Expresse as somas das senoides a seguir na forma geral A \operatorname{sen}(\omega t+\Theta) usando identidades trigonométricas.
a) i(t)=2 \cos \left(6 t+120^{\circ}\right)+4 \operatorname{sen}\left(6 t-60^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para transformar a soma de duas senoides numa única senoide da forma A\operatorname{sen}(\omega t+\Theta).
A informação dada é:
i(t)=2\cos\bigl(6t+120^\circ\bigr)+4\operatorname{sen}\bigl(6t-60^\circ\bigr).
Queremos encontrar os valores de A (amplitude), \omega (frequência angular) e \Theta (fase) de modo que a igualdade acima seja reescrita na forma pedida.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever cada termo como combinação de \operatorname{sen}(6t) e \cos(6t). Vou usar as identidades de soma:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,
\operatorname{sen}(\alpha+\beta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.
Aplicando a primeira identidade a \cos(6t+120^\circ):
\cos(6t+120^\circ)=\cos(6t)\cos(120^\circ)-\sin(6t)\sin(120^\circ).
Sabendo que \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2} e \sin(120^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos:
\cos(6t+120^\circ)=-\tfrac{1}{2}\cos(6t)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin(6t).

Passo 3

Agora aplicamos a identidade de seno ao segundo termo \operatorname{sen}(6t-60^\circ). Usamos
\operatorname{sen}(6t-60^\circ)=\operatorname{sen}(6t)\cos(60^\circ)-\cos(6t)\sin(60^\circ).
Com \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2} e \sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, segue:
\operatorname{sen}(6t-60^\circ)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(6t)-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(6t).

Passo 4

Multiplicamos cada expansão pelos coeficientes originais e somamos. Para o primeiro termo, multiplicando por 2:
2\cos(6t+120^\circ)=-1\cdot\cos(6t)-\sqrt{3}\cdot\sin(6t).
Para o segundo termo, multiplicando por 4:
4\operatorname{sen}(6t-60^\circ)=2\cdot\operatorname{sen}(6t)-2\sqrt{3}\cdot\cos(6t).
Somando os dois resultados:
i(t)=\bigl(-1-2\sqrt{3}\bigr)\cos(6t)+\bigl(2-\sqrt{3}\bigr)\operatorname{sen}(6t).
Definimos, para simplificar, os coeficientes
C=\text{coeficiente de }\cos(6t) = -\bigl(1+2\sqrt{3}\bigr), \quad S=\text{coeficiente de }\operatorname{sen}(6t) = 2-\sqrt{3}.

Passo 5

Queremos escrever i(t) como A\operatorname{sen}(6t+\Theta). Use a identidade
A\operatorname{sen}(6t+\Theta)=A\operatorname{sen}(6t)\cos\Theta + A\cos(6t)\sin\Theta.
Comparando coeficientes em relação a \operatorname{sen}(6t) e \cos(6t) obtemos as equações:
A\cos\Theta = S, \qquad A\sin\Theta = C.
A partir daqui:
A=\sqrt{C^{2}+S^{2}}, \qquad \Theta=\operatorname{atan2}(C,\,S),
onde \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo cujo seno relativo é y/A e cosseno relativo é x/A, respeitando o quadrante (muito útil para evitar ambiguidade de 180º).

Passo 6

Calculamos A explicitamente. Usando C=-(1+2\sqrt{3}) e S=2-\sqrt{3}:
C^{2}=(1+2\sqrt{3})^{2}=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3},
S^{2}=(2-\sqrt{3})^{2}=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}.
Somando:
C^{2}+S^{2}=(13+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})=20.
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A=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4{,}4721.

Passo 7

Agora achamos \Theta. Usamos
\cos\Theta=\frac{S}{A}=\frac{2-\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}, \qquad \sin\Theta=\frac{C}{A}=-\frac{1+2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}.
Numericamente S\approx 0{,}26795 e C\approx -4{,}4641, portanto \cos\Theta>0 e \sin\Theta<0, ou seja \Theta está no quarto quadrante (ângulo entre -90^\circ e 0^\circ). Calculando o arco-tangente com a razão:
\tan\Theta=\frac{C}{S}= -\bigl(8+5\sqrt{3}\bigr)\approx -16{,}6603,
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\Theta\approx -86{,}565^\circ.
Também podemos expressar \Theta em radianos:
\Theta\approx -1{,}511\\ \text{rad}.

Passo 8

Portanto a soma das senoides pode ser escrita como uma única senoide com amplitude A=2\sqrt{5} e fase \Theta\approx -86{,}565^\circ. Escrevendo a resposta final no formato pedido:

Resposta

i(t)=2\sqrt{5}\,\operatorname{sen}\bigl(6t-86{,}565^\circ\bigr)

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