Planeja-se uma experiência de laboratório em leito fluidizado com um tubo de 12 cm de diâmetro. As partículas apresentam um diâmetro médio d_{\rho}=43 \mu(\Phi=0,7) e a densidade é 3,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3. A porosidade na mínima fluidização é estimada em 0,49 . O gás tem as propriedades do ar a 120^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm . Estimar:
a) A massa de sólidos para se ter uma queda de pressão na fluidização de 70 cm de água e a altura de sólidos correspondente na mínima fluidização;
b) A vazão mássica do gás a 2,5 vezes a mínima fluidização ( \mathrm{Kg} / \mathrm{h} );
c) A vazão mássica do gás que ocasiona o arraste das partículas (Kg/h).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedidos:
    (a) estimar a massa de sólidos necessária para obter uma queda de pressão na cama fluidizada de 70\\ \mathrm{cm} de água e a altura de sólidos correspondente na condição de mínima fluidização;
    (b) estimar a vazão mássica do gás quando a velocidade do gás é 2{,}5 vezes a velocidade de mínima fluidização (em \mathrm{kg/h});
    (c) estimar a vazão mássica do gás que ocasiona o arraste (carry‑over) das partículas (em \mathrm{kg/h}).
  • Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
    • diâmetro do tubo: D=0{,}12\\ \mathrm{m};
    • diâmetro médio das partículas: d_v=43\\ \mu\mathrm{m}=43\times10^{-6}\\ \mathrm{m};
    • esfericidade (sphericidade): \Phi=0{,}7;
    • densidade das partículas: \rho_s=3{,}2\\ \mathrm{g/cm^3}=3200\\ \mathrm{kg/m^3};
    • porosidade na mínima fluidização: \varepsilon_{mf}=0{,}49;
    • gás = ar a 120^\circ\mathrm{C}=393{,}15\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa};
    • queda de pressão desejada: \Delta P = 70\\ \mathrm{cm\\ H_2O}=0{,}70\\ \mathrm{m\\ H_2O}.
  • Constantes e propriedades calculadas/assumidas (vou calcular nos passos seguintes):
    • área da seção transversal do tubo A=\pi D^2/4,
    • densidade do ar \rho_g pela equação dos gases ideais,
    • viscosidade dinâmica do ar \mu (usando fórmula de Sutherland),
    • diâmetro efetivo para arrasto considerando esfericidade: d_e=\Phi d_v (explico o porquê adiante).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Relação entre queda de pressão e massa/altura de sólidos (fundamento físico e fórmulas).
  • Conceito-chave: em equilíbrio mecânico, a queda de pressão através da cama em mínima fluidização sustenta o peso aparente das partículas (peso menos o empuxo do fluido). A expressão que relaciona queda de pressão por unidade de área com a altura de leito H é:
\Delta P = (1-\varepsilon)\,(\rho_s-\rho_g)\,g\,H,
onde
  • \Delta P é a queda de pressão (Pa),
  • \varepsilon é a porosidade do leito (adimensiona),
  • \rho_s é a densidade das partículas ( \mathrm{kg/m^3}),
  • \rho_g é a densidade do gás ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
  • H é a altura do leito de partículas (m).
  • Massa total de sólidos no leito: a massa de sólidos é a fração volumétrica de sólidos vezes o volume do leito:
M_s = (1-\varepsilon)\,\rho_s\,A\,H,
onde A é a área da seção transversal do tubo.
Vou calcular \rho_g, \mu e a área A para poder usar essas fórmulas.

Passo 3

Cálculo da densidade do ar \rho_g, da viscosidade dinâmica \mu e da área A.
  • Densidade do ar (gás ideal):
\rho_g=\frac{P}{R_{\text{ar}}T},
onde P=101325\\ \mathrm{Pa}, T=393{,}15\\ \mathrm{K} e R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\rho_g=\frac{101325}{287\cdot393{,}15}\approx 0{,}8982\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Viscosidade dinâmica do ar (usei a lei de Sutherland; resultado arredondado):
    fórmula (forma usada):
\mu=\mu_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{T_0+S}{T+S},
com \mu_0=1{,}716\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} em T_0=273{,}15\\ \mathrm{K} e S=110{,}4\\ \mathrm{K}. Substituindo:
\mu\approx 2{,}258\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Área da seção transversal:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}12)^2}{4}\approx 0{,}0113097\\ \mathrm{m^2}.
Agora aplico as fórmulas do Passo 2 com esses números.

