Deseja-se projetar uma versão estéreo de um rádio utilizando modulação em amplitude, ou seja, onde dois sinais de informações são transmitidos: o sinal de áudio direito \left(m_{r}(t)\right) e esquerdo \left(m_{l}(t)\right). Para isso, os sinais são combinados em m_{1}(t)=m_{r}(t)+m_{l}(t) e m_{2}(t)=m_{r}(t)-m_{l}(t). Utilizando os conhecimentos vistos em aula, determine:
(a) ( 1,5 pontos) um diagrama de blocos de um possível transmissor para os sinais m_{1}(t) e m_{2}(t), de maneira com que eles possam ser corretamente recebidos. Determine as equações no domínio do tempo em cada parte do seu sistema modulador.
(b) ( 1,5 pontos) um diagrama de blocos de um possível o receptor, para o sistema proposto no item anterior, de maneira a recuperar os sinais m_{r}(t) e m_{l}(t) corretamente. Determine as equações no domínio do tempo em cada parte do seu sistema demodulador.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas que eu vou listar claramente para não nos perdermos:
  1. (a) Projetar um transmissor que envie os dois sinais de informação estéreo a partir de m_{r}(t) (canal direito) e m_{l}(t) (canal esquerdo). O enunciado dá as combinações
m_{1}(t)=m_{r}(t)+m_{l}(t)
e
m_{2}(t)=m_{r}(t)-m_{l}(t).
Preciso fornecer um diagrama de blocos (descrito em palavras) que permita a correta recepção desses sinais e escrever as equações no domínio do tempo em cada parte do transmissor.
  1. (b) Projetar um receptor que recupere m_{r}(t) e m_{l}(t) a partir do sinal recebido do transmissor do item (a). Também preciso dar um diagrama de blocos (descrito em palavras) e escrever as equações no domínio do tempo em cada parte do demodulador.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Existem dois sinais de áudio m_{r}(t) e m_{l}(t).
  • Foram definidas as duas combinações m_{1}(t) e m_{2}(t) acima.
  • O sistema deve usar modulação em amplitude (AM) para transmitir essas combinações.
  • O objetivo final é recuperar corretamente m_{r}(t) e m_{l}(t) no receptor.
Nada mais foi especificado (por exemplo, se deve usar detecção por envoltória ou coerente), então vou adotar uma solução prática e didática: transmitir m_{1} e m_{2} em duas portadoras AM em frequências diferentes (para separação por filtragem), e usar demodulação coerente (multiplicação pelo coseno da portadora e passagem por filtro passa-baixas) no receptor — explicarei também a alternativa por detecção de envoltória e as condições práticas (índice de modulação, separação de bandas etc.).

Passo 2

Descrição em blocos do transmissor (texto que representa o diagrama):
  • Entrada: m_{r}(t) e m_{l}(t).
  • Bloco 1: soma para obter m_{1}(t)=m_{r}(t)+m_{l}(t).
  • Bloco 2: subtração para obter m_{2}(t)=m_{r}(t)-m_{l}(t).
  • Dois moduladores AM independentes:
    • Modulador 1: gera s_{1}(t) a partir de m_{1}(t) e portadora com frequência f_{c1}.
    • Modulador 2: gera s_{2}(t) a partir de m_{2}(t) e portadora com frequência f_{c2}.
  • Bloco final: soma s(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t) e transmite pela antena/canal.
Agora as equações em cada parte do transmissor (domínio do tempo), com definição clara de cada símbolo:
  • Definição das combinações:
m_{1}(t)=m_{r}(t)+m_{l}(t), \qquad m_{2}(t)=m_{r}(t)-m_{l}(t).
  • Escolho portadoras em forma cosenoidal com pulsação \omega_{c1}=2\pi f_{c1} e \omega_{c2}=2\pi f_{c2}. Cada modulador realiza AM convencional (portadora somada à envoltória) com amplitudes de portadora A_{1} e A_{2} e índices de modulação \mu_{1} e \mu_{2}. Assim:
s_{1}(t)=A_{1}\bigl[1+\mu_{1}\,m_{1}(t)\bigr]\cos\bigl(\omega_{c1}t\bigr),
s_{2}(t)=A_{2}\bigl[1+\mu_{2}\,m_{2}(t)\bigr]\cos\bigl(\omega_{c2}t\bigr).
  • Sinal transmitido total:
s(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t) = A_{1}\bigl[1+\mu_{1}\,m_{1}(t)\bigr]\cos(\omega_{c1}t) + A_{2}\bigl[1+\mu_{2}\,m_{2}(t)\bigr]\cos(\omega_{c2}t).
Explicação didática rápida das escolhas:
  • Usamos duas portadoras em frequências distintas f_{c1} e f_{c2} para que, no receptor, um filtro passa-banda selecione cada componente sem interferência.
  • Índices de modulação \mu_{1},\mu_{2} devem satisfazer \mu_{i}\max|m_{i}(t)|<1 (condição prática) para evitar sobremodulação (isso permite uso de detector de envoltória se desejado).
  • A_{1} e A_{2} são as amplitudes de portadora (constantes positivas). Elas definem o nível de referência DC de cada canal AM.

