931243 approx 0,397 :

Resposta

A fração volumétrica de fibras necessária é aproximadamente
Vf approx 0,40(40 %)

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