Deseja-se projetar um sistema de fluidização destinado à secagem de produto químico:
  • Diâmetro do secador: 30 cm
  • Carga de sólidos: 39 kg
  • Densidade das partículas: 2,1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3
  • Características das partículas: \mathrm{d}_{\rho}=90 \mu (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula)
    e esfericidade \Phi=0,8
  • Altura do leito na mínima fluidização: 50 cm
  • Fluido: ar a 150^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm .
Para uma velocidade de ar de duas vezes a de mínima fluidização, determinar:
a) A queda de pressão no leito;
b) A altura do distribuidor formado de esferas de aço de 200 \mu, tal que a queda de pressão através deste seja de 10 \% da queda no leito ( \varepsilon= 0,38);
c) A potência do soprador.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do secador: D=0{,}30\\ \mathrm{m}.
  • Carga de sólidos: m_s=39\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade das partículas: \rho_p=2{,}1\\ \mathrm{g/cm^3}=2100\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Diâmetro de volume-equivalente das partículas: d_{\rho}=90\\ \mu\mathrm{m}=90\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Esfericidade das partículas: \Phi=0{,}8.
  • Altura do leito na mínima fluidização: H_{mf}=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Fluido: ar a 150^\circ\mathrm{C} (ou seja T=423{,}15\\ \mathrm{K}) e 1\\ \mathrm{atm} ( P=101325\\ \mathrm{Pa}).
  • Para o distribuidor: esferas de aço de 200\\ \mu\mathrm{m}=200\times10^{-6}\\ \mathrm{m} e porosidade \varepsilon=0{,}38.
O enunciado pede:
a) A queda de pressão no leito para uma velocidade de ar igual a 2 vezes a de mínima fluidização ( U_0=2U_{mf}).
b) A altura L do leito de esferas do distribuidor tal que a queda de pressão através deste seja 10\% da queda no leito (ou seja \Delta P_{dist} = 0{,}1\,\Delta P_{leito}).
c) A potência do soprador necessária para fornecer essa vazão e vencer a queda de pressão total.
Vou usar as informações numéricas acima sem pedir mais nada.

Passo 2

Calcular área da seção e a porosidade do leito na condição fornecida (usando a massa de sólidos e a altura do leito).
Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}30)^2}{4}=0{,}0706858\\ \mathrm{m^2}.
Volume do leito:
V_{leito}=A H_{mf}=0{,}0706858\times0{,}50=0{,}0353429\\ \mathrm{m^3}.
Volume sólido ocupado pelas partículas (a partir da massa e densidade):
V_s=\frac{m_s}{\rho_p}=\frac{39}{2100}=0{,}0185714\\ \mathrm{m^3}.
Portanto a fração sólida no leito (fração do volume ocupado por sólidos) e porosidade:
1-\varepsilon_{mf}=\frac{V_s}{V_{leito}}=\frac{0{,}0185714}{0{,}0353429}=0{,}5256,
\varepsilon_{mf}=1-0{,}5256=0{,}4744.
Observação didática rápida: a porosidade \varepsilon é a fração do volume do leito ocupada pelo fluido; aqui determinamos \varepsilon_{mf} diretamente a partir da massa de sólidos e da altura do leito fornecida.

Passo 3

Calcular massa específica do ar ( \rho_f) e viscosidade dinâmica do ar ( \mu) a 150^\circ\mathrm{C}. Vou usar a equação dos gases ideais para a densidade e a fórmula de Sutherland para a viscosidade (método padrão).
Densidade do ar pela equação dos gases ideais:
\rho_f=\frac{P}{R_{ar}T},
onde P=101325\\ \mathrm{Pa}, T=423{,}15\\ \mathrm{K} e R_{ar}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\rho_f=\frac{101325}{287\times423{,}15}=0{,}8346\\ \mathrm{kg/m^3}.
Viscosidade do ar usando a fórmula de Sutherland (valores de referência para ar: \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} a T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}):
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S}.
Substituindo:
\mu=1{,}716\times10^{-5}\left(\frac{423{,}15}{273{,}15}\right)^{3/2}\frac{273{,}15+110{,}4}{423{,}15+110{,}4}=2{,}38\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Observação: expliquei as fórmulas porque, na prova, costuma ser pedido o cálculo de \rho e \mu do ar a temperaturas diferentes da ambiente.

Passo 4

Calcular a queda de pressão no leito. Física e fórmula: no ponto de mínima fluidização, o gradiente de pressão suporta o peso aparente das partículas (peso menos o empuxo do fluido). Assim, a queda de pressão através do leito de altura H é
\Delta P_{leito}=(1-\varepsilon_{mf})\,H_{mf}\,(\rho_p-\rho_f)\,g,
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Substituindo os valores:
\Delta P_{leito}=0{,}5256\times0{,}50\times(2100-0{,}8346)\times9{,}81.
Calcule passo a passo:
\rho_p-\rho_f=2100-0{,}8346=2099{,}1654\\ \mathrm{kg/m^3},
0{,}5256\times0{,}50=0{,}2628,
0{,}2628\times2099{,}1654=551{,}66,
551{,}66\times9{,}81=5411{,}79\\ \mathrm{Pa}.
Conclusão: a queda de pressão sustentada pelo leito (que é praticamente independente da velocidade para U\ge U_{mf}, até regimes com bolhas grandes) é
\Delta P_{leito}\approx5412\\ \mathrm{Pa}\\ (\approx5{,}41\\ \mathrm{kPa}).
Comentário intuitivo: isso é o peso aparente das partículas por unidade de área.

