Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixas, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Um conexão é retirada aleatoriamente de cada caixa (na ordem das caixas apresentadas). Calcule a probabilidade de:
a) apenas uma ser defeituosa
b) ambas serem defeituosas
c) ambas não serem defeituosas

Passo 1

O enunciado dá duas caixas e pede probabilidades sobre retirar uma conexão de cada caixa (na ordem dada). Informações e perguntas claras:
  • Da primeira caixa: há 30 conexões, sendo 11 defeituosas.
  • Da segunda caixa: há 12 conexões, sendo 4 defeituosas.
  • É retirada uma conexão aleatoriamente de cada caixa (uma da primeira, depois uma da segunda).
    Perguntas:
    a) Qual a probabilidade de apenas uma das duas ser defeituosa?
    b) Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
    c) Qual a probabilidade de ambas não serem defeituosas?

Passo 2

Vamos definir probabilidades simples para cada caixa e relembrar regras básicas que vamos usar (vou explicar devagar como se fosse na prova).
  • Em probabilidades, quando tiramos um item de uma caixa, a probabilidade de escolher um tipo é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos. Por exemplo, se numa caixa há a itens favoráveis em N totais, a probabilidade é \dfrac{a}{N}.
  • Quando temos dois experimentos independentes (a retirada de uma caixa não interfere na outra), a probabilidade de acontecerem dois eventos juntos (A e B) é o produto das probabilidades:
P(A\\ \text{e}\\ B)=P(A)\cdot P(B).
Aqui as retiradas são de caixas diferentes, então são independentes — retirar da primeira não muda a composição da segunda.

Passo 3

Calcular as probabilidades na primeira caixa:
  • Probabilidade de retirar defeituosa na primeira caixa: P(\text{def}_1)=\dfrac{11}{30}.
  • Probabilidade de retirar não defeituosa (boa) na primeira caixa: P(\text{boa}_1)=1-P(\text{def}_1)=1-\dfrac{11}{30}=\dfrac{19}{30}.
Expliquei porque subtrai de 1: o evento “boa” é o complemento de “defeituosa” dentro da mesma caixa.

Passo 4

Calcular as probabilidades na segunda caixa:
  • Probabilidade de retirar defeituosa na segunda caixa: P(\text{def}_2)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}.
  • Probabilidade de retirar não defeituosa (boa) na segunda caixa: P(\text{boa}_2)=1-P(\text{def}_2)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a probabilidade de ambas serem defeituosas (questão b). Usamos a regra do produto porque os eventos são independentes: a conexão da primeira ser defeituosa E a da segunda ser defeituosa é o produto das probabilidades.
P(\text{ambas defeituosas})=P(\text{def}_1)\cdot P(\text{def}_2)=\dfrac{11}{30}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{90}.
Mostrei cada passo: multiplicar numeradores e denominadores e simplificar quando possível.

Passo 6

Calcular a probabilidade de ambas não serem defeituosas (questão c). Novamente produto de probabilidades de cada caixa sair boa:
P(\text{ambas boas})=P(\text{boa}_1)\cdot P(\text{boa}_2)=\dfrac{19}{30}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{38}{90}=\dfrac{19}{45}.
Aqui eu multipliquei e depois simplifiquei a fração por 2.

Passo 7

Calcular a probabilidade de apenas uma ser defeituosa (questão a). “Apenas uma” significa dois casos mutuamente exclusivos: (i) primeira defeituosa e segunda boa, OU (ii) primeira boa e segunda defeituosa. Para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é soma das probabilidades. Vamos calcular cada caso e somar:
  • Caso (i): P(\text{def}_1\\ \text{e}\\ \text{boa}_2)=P(\text{def}_1)\cdot P(\text{boa}_2)=\dfrac{11}{30}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{22}{90}=\dfrac{11}{45}.
  • Caso (ii): P(\text{boa}_1\\ \text{e}\\ \text{def}_2)=P(\text{boa}_1)\cdot P(\text{def}_2)=\dfrac{19}{30}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{19}{90}.
Somando os dois casos:
P(\text{apenas uma defeituosa})=\dfrac{22}{90}+\dfrac{19}{90}=\dfrac{41}{90}.

Passo 8

Checagem rápida (sanity check): as três probabilidades calculadas devem somar 1 (pois os possíveis números de conexões defeituosas são 0,1,2). Vamos somar:
\dfrac{11}{90}+\dfrac{41}{90}+\dfrac{38}{90}=\dfrac{90}{90}=1.
Tudo consistente.

Resposta

a) \dfrac{41}{90}
b) \dfrac{11}{90}
c) \dfrac{19}{45}

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