Passo 4

Cálculo da altura de sólidos H_{mf} correspondente à queda de pressão de 70\\ \mathrm{cm} de água e da massa de sólidos M_s.
  • Converter a queda de pressão \Delta P em Pascal:
\Delta P = \rho_{\mathrm{H_2O}}\,g\,h = 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}70 = 6867\\ \mathrm{Pa}.
  • Resolver para H a partir de
H=\frac{\Delta P}{(1-\varepsilon)\,(\rho_s-\rho_g)\,g}.
Substituindo números ( 1-\varepsilon=0{,}51):
H=\frac{6867}{0{,}51\cdot(3200-0{,}8982)\cdot9{,}81}\approx 0{,}429\\ \mathrm{m}.
Ou seja, H_{mf}\approx 0{,}429\\ \mathrm{m} (≈ 42{,}9\\ \mathrm{cm}).
  • Massa de sólidos:
M_s=(1-\varepsilon)\,\rho_s\,A\,H.
Substituindo:
M_s=0{,}51\cdot3200\cdot0{,}0113097\cdot0{,}429\approx 7{,}92\\ \mathrm{kg}.
Interpretação rápida: para que a queda de pressão seja de 70\\ \mathrm{cm\\ H_2O} a altura de leito na condição de mínima fluidização seria cerca de 0{,}43\\ \mathrm{m}, correspondendo a aproximadamente 7{,}9\\ \mathrm{kg} de partículas.

Passo 5

Como encontrar a velocidade de mínima fluidização U_{mf}: uso da equação de Ergun aplicada no ponto de mínima fluidização.
  • Fundamento: para um leito fixo a equação de Ergun relaciona o gradiente de pressão com a velocidade superficial U. No ponto de mínima fluidização o gradiente de pressão por unidade comprimento eqüivale ao peso aparente por volume:
(1-\varepsilon)\,(\rho_s-\rho_g)\,g = \frac{150(1-\varepsilon)^2\mu\,U_{mf}}{\varepsilon^3 d_e^2} + \frac{1{,}75(1-\varepsilon)\rho_g\,U_{mf}^2}{\varepsilon^3 d_e},
onde:
  • d_e é o diâmetro efetivo usado na expressão (vou considerar o efeito da esfericidade),
  • os termos da direita são respectivamente o termo viscoso e o termo inercial (arrasto).
  • Tratamento da esfericidade: para partículas não esféricas usa-se a correção pela esfericidade \Phi. A área específica por volume para a partícula é a_p=6/(\Phi d_v). Para manter consistência usamos o diâmetro efetivo
d_e=\Phi\,d_v.
Isso equivale a aumentar a área superficial específica quando \Phi<1. Com \Phi=0{,}7:
d_e=0{,}7\cdot43\times10^{-6}=3{,}01\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Agora considero a equação acima e resolvo numericamente para U_{mf}. É uma equação quadrática em U_{mf} do tipo
b\,U_{mf}^2 + a\,U_{mf} - c = 0,
com
a=\frac{150(1-\varepsilon)^2\mu}{\varepsilon^3 d_e^2},\quad b=\frac{1{,}75(1-\varepsilon)\rho_g}{\varepsilon^3 d_e},\quad c=(1-\varepsilon)(\rho_s-\rho_g)g.

Passo 6

Cálculos numéricos para U_{mf} (detalhando cada constante).
  • Valores já calculados:
    • \varepsilon=0{,}49\Rightarrow\varepsilon^3=0{,}117649;
    • 1-\varepsilon=0{,}51;
    • d_e=3{,}01\times10^{-5}\\ \mathrm{m};
    • \mu=2{,}258\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s};
    • \rho_g=0{,}8982\\ \mathrm{kg/m^3};
    • c=(1-\varepsilon)(\rho_s-\rho_g)g\approx 16005{,}4\\ \mathrm{Pa/m} (como no Passo 4).
  • Coeficientes:
a=\frac{150\cdot0{,}51^2\cdot2{,}258\times10^{-5}}{0{,}117649\cdot(3{,}01\times10^{-5})^2} \approx 8{,}2639\times10^{6}\\ (\mathrm{Pa\cdot s/m^2\; por\; m/s})
(este a multiplica U_{mf}),
b=\frac{1{,}75\cdot0{,}51\cdot0{,}8982}{0{,}117649\cdot3{,}01\times10^{-5}} \approx 2{,}2614\times10^{5}\\ (\mathrm{Pa\; por\; (m/s)^2}).
  • Resolver para U_{mf} (raiz positiva da quadrática):
U_{mf}=\frac{-a+\sqrt{a^2+4bc}}{2b}.
Como a^2 é muito maior que 4bc pode-se aproximar por U_{mf}\approx c/a com boa precisão. Calculando:
U_{mf}\approx \frac{16005{,}4}{8{,}2639\times10^{6}} \approx 1{,}937\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
Verificação do tamanho de Reynolds na mínima fluidização:
\mathrm{Re}_{mf}=\frac{\rho_g U_{mf} d_v}{\mu} \approx\frac{0{,}8982\cdot1{,}937\times10^{-3}\cdot43\times10^{-6}}{2{,}258\times10^{-5}} \approx 0{,}0032 \ll 1,
ou seja, o regime é viscoso (Stokes), portanto a aproximação e uso da equação de Ergun é consistente.