Passo 5

Determinar U_{mf} (velocidade de mínima fluidização) para depois obter U_0=2U_{mf}. Usarei a correlação de Wen & Yu, que é muito usada para partículas finas:
  • Primeiro calcula-se o número de Archimedes
\mathrm{Ar}=\frac{g\,d_{\rho}^3\,\rho_f(\rho_p-\rho_f)}{\mu^2},
onde d_{\rho}=90\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Substituindo:
d_{\rho}^3=(90\times10^{-6})^3=7{,}29\times10^{-13}\\ \mathrm{m^3},
\mathrm{Ar}=\frac{9{,}81\times7{,}29\times10^{-13}\times0{,}8346\times2099{,}1654}{(2{,}38\times10^{-5})^2}\approx22{,}13.
A correlação de Wen & Yu dá o número de Reynolds em U_{mf}:
\mathrm{Re}_{mf}=\sqrt{33{,}7^2+0{,}0408\,\mathrm{Ar}}-33{,}7.
Substituindo \mathrm{Ar}:
\mathrm{Re}_{mf}=\sqrt{33{,}7^2+0{,}0408\times22{,}13}-33{,}7\approx0{,}020.
Por definição:
\mathrm{Re}_{mf}=\frac{\rho_f U_{mf} d_{\rho}}{\mu},
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U_{mf}=\frac{\mathrm{Re}_{mf}\,\mu}{\rho_f d_{\rho}}=\frac{0{,}020\times2{,}38\times10^{-5}}{0{,}8346\times90\times10^{-6}}.
Calculando:
U_{mf}\approx0{,}00633\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{ou }6{,}33\\ \mathrm{mm/s}).
Comentários didáticos: a correlação de Wen & Yu é prática para obter U_{mf} a partir de propriedades do fluido, dimensão e densidade das partículas. Usei d_{\rho} (diâmetro de volume-equivalente) como indicado no enunciado.

Passo 6

Calcular a velocidade superficial usada na questão e a vazão volumétrica:
Velocidade superficial pedida:
U_0=2U_{mf}=2\times0{,}00633=0{,}01266\\ \mathrm{m/s}.
Vazão volumétrica:
Q=U_0 A=0{,}01266\times0{,}0706858=8{,}953\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

Determinar a altura L do distribuidor (leito de esferas de aço de 200\\ \mu\mathrm{m}) de modo que \Delta P_{dist}=0{,}1\,\Delta P_{leito}.
Meta:
\Delta P_{dist}=0{,}1\times5411{,}79=541{,}18\\ \mathrm{Pa}.
Usarei a equação de Ergun para fluxo através de leito fixo de partículas:
\frac{\Delta P}{L}=150\frac{(1-\varepsilon)^2\mu U_0}{\varepsilon^3 d_p^2} +1{,}75\frac{(1-\varepsilon)\rho_f U_0^2}{\varepsilon^3 d_p},
onde para o distribuidor as esferas são realmente esferas (esfericidade =1), d_p=200\times10^{-6}\\ \mathrm{m} e \varepsilon=0{,}38.
Calcular os termos separadamente.
Parâmetros:
1-\varepsilon=0{,}62,\quad \varepsilon^3=(0{,}38)^3=0{,}054872.
Viscoso (termo 1):
T_1=150\frac{(1-\varepsilon)^2\mu U_0}{\varepsilon^3 d_p^2} =150\frac{(0{,}62)^2\times2{,}38\times10^{-5}\times0{,}01266}{0{,}054872\times(2{,}00\times10^{-4})^2}.
Cálculo numérico:
T_1\approx7{,}918\!\times10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
Inercial (termo 2):
T_2=1{,}75\frac{(1-\varepsilon)\rho_f U_0^2}{\varepsilon^3 d_p} =1{,}75\frac{0{,}62\times0{,}8346\times(0{,}01266)^2}{0{,}054872\times2{,}00\times10^{-4}}.
Cálculo numérico:
T_2\approx13{,}22\\ \mathrm{Pa/m}.
Soma:
\frac{\Delta P}{L}=T_1+T_2\approx7{,}931\!\times10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
Portanto a altura necessária do distribuidores é
L=\frac{\Delta P_{dist}}{\Delta P/L}=\frac{541{,}18}{7931}=0{,}06825\\ \mathrm{m}=6{,}825\\ \mathrm{cm}.
Comentário físico: o termo viscoso domina neste caso (partículas muito pequenas e velocidade baixa), por isso a dependência forte com 1/d_p^2.

Passo 8

Calcular a potência do soprador (potência hidráulica para vencer as quedas de pressão), assumindo que a única resistência relevante é a queda no leito mais a do distribuidor. A potência requerida (potência de fluxo) é
\dot{W}=Q\;(\Delta P_{leito}+\Delta P_{dist}).
Somando as quedas:
\Delta P_{total}=\Delta P_{leito}+\Delta P_{dist}=5411{,}79+541{,}18=5952{,}97\\ \mathrm{Pa}.
Potência:
\dot{W}=8{,}953\times10^{-4}\times5952{,}97=5{,}33\\ \mathrm{W}.
Observações práticas: essa é a potência hidráulica teórica. Na prática o soprador terá eficiência ( \eta) menor que 1 (e.g. 0,5–0,7), perdas adicionais em dutos, etc.; portanto a potência instalada do conjunto elétrico deve ser maior que esse valor. Mas como o enunciado não fornece eficiência, reportei a potência hidráulica.

Resposta

\Delta P_{leito}\approx5{,}412\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}
L_{distribuidor}\approx0{,}0683\\ \mathrm{m}
\dot{W}\approx5{,}33\\ \mathrm{W}

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