Passo 3

Explicação de como se dá a demodulação coerente (prática e robusta) — descrevo o diagrama do receptor em palavras e depois escrevo as equações:
Diagrama do receptor (texto):
  • Entrada: sinal s(t).
  • Bloco A: filtro passa-banda centrado em f_{c1} para obter componente próxima de s_{1}(t).
  • Bloco B: demodulador coerente para s_{1}: multiplicar pela mesma portadora local \cos(\omega_{c1}t) (assumimos sincronismo de frequência e fase) e passar por filtro passa-baixas (LPF) com banda de passagem suficiente para as frequências de m_{1}(t).
  • Bloco C: operação de normalização (subtrair DC e escalar) para recuperar m_{1}(t).
  • Bloco D e E: repetir o mesmo para s_{2}(t) usando filtro passa-banda centrado em f_{c2} e portadora \cos(\omega_{c2}t) para obter m_{2}(t).
  • Bloco final: reconstrução dos canais:
\hat{m}_{r}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)+\hat{m}_{2}(t)\bigr), \qquad \hat{m}_{l}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)-\hat{m}_{2}(t)\bigr).
Agora as equações passo a passo para o caminho do primeiro canal (o segundo é análogo):
  1. Saída do passa-banda centrado em \omega_{c1} (assumimos ideal para simplificar):
s_{1}^{\text{BPF}}(t)\approx s_{1}(t)=A_{1}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr]\cos(\omega_{c1}t).
  1. Multiplicação pela portadora local (demodulação coerente):
v_{1}(t)=s_{1}^{\text{BPF}}(t)\cdot\cos(\omega_{c1}t) = A_{1}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr]\cos^{2}(\omega_{c1}t).
Usamos a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr). Assim:
v_{1}(t)=\frac{A_{1}}{2}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr] + \frac{A_{1}}{2}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr]\cos(2\omega_{c1}t).
  1. Passagem por filtro passa-baixas (LPF) que elimina a componente em 2\omega_{c1}, deixando apenas a componente base:
y_{1}(t)=\mathrm{LPF}\{v_{1}(t)\}=\frac{A_{1}}{2}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr].
  1. Recuperação de m_{1}(t) a partir de y_{1}(t): subtrair o termo DC \tfrac{A_{1}}{2} e escalar:
\hat{m}_{1}(t) \;=\; \frac{1}{\mu_{1}}\left(\frac{2\,y_{1}(t)}{A_{1}}-1\right) \;=\; \frac{1}{\mu_{1}}\left(1+\mu_{1}m_{1}(t)-1\right) \;=\; m_{1}(t).
Na prática:
\hat{m}_{1}(t)=\frac{2}{A_{1}\mu_{1}}\,y_{1}(t) - \frac{1}{\mu_{1}}.
(esta expressão algebraica mostra a subtração do DC e o ganho de normalização; idealmente \hat{m}_{1}(t)=m_{1}(t) se não houver ruído e o filtro e sincronismo forem perfeitos).
  1. Para o segundo canal fazemos exatamente o mesmo com \omega_{c2},A_{2},\mu_{2} e obtemos \hat{m}_{2}(t)=m_{2}(t) idealmente.
  2. Finalmente recuperamos os canais direito e esquerdo:
\hat{m}_{r}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)+\hat{m}_{2}(t)\bigr), \qquad \hat{m}_{l}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)-\hat{m}_{2}(t)\bigr).
Substituindo \hat{m}_{1}=m_{1} e \hat{m}_{2}=m_{2} e as definições de m_{1},m_{2}, confirma-se:
\hat{m}_{r}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl((m_{r}+m_{l})+(m_{r}-m_{l})\bigr)=m_{r}(t),
\hat{m}_{l}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl((m_{r}+m_{l})-(m_{r}-m_{l})\bigr)=m_{l}(t).

