Expresse as somas das senoides a seguir na forma geral
usando identidades trigonométricas.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para transformar a soma de duas senoides numa única senoide da forma
A informação dada é:
Queremos encontrar os valores de
(amplitude),
(frequência angular) e
(fase) de modo que a igualdade acima seja reescrita na forma pedida.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever cada termo como combinação de
e
. Vou usar as identidades de soma:
Aplicando a primeira identidade a
:
Sabendo que
e
, obtemos:
Passo 3
Agora aplicamos a identidade de seno ao segundo termo
. Usamos
Com
e
, segue:
Passo 4
Multiplicamos cada expansão pelos coeficientes originais e somamos. Para o primeiro termo, multiplicando por
:
Para o segundo termo, multiplicando por
:
Somando os dois resultados:
Definimos, para simplificar, os coeficientes
Passo 5
Queremos escrever
como
. Use a identidade
Comparando coeficientes em relação a
e
obtemos as equações:
A partir daqui:
onde
dá o ângulo cujo seno relativo é
e cosseno relativo é
, respeitando o quadrante (muito útil para evitar ambiguidade de 180º).
Passo 6
Calculamos
explicitamente. Usando
e
:
Somando:
Logo
Passo 7
Agora achamos
. Usamos
Numericamente
e
, portanto
e
, ou seja
está no quarto quadrante (ângulo entre
e
). Calculando o arco-tangente com a razão:
logo
Também podemos expressar
em radianos:
Passo 8
Portanto a soma das senoides pode ser escrita como uma única senoide com amplitude
e fase
. Escrevendo a resposta final no formato pedido: