Deseja-se realizar um estudo sobre a relação entre o peso (P) e a quantidade de suco natural (S) que pode ser produzida de laranjas. A informação de uma amostra de laranjas obtida para este estudo é apresentada na tabela a seguir:
P(\mathrm{~g}) 150 130 140 120 160 160 130 170 140 150
S(\mathrm{ml}) 60 55 50 40 70 60 45 65 55 65
\sum_{i=1}^{10} P_{i}=1450 \sum_{i=1}^{10} S_{i}=565 \sum_{i=1}^{10} P_{i}^{2}=212500 \sum_{i=1}^{10} S_{i}^{2}=32725 \sum_{i=1}^{10} P_{i} S_{i}=83100
Há alguma evidência de uma relação linear entre o peso e quantidade de suco das laranjas? Se sim, determine esta relação.

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=10 laranjas com as medidas de peso P (em gramas) e quantidade de suco S (em mililitros). Ele pede duas coisas: primeiro, verificar se há alguma evidência de uma relação linear entre P e S; segundo, caso exista, determinar essa relação (ou seja, obter a reta que relaciona S com P).\n
As informações numéricas dadas (peguei esses dados da tabela e dos somatórios do enunciado) são:
\begin{aligned} n &= 10,\\\ \sum_{i=1}^{10} P_i &= 1450,\\\ \sum_{i=1}^{10} S_i &= 565,\\\ \sum_{i=1}^{10} P_i^2 &= 212500,\\\ \sum_{i=1}^{10} S_i^2 &= 32725,\\\ \sum_{i=1}^{10} P_i S_i &= 83100. \end{aligned}

Passo 2

Vamos calcular as médias amostrais, pois elas serão usadas em várias fórmulas. A média do peso P é
\bar{P}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}P_i=\frac{1450}{10}=145,
e a média do suco S é
\bar{S}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{565}{10}=56{,}5.
Explicação didática curta: a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações; aqui usamos isso para centrar os dados e calcular variações em torno da média.

Passo 3

Agora vamos montar as quantidades básicas de dispersão usadas na regressão. Definimos
S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}(P_i-\bar{P})^{2}=\sum_{i=1}^{n}P_i^{2}-n\bar{P}^{2},
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}(P_i-\bar{P})(S_i-\bar{S})=\sum_{i=1}^{n}P_iS_i-n\bar{P}\bar{S},
S_{yy}=\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^{2}=\sum_{i=1}^{n}S_i^{2}-n\bar{S}^{2}.
Essas expressões são apenas álgebra para medir soma dos quadrados das diferenças em relação às médias; são usadas para calcular inclinação, variância residual e correlação.
Calculemos cada uma:
\begin{aligned} S_{xx} &= 212500 - 10\cdot 145^{2} = 212500 - 210250 = 2250,\\[4pt] S_{xy} &= 83100 - 10\cdot 145\cdot 56{,}5 = 83100 - 81925 = 1175,\\[4pt] S_{yy} &= 32725 - 10\cdot 56{,}5^{2} = 32725 - 31922{,}5 = 802{,}5. \end{aligned}]

Passo 4

Fórmula da reta ajustada por mínimos quadrados (explicação intuitiva): queremos a reta
\hat{S} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 P,
onde \hat{\beta}_1 (inclinação) é a razão entre a covariância amostral e a variância amostral de P, e \hat{\beta}_0 (intercepto) é o valor que ajusta a reta passando pela média dos dados. As fórmulas são
\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad \hat{\beta}_0 = \bar{S} - \hat{\beta}_1\bar{P}.
Substituindo os valores:
\hat{\beta}_1 = \frac{1175}{2250}=\frac{47}{90}\approx 0{,}5222,
\hat{\beta}_0 = 56{,}5 - \frac{47}{90}\cdot 145 = 56{,}5 - \frac{6815}{90} = -\frac{173}{9}\approx -19{,}2222.
Interpretação: a cada aumento de 1 grama no peso médio da laranja, o suco aumenta cerca de 0{,}522 ml, segundo o ajuste.

Passo 5

Vamos avaliar a qualidade do ajuste e testar se a inclinação é significativamente diferente de zero (ou seja, se existe evidência de relação linear). Primeiro calculamos a soma dos quadrados explicada ( \mathrm{SSR}) e a soma dos quadrados residual ( \mathrm{SSE}). Fórmulas:
\mathrm{SSR}=\hat{\beta}_1 S_{xy},\qquad \mathrm{SSE}=S_{yy}-\mathrm{SSR}.
Calculemos:
\mathrm{SSR}=\frac{47}{90}\cdot 1175=\frac{1175^{2}}{2250}=\frac{55225}{90}\approx 613{,}6111,
\mathrm{SSE}=802{,}5 - 613{,}6111=\frac{1700}{9}\approx 188{,}8889.
O erro quadrático médio (variância residual estimada) é
s^{2}=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}=\frac{1700/9}{8}=\frac{425}{18}\approx 23{,}6111,
portanto o desvio padrão residual é
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{425}{18}}\approx 4{,}859.

Passo 6

Teste de hipótese para a inclinação (explicação didática): queremos testar
H_{0}:\beta_{1}=0\quad\text{vs.}\quad H_{1}:\beta_{1}\neq 0.
A estatística de teste é
t=\frac{\hat{\beta}_1}{\operatorname{se}(\hat{\beta}_1)},
onde
\operatorname{se}(\hat{\beta}_1)=\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}}.
Já temos s\approx 4{,}859 e \sqrt{S_{xx}}=\sqrt{2250}=15\sqrt{10}\approx 47{,}434. Assim
\operatorname{se}(\hat{\beta}_1)=\frac{\sqrt{425/18}}{\sqrt{2250}}=\frac{\sqrt{85}}{90}\approx 0{,}10244,
t=\frac{47/90}{\sqrt{85}/90}=\frac{47}{\sqrt{85}}\approx 5{,}099.
Grau de liberdade: n-2=8. Comparando com a tabela t para \alpha=0{,}05 (teste bilateral), o valor crítico é aproximadamente t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306. Como 5{,}099>2{,}306, rejeitamos H_{0}. O valor- p associado é muito pequeno (menor que 0{,}001), o que indica evidência forte contra H_0. Conclusão: há evidência estatística de relação linear entre P e S.

Passo 7

Coeficiente de correlação e de determinação (explicação): o coeficiente de correlação amostral é
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.
Calculando,
r^{2}=\frac{\mathrm{SSR}}{S_{yy}}=\frac{55225/90}{1605/2}=\frac{110450}{144450}\approx 0{,}7645,
logo
r\approx \sqrt{0{,}7645}\approx 0{,}8744.
Interpretação: cerca de 76{,}45\% da variabilidade observada em S é explicada pela relação linear com P, o que é um ajuste relativamente bom.

Passo 8

Resumo final e interpretação prática (curta): a reta ajustada é
\hat{S} = -\frac{173}{9} + \frac{47}{90}\,P \approx -19{,}2222 + 0{,}5222\,P.
Significado prático: em média, cada grama adicional de peso da laranja está associada a um acréscimo de cerca de 0{,}522 ml de suco. O intercepto negativo não tem interpretação física real (não faz sentido falar em laranja com peso zero), mas é necessário matematicamente para definir a reta. O teste estatístico mostrou que a inclinação é significativamente diferente de zero ( t\approx 5{,}10, p<0{,}001), portanto há evidência de relação linear; além disso R^{2}\approx 0{,}7645 indica que o modelo explica boa parte da variação de S.

Resposta

Sim — há evidência estatística de relação linear entre P e S ( t\approx 5{,}10, p<0{,}001).
Relação estimada: \displaystyle \hat{S}=-\frac{173}{9}+\frac{47}{90}\,P (ou \hat{S}\approx -19{,}2222+0{,}5222\,P), com R^{2}\approx 0{,}7645.

Exercícios relacionados