Deseja-se projetar um sistema massa-mola-amortecedor com frequência natural de 4 H z e fator de amortecimento \zeta=0,05. Sabendo que a massa é 20 k g, determine k e c.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes da mola e do amortecedor para um sistema massa-mola-amortecedor sabendo:
  • Frequência natural (em Hz): \,f_n=4\\ \mathrm{Hz}.
  • Fator de amortecimento: \,\zeta=0,05.
  • Massa: \,m=20\\ \mathrm{kg}.
As perguntas explícitas são:
  • Calcular a constante da mola \,k (unidade: \mathrm{N/m}).
  • Calcular o coeficiente de amortecimento \,c (unidade: \mathrm{N\cdot s/m} ou \mathrm{kg/s}).

Passo 2

Apresentar as fórmulas fundamentais e o significado de cada símbolo.
A equação característica para um sistema massa-mola-amortecedor linear é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0,
onde:
  • \,m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • \,c é o coeficiente de amortecimento (em \mathrm{N\cdot s/m}),
  • \,k é a rigidez da mola (em \mathrm{N/m}),
  • \,x(t) é o deslocamento.
Duas relações padrão:
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad \zeta=\frac{c}{2m\omega_n},
onde:
  • \,\omega_n é a frequência natural angular (rad/s),
  • \,\zeta é o fator de amortecimento adimensional.
Relação entre frequência em hertz e frequência angular:
\omega_n=2\pi f_n.
Explicando em palavras: a frequência natural em hertz ( f_n) diz quantas oscilações por segundo o sistema faz sem amortecimento; para usar as fórmulas acima precisamos da frequência angular \omega_n em rad/s, que se obtém multiplicando por 2\pi.

Passo 3

Calcular a frequência natural angular \omega_n.
Usando \omega_n=2\pi f_n:
\omega_n=2\pi\cdot 4 = 8\pi\\ \text{rad/s}.
Valor numérico aproximado:
\omega_n \approx 8\pi \approx 25,1327\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Determinar k a partir de \omega_n e m.
Da relação \omega_n=\sqrt{k/m} temos \,k=m\omega_n^2. Em símbolos:
k = m\omega_n^2.
Substituindo \,m=20\\ \mathrm{kg} e \,\omega_n=8\pi:
k = 20\cdot(8\pi)^2 = 20\cdot 64\pi^2 = 1280\pi^2\\ \mathrm{N/m}.
Fazendo a aproximação numérica (usando \pi^2\approx 9{,}8696044):
k \approx 1280\cdot 9{,}8696044 \approx 12\,633{,}09\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com duas casas decimais:
k \approx 12\,633{,}09\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Determinar c a partir de \zeta, m e \omega_n.
Da relação \zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n} isolamos c:
c = 2m\omega_n\zeta.
Substituindo os valores ( 2m=40, \zeta=0,05, \omega_n=8\pi):
c = 2\cdot 20 \cdot (8\pi)\cdot 0{,}05.
Calcule passo a passo: 2\cdot 20 = 40, 40\cdot 0{,}05 = 2, então
c = 2\cdot 8\pi = 16\pi\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Valor numérico aproximado:
c \approx 16\pi \approx 50{,}2655\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
Arredondando com duas casas decimais:
c \approx 50{,}27\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova: use sempre primeiro \omega_n=2\pi f_n, depois k=m\omega_n^2 e c=2m\omega_n\zeta. Memorizar essas três fórmulas evita perda de tempo na prova. Vai dar certo — respira fundo e resolve passo a passo como fizemos.

Resposta

\displaystyle k \approx 12\,633{,}09\\ \mathrm{N/m}
\displaystyle c \approx 50{,}27\\ \mathrm{N\cdot s/m}

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