Exercício 19: Seja a X(j \omega) a tranformada de Fourier de x(t) e Y(j \omega) a tranformada de Fourier de y(t). Determine a resposta em frequência H(j \omega)=Y(j \omega) / X(j \omega) associada a equação diferencial
\dot{y}(t)+a y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\dot{y}(t)+a\,y(t)=x(t)
e informa que X(j\omega) é a transformada de Fourier de x(t) e Y(j\omega) é a transformada de Fourier de y(t). A pergunta é: determinar a resposta em frequência
H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}.
Informações relevantes listadas:
  • A equação diferencial relaciona sinais x(t) e y(t) por \dot{y}(t)+a\,y(t)=x(t).
  • As transformadas de Fourier de x(t) e y(t) são dadas por X(j\omega) e Y(j\omega).
  • Precisamos usar propriedades da transformada de Fourier para obter H(j\omega).
    (Não resolvo nada neste passo; só organizei o que o problema pede e os dados.)

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição básica da transformada de Fourier que usaremos. Para um sinal s(t) que satisfaz condições de existência, a transformada de Fourier é
S(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} s(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Aqui S(j\omega) é função da variável de frequência \omega (em rad/s) e j é a unidade imaginária. Essa fórmula transforma uma função no tempo em uma função no domínio da frequência. É importante porque a transformada lineariza derivadas e convoluções de forma útil.

Passo 3

Agora a propriedade chave: transformada de Fourier da derivada. Se s(t) tem transformada S(j\omega) e s(t) tende a zero suficientemente rápido em |t|\to\infty, então
\mathcal{F}\{\dot{s}(t)\}=j\omega\,S(j\omega).
Vou explicar por que isso é verdade (derivação curta, didática). Começamos da definição:
\mathcal{F}\{\dot{s}(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty} \dot{s}(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Fazemos integração por partes: tome u=e^{-j\omega t} e dv=\dot{s}(t)\,dt. Então du=-j\omega e^{-j\omega t}\,dt e v=s(t). A integral vira
\left[ s(t)\,e^{-j\omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} + j\omega \int_{-\infty}^{\infty} s(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
Se s(t) tende a zero em |t|\to\infty suficientemente rápido, o termo de fronteira \left[ s(t)\,e^{-j\omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} vale zero, restando
\mathcal{F}\{\dot{s}(t)\}=j\omega\,S(j\omega).
Essa é a propriedade que vou aplicar à função y(t).

Passo 4

Aplicando a transformada de Fourier à equação diferencial inteira, usando linearidade da transformada (isto é, \mathcal{F}\{ \alpha f+\beta g\}=\alpha F+\beta G), obtemos:
\mathcal{F}\{\dot{y}(t)\} + a\,\mathcal{F}\{y(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}.
Pelo passo anterior, \mathcal{F}\{\dot{y}(t)\}=j\omega\,Y(j\omega) e \mathcal{F}\{y(t)\}=Y(j\omega). Logo a equação transformada é
j\omega\,Y(j\omega) + a\,Y(j\omega) = X(j\omega).

Passo 5

Fatorando Y(j\omega) na equação do passo anterior:
\bigl(j\omega + a\bigr)\,Y(j\omega) = X(j\omega).
Agora isolamos a razão Y(j\omega)/X(j\omega), que é exatamente a resposta em frequência H(j\omega).

Passo 6

Dividindo ambos os lados por X(j\omega) (assumindo X(j\omega)\neq 0 para as frequências consideradas) ou melhor isolando Y/X, obtemos
H(j\omega)=\frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{1}{j\omega + a}.
Pronto: essa é a forma algébrica da resposta em frequência. Vou dar um pouco de intuição e resultados úteis que costumam aparecer na prova.

Passo 7

Interpretações e propriedades úteis (para te dar conteúdo que te ajuda na prova):
  • H(j\omega)=\dfrac{1}{j\omega+a} é a função que, multiplicando X(j\omega), dá Y(j\omega). Em termos de circuito/sistema, é a resposta em frequência de um sistema linear de primeira ordem com constante a.
  • Módulo e fase: o módulo de H é
|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{\omega^{2}+a^{2}}},
e a fase é
\arg H(j\omega)=-\tan^{-1}\!\left(\frac{\omega}{a}\right).
Essas expressões são obtidas escrevendo j\omega+a em forma retangular e usando fato |u+iv|=\sqrt{u^2+v^2} e \arg(u+iv)=\tan^{-1}(v/u).

Passo 8

Resposta ao impulso (bônus que costuma cair em provas): se a>0 e considerarmos o sistema causal e estável, a resposta ao impulso h(t) (inversa de Fourier de H(j\omega)) é
h(t)=e^{-a t}\,\mathrm{u}(t),
onde \mathrm{u}(t) é a função degrau unitário. Isso vem do par de transformadas conhecido
\mathcal{F}\{e^{-a t}\,\mathrm{u}(t)\}=\frac{1}{a+j\omega}\qquad(\Re(a)>0).
Isso é útil para relacionar domínio do tempo e domínio da frequência rapidamente na prova.

Passo 9

Condições e atenção para a prova:
  • Usei a propriedade \mathcal{F}\{\dot{s}(t)\}=j\omega S(j\omega) assumindo que os sinais desaparecem nas bordas do tempo (ou que tratamos a transformada bilateral e sinais apropriados). Se houver termos iniciais não nulos e você usar transformada unilateral, atenção: surgem termos adicionais. Na maioria das questões de prova sobre resposta em frequência de um LTI com formulação padrão, essa hipótese é válida.
  • Se na prova pedirem magnitude, fase ou resposta ao impulso, agora você sabe como obter cada uma dessas coisas.

Resposta

H(j\omega)=\frac{1}{j\omega + a}

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