Passo 4

Observações práticas e alternativas (didática e motivação):
  • Separação de banda: escolha f_{c1} e f_{c2} tais que os espectros AM (bandas laterais) de m_{1} e m_{2} não se sobreponham. Usualmente f_{c2}-f_{c1} maior do que a largura de banda de cada sinal AM.
  • Índice de modulação: para detecção por envoltória (não-coerente) é necessário \mu_{i}\max|m_{i}(t)|<1 e um detector de envoltória seguido de remoção do nível DC recupera m_{i}(t) pela mesma ideia de normalização mostrada acima. A demodulação coerente, que multiplica pela mesma portadora, exige sincronismo de fase (ou um laço de sincronismo), mas é mais robusta ao ruído e permite recuperar sinais mesmo com \mu>1 se tratarmos corretamente.
  • Filtros: os filtros passa-banda no receptor devem ser suficientemente seletivos para atenuar o outro canal e outras interferências; os LPF depois da multiplicação devem ter frequência de corte pouco acima da máxima frequência útil dos sinais m_{i}.
  • Sincronização: para que a demodulação coerente recupere o sinal corretamente, o oscilador local deve ter a mesma frequência e fase da portadora transmitida; se houver erro de fase \varphi, o sinal recuperado será multiplicado por \cos\varphi e pode exigir correção de fase.

Passo 5

Exemplo numérico simbólico (para fixar a ideia):
  • Suponha A_{1}=A_{2}=A, \mu_{1}=\mu_{2}=\mu, \omega_{c1}=2\pi f_{c1}, \omega_{c2}=2\pi f_{c2}.
  • Transmissor:
s(t)=A\bigl[1+\mu m_{1}(t)\bigr]\cos(\omega_{c1}t) + A\bigl[1+\mu m_{2}(t)\bigr]\cos(\omega_{c2}t).
  • Receptor (coerente ideal): após BPF1, multiplicação e LPF obtemos
y_{1}(t)=\frac{A}{2}\bigl[1+\mu m_{1}(t)\bigr],
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\hat{m}_{1}(t)=\frac{2}{A\mu}y_{1}(t)-\frac{1}{\mu}=m_{1}(t).
Mesma coisa para m_{2}. Em seguida:
\hat{m}_{r}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)+\hat{m}_{2}(t)\bigr), \qquad \hat{m}_{l}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)-\hat{m}_{2}(t)\bigr).

Resposta

(a) Transmissor: m_{1}(t)=m_{r}(t)+m_{l}(t), m_{2}(t)=m_{r}(t)-m_{l}(t). Use dois moduladores AM em portadoras distintas; com parâmetros A_{1},A_{2},\mu_{1},\mu_{2},\omega_{c1},\omega_{c2}:
s(t)=A_{1}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr]\cos(\omega_{c1}t)+A_{2}\bigl[1+\mu_{2}m_{2}(t)\bigr]\cos(\omega_{c2}t).
(b) Receptor: filtrar em BPF centrados em \omega_{c1} e \omega_{c2}, multiplicar por \cos(\omega_{c1}t) e \cos(\omega_{c2}t) respectivamente, passar por LPF e normalizar. Para o primeiro canal:
y_{1}(t)=\mathrm{LPF}\{s_{1}^{\text{BPF}}(t)\cos(\omega_{c1}t)\}=\frac{A_{1}}{2}\bigl[1+\mu_{1}m_{1}(t)\bigr],
\hat{m}_{1}(t)=\frac{2}{A_{1}\mu_{1}}\,y_{1}(t)-\frac{1}{\mu_{1}}=m_{1}(t).
Análogo para \hat{m}_{2}(t)=m_{2}(t). Finalmente,
\hat{m}_{r}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)+\hat{m}_{2}(t)\bigr), \qquad \hat{m}_{l}(t)=\tfrac{1}{2}\bigl(\hat{m}_{1}(t)-\hat{m}_{2}(t)\bigr).

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