Um compósito reforçado com fibras contínuas e alinhadas que possui uma área de seção transversal de 970 mm^2 está sujeito a uma carga externa de tração. Se as tensões suportadas pelas fases fibra e matriz são de 215 MPa e 5,38 MPa, respectivamente, a força suportada pela fase fibra é de 76.800 N e a deformação longitudinal total do compósito é de 1,56 times 10^-3, determine:
Os módulos de elasticidade das fases fibra e matriz.

Passo 1

Então, olha só o que o enunciado diz: temos um compósito com fibras contínuas alinhadas, área total da seção transversal de 970 mm², e está sendo tracionado. Sabemos que
  • a tensão na fibra é σ_f = 215 MPa,
  • a tensão na matriz é σ_m = 5,38 MPa,
  • a fibra suporta uma força F_f = 76 800 N,
  • o alongamento (deformação longitudinal) comum ao compósito todo é ε_c = 1,56×10⁻³.
Conteúdo: lei de Hooke (σ = E·ε), áreas de seção (A = F/σ) e regra de compatibilidade de deformação (ε_f = ε_m = ε_c). Vamos usar isso pra achar os módulos de elasticidade E_f (fibra) e E_m (matriz).

Passo 2

Primeiro, calculamos a área da fibra A_f usando a relação entre força e tensão:
Af = Ffsigmaf
Substituindo:
Af = 76,800 N215 MPa = 76,800 N215 N/mm^2 approx 357,21 mm^2

Passo 3

A área da matriz A_m é a diferença entre a área total e a área da fibra:
Am = Atotal - Af = 970 mm^2 - 357,21 mm^2 approx 612,79 mm^2

Passo 4

Teoria de compatibilidade de deformação diz que, num compósito alinhado submetido à tração uniaxial, fibra e matriz alongam-se igualmente. Então:
varepsilonf = varepsilonm = varepsilonc = 1,56times 10^-3

Passo 5

Agora aplicamos a lei de Hooke em cada fase:
Para a fibra,
sigmaf = Ef,varepsilonc Longrightarrow Ef = sigmafvarepsilonc = 215 MPa1,56times 10^-3 approx 137,820 MPa
Para a matriz,
sigmam = Em,varepsilonc Longrightarrow Em = sigmamvarepsilonc = 5,38 MPa1,56times 10^-3 approx 3,450 MPa

Resposta

E_f ≃ 137.820 MPa (≈137,8 GPa)
E_m ≃ 3.450 MPa (≈3,45 GPa)

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