Exercício 19: Seja a
a tranformada de Fourier de
e
a tranformada de Fourier de
. Determine a resposta em frequência
associada a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa que
é a transformada de Fourier de
e
é a transformada de Fourier de
. A pergunta é: determinar a resposta em frequência
Informações relevantes listadas:
- A equação diferencial relaciona sinais
e por . - As transformadas de Fourier de
e são dadas por e . - Precisamos usar propriedades da transformada de Fourier para obter
.
(Não resolvo nada neste passo; só organizei o que o problema pede e os dados.)
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição básica da transformada de Fourier que usaremos. Para um sinal
que satisfaz condições de existência, a transformada de Fourier é
Aqui
é função da variável de frequência
(em rad/s) e
é a unidade imaginária. Essa fórmula transforma uma função no tempo em uma função no domínio da frequência. É importante porque a transformada lineariza derivadas e convoluções de forma útil.
Passo 3
Agora a propriedade chave: transformada de Fourier da derivada. Se
tem transformada
e
tende a zero suficientemente rápido em
, então
Vou explicar por que isso é verdade (derivação curta, didática). Começamos da definição:
Fazemos integração por partes: tome
e
. Então
e
. A integral vira
Se
tende a zero em
suficientemente rápido, o termo de fronteira
vale zero, restando
Essa é a propriedade que vou aplicar à função
.
Passo 4
Aplicando a transformada de Fourier à equação diferencial inteira, usando linearidade da transformada (isto é,
), obtemos:
Pelo passo anterior,
e
. Logo a equação transformada é
Passo 5
Fatorando
na equação do passo anterior:
Agora isolamos a razão
, que é exatamente a resposta em frequência
.
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
para as frequências consideradas) ou melhor isolando
, obtemos
Pronto: essa é a forma algébrica da resposta em frequência. Vou dar um pouco de intuição e resultados úteis que costumam aparecer na prova.
Passo 7
Interpretações e propriedades úteis (para te dar conteúdo que te ajuda na prova):
-
é a função que, multiplicando , dá . Em termos de circuito/sistema, é a resposta em frequência de um sistema linear de primeira ordem com constante . - Módulo e fase: o módulo de
é
e a fase é
Essas expressões são obtidas escrevendo
em forma retangular e usando fato
e
.
Passo 8
Resposta ao impulso (bônus que costuma cair em provas): se
e considerarmos o sistema causal e estável, a resposta ao impulso
(inversa de Fourier de
) é
onde
é a função degrau unitário. Isso vem do par de transformadas conhecido
Isso é útil para relacionar domínio do tempo e domínio da frequência rapidamente na prova.
Passo 9
Condições e atenção para a prova:
- Usei a propriedade
assumindo que os sinais desaparecem nas bordas do tempo (ou que tratamos a transformada bilateral e sinais apropriados). Se houver termos iniciais não nulos e você usar transformada unilateral, atenção: surgem termos adicionais. Na maioria das questões de prova sobre resposta em frequência de um LTI com formulação padrão, essa hipótese é válida. - Se na prova pedirem magnitude, fase ou resposta ao impulso, agora você sabe como obter cada uma dessas coisas.