Passo 7

Vazão mássica do gás a 2{,}5 vezes a mínima fluidização (parte b).
  • Velocidade superficial solicitada:
U = 2{,}5\,U_{mf} = 2{,}5\cdot1{,}937\times10^{-3}\approx 4{,}843\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Vazão mássica (kg/s):
\dot m = \rho_g\,U\,A.
Substituindo:
\dot m = 0{,}8982\cdot4{,}843\times10^{-3}\cdot0{,}0113097 \approx 4{,}919\times10^{-5}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converter para \mathrm{kg/h}:
\dot m_{\mathrm{(kg/h)}}=\dot m\cdot3600 \approx 0{,}177\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto, a vazão mássica do gás a 2{,}5\,U_{mf} é aproximadamente 0{,}177\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 8

Estimativa da vazão mássica que ocasiona o arraste das partículas (parte c): metodologia e cálculo.
  • Ideia física: partículas são arrastadas quando a velocidade do gás no topo do leito (freeboard) excede a velocidade terminal de queda das partículas (ou quando forças aerodinâmicas excedem peso aparente). Para partículas muito pequenas, a velocidade terminal pode ser obtida pela lei de Stokes (regime viscoso), desde que \mathrm{Re} do grão seja pequeno.
  • Velocidade terminal (Stokes) para uma partícula esférica:
U_t = \frac{(\rho_s-\rho_g)\,g\,d_v^2}{18\,\mu}.
Usando d_v=43\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (diâmetro volumétrico). Calculando:
U_t \approx \frac{(3200-0{,}8982)\cdot9{,}81\cdot(43\times10^{-6})^2}{18\cdot2{,}258\times10^{-5}} \approx 0{,}1428\\ \mathrm{m/s}.
  • Verificação: com U_t\approx0{,}143\\ \mathrm{m/s} o número de Reynolds da partícula é
\mathrm{Re}_t=\frac{\rho_g U_t d_v}{\mu}\approx0{,}245<1,
portanto Stokes é aplicável.
  • Correção pela esfericidade: partículas não esféricas experienciam maior arrasto; a esfericidade \Phi=0{,}7 reduz a velocidade terminal. Uma correção prática (aproximação simples) é aplicar um fator aproximadamente igual à esfericidade ao valor esférico (existem fórmulas mais precisas, mas esta é uma aproximação razoável em problemas de balanço de prova). Assim:
U_{t,\mathrm{corr}}\approx \Phi\,U_t \approx 0{,}7\cdot0{,}1428\approx 0{,}100\\ \mathrm{m/s}.
  • Então consideramos que o arraste começa quando a velocidade superficial alcança aproximadamente U_{t,\mathrm{corr}}. A vazão mássica correspondente é:
\dot m_{\mathrm{arraste}}=\rho_g\,U_{t,\mathrm{corr}}\,A.
Substituindo:
\dot m_{\mathrm{arraste}} = 0{,}8982\cdot0{,}100\cdot0{,}0113097\approx 1{,}0157\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/s}.
Convertendo para \mathrm{kg/h}:
\dot m_{\mathrm{arraste}}\cdot3600 \approx 3{,}66\\ \mathrm{kg/h}.
Observação sobre a aproximação: se não aplicássemos correção pela esfericidade obteríamos \dot m\approx 5{,}22\\ \mathrm{kg/h}. Usei a correção com \Phi porque o enunciado fornece a esfericidade; portanto adotei a estimativa de redução razoável do U_t por não‑esfericidade.

Resposta

(a) M_s = 7{,}92\\ \mathrm{kg};\quad H_{mf} = 0{,}429\\ \mathrm{m}
(b) \dot m = 0{,}177\\ \mathrm{kg/h}
(c) \dot m_{\text{arraste}} \approx 3{,}66\\ \mathrm{kg/h}

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