Deseja-se realizar um estudo sobre a relação entre o peso
e a quantidade de suco natural
que pode ser produzida de laranjas. A informação de uma amostra de laranjas obtida para este estudo é apresentada na tabela a seguir:
150
130
140
120
160
160
130
170
140
150
60
55
50
40
70
60
45
65
55
65
Há alguma evidência de uma relação linear entre o peso e quantidade de suco das laranjas? Se sim, determine esta relação.
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150 | 130 | 140 | 120 | 160 | 160 | 130 | 170 | 140 | 150 |
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60 | 55 | 50 | 40 | 70 | 60 | 45 | 65 | 55 | 65 |
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
laranjas com as medidas de peso
(em gramas) e quantidade de suco
(em mililitros). Ele pede duas coisas: primeiro, verificar se há alguma evidência de uma relação linear entre
e
; segundo, caso exista, determinar essa relação (ou seja, obter a reta que relaciona
com
).\n
As informações numéricas dadas (peguei esses dados da tabela e dos somatórios do enunciado) são:
As informações numéricas dadas (peguei esses dados da tabela e dos somatórios do enunciado) são:
Passo 2
Vamos calcular as médias amostrais, pois elas serão usadas em várias fórmulas. A média do peso
é
e a média do suco
é
Explicação didática curta: a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações; aqui usamos isso para centrar os dados e calcular variações em torno da média.
Passo 3
Agora vamos montar as quantidades básicas de dispersão usadas na regressão. Definimos
Essas expressões são apenas álgebra para medir soma dos quadrados das diferenças em relação às médias; são usadas para calcular inclinação, variância residual e correlação.
Calculemos cada uma:
Passo 4
Fórmula da reta ajustada por mínimos quadrados (explicação intuitiva): queremos a reta
onde
(inclinação) é a razão entre a covariância amostral e a variância amostral de
, e
(intercepto) é o valor que ajusta a reta passando pela média dos dados. As fórmulas são
Substituindo os valores:
Interpretação: a cada aumento de
grama no peso médio da laranja, o suco aumenta cerca de
ml, segundo o ajuste.
Passo 5
Vamos avaliar a qualidade do ajuste e testar se a inclinação é significativamente diferente de zero (ou seja, se existe evidência de relação linear). Primeiro calculamos a soma dos quadrados explicada (
) e a soma dos quadrados residual (
). Fórmulas:
Calculemos:
O erro quadrático médio (variância residual estimada) é
portanto o desvio padrão residual é
Passo 6
Teste de hipótese para a inclinação (explicação didática): queremos testar
A estatística de teste é
onde
Já temos
e
. Assim
Grau de liberdade:
. Comparando com a tabela
para
(teste bilateral), o valor crítico é aproximadamente
. Como
, rejeitamos
. O valor-
associado é muito pequeno (menor que
), o que indica evidência forte contra
. Conclusão: há evidência estatística de relação linear entre
e
.
Passo 7
Coeficiente de correlação e de determinação (explicação): o coeficiente de correlação amostral é
Calculando,
logo
Interpretação: cerca de
da variabilidade observada em
é explicada pela relação linear com
, o que é um ajuste relativamente bom.
Passo 8
Resumo final e interpretação prática (curta): a reta ajustada é
Significado prático: em média, cada grama adicional de peso da laranja está associada a um acréscimo de cerca de
ml de suco. O intercepto negativo não tem interpretação física real (não faz sentido falar em laranja com peso zero), mas é necessário matematicamente para definir a reta. O teste estatístico mostrou que a inclinação é significativamente diferente de zero (
,
), portanto há evidência de relação linear; além disso
indica que o modelo explica boa parte da variação de
.
Resposta
Sim — há evidência estatística de relação linear entre
e
(
,
).
Relação estimada: (ou
), com
.
Relação estimada: