Planeja-se uma experiência de laboratório em leito fluidizado com um tubo de 12 cm de diâmetro. As partículas apresentam um diâmetro médio
e a densidade é
. A porosidade na mínima fluidização é estimada em 0,49 . O gás tem as propriedades do ar a
e 1 atm . Estimar:
a) A massa de sólidos para se ter uma queda de pressão na fluidização de 70 cm de água e a altura de sólidos correspondente na mínima fluidização;
b) A vazão mássica do gás a 2,5 vezes a mínima fluidização (
);
c) A vazão mássica do gás que ocasiona o arraste das partículas (Kg/h).
a) A massa de sólidos para se ter uma queda de pressão na fluidização de 70 cm de água e a altura de sólidos correspondente na mínima fluidização;
b) A vazão mássica do gás a 2,5 vezes a mínima fluidização (
c) A vazão mássica do gás que ocasiona o arraste das partículas (Kg/h).
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
Pedidos:
(a) estimar a massa de sólidos necessária para obter uma queda de pressão na cama fluidizada dede água e a altura de sólidos correspondente na condição de mínima fluidização;
(b) estimar a vazão mássica do gás quando a velocidade do gás évezes a velocidade de mínima fluidização (em );
(c) estimar a vazão mássica do gás que ocasiona o arraste (carry‑over) das partículas (em). -
Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
- diâmetro do tubo:
; - diâmetro médio das partículas:
; - esfericidade (sphericidade):
; - densidade das partículas:
; - porosidade na mínima fluidização:
; - gás = ar a
e ; - queda de pressão desejada:
.
- diâmetro do tubo:
-
Constantes e propriedades calculadas/assumidas (vou calcular nos passos seguintes):
- área da seção transversal do tubo
, - densidade do ar
pela equação dos gases ideais, - viscosidade dinâmica do ar
(usando fórmula de Sutherland), - diâmetro efetivo para arrasto considerando esfericidade:
(explico o porquê adiante).
- área da seção transversal do tubo
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Relação entre queda de pressão e massa/altura de sólidos (fundamento físico e fórmulas).
- Conceito-chave: em equilíbrio mecânico, a queda de pressão através da cama em mínima fluidização sustenta o peso aparente das partículas (peso menos o empuxo do fluido). A expressão que relaciona queda de pressão por unidade de área com a altura de leito
é:
onde
-
é a queda de pressão (Pa), -
é a porosidade do leito (adimensiona), -
é a densidade das partículas ( ), -
é a densidade do gás ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura do leito de partículas (m). -
Massa total de sólidos no leito: a massa de sólidos é a fração volumétrica de sólidos vezes o volume do leito:
onde
é a área da seção transversal do tubo.
Vou calcular
,
e a área
para poder usar essas fórmulas.
Passo 3
Cálculo da densidade do ar
, da viscosidade dinâmica
e da área
.
- Densidade do ar (gás ideal):
onde
,
e
.
- Viscosidade dinâmica do ar (usei a lei de Sutherland; resultado arredondado):
fórmula (forma usada):
com
em
e
. Substituindo:
- Área da seção transversal:
Agora aplico as fórmulas do Passo 2 com esses números.
Passo 4
Cálculo da altura de sólidos
correspondente à queda de pressão de
de água e da massa de sólidos
.
- Converter a queda de pressão
em Pascal:
- Resolver para
a partir de
Substituindo números (
):
Ou seja,
(≈
).
- Massa de sólidos:
Substituindo:
Interpretação rápida: para que a queda de pressão seja de
a altura de leito na condição de mínima fluidização seria cerca de
, correspondendo a aproximadamente
de partículas.
Passo 5
Como encontrar a velocidade de mínima fluidização
: uso da equação de Ergun aplicada no ponto de mínima fluidização.
- Fundamento: para um leito fixo a equação de Ergun relaciona o gradiente de pressão com a velocidade superficial
. No ponto de mínima fluidização o gradiente de pressão por unidade comprimento eqüivale ao peso aparente por volume:
onde:
-
é o diâmetro efetivo usado na expressão (vou considerar o efeito da esfericidade), -
os termos da direita são respectivamente o termo viscoso e o termo inercial (arrasto).
-
Tratamento da esfericidade: para partículas não esféricas usa-se a correção pela esfericidade
. A área específica por volume para a partícula é . Para manter consistência usamos o diâmetro efetivo
Isso equivale a aumentar a área superficial específica quando
. Com
:
- Agora considero a equação acima e resolvo numericamente para
. É uma equação quadrática em do tipo
com
Passo 6
Cálculos numéricos para
(detalhando cada constante).
-
Valores já calculados:
-
; -
; -
; -
; -
; -
(como no Passo 4).
-
-
Coeficientes:
(este
multiplica
),
- Resolver para
(raiz positiva da quadrática):
Como
é muito maior que
pode-se aproximar por
com boa precisão. Calculando:
Verificação do tamanho de Reynolds na mínima fluidização:
ou seja, o regime é viscoso (Stokes), portanto a aproximação e uso da equação de Ergun é consistente.
Passo 7
Vazão mássica do gás a
vezes a mínima fluidização (parte b).
- Velocidade superficial solicitada:
- Vazão mássica (kg/s):
Substituindo:
- Converter para
:
Portanto, a vazão mássica do gás a
é aproximadamente
.
Passo 8
Estimativa da vazão mássica que ocasiona o arraste das partículas (parte c): metodologia e cálculo.
-
Ideia física: partículas são arrastadas quando a velocidade do gás no topo do leito (freeboard) excede a velocidade terminal de queda das partículas (ou quando forças aerodinâmicas excedem peso aparente). Para partículas muito pequenas, a velocidade terminal pode ser obtida pela lei de Stokes (regime viscoso), desde que
do grão seja pequeno. -
Velocidade terminal (Stokes) para uma partícula esférica:
Usando
(diâmetro volumétrico). Calculando:
- Verificação: com
o número de Reynolds da partícula é
portanto Stokes é aplicável.
- Correção pela esfericidade: partículas não esféricas experienciam maior arrasto; a esfericidade
reduz a velocidade terminal. Uma correção prática (aproximação simples) é aplicar um fator aproximadamente igual à esfericidade ao valor esférico (existem fórmulas mais precisas, mas esta é uma aproximação razoável em problemas de balanço de prova). Assim:
- Então consideramos que o arraste começa quando a velocidade superficial alcança aproximadamente
. A vazão mássica correspondente é:
Substituindo:
Convertendo para
:
Observação sobre a aproximação: se não aplicássemos correção pela esfericidade obteríamos
. Usei a correção com
porque o enunciado fornece a esfericidade; portanto adotei a estimativa de redução razoável do
por não‑esfericidade.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)