Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões. Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixas, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Um conexão é retirada aleatoriamente de cada caixa (na ordem das caixas apresentadas). Calcule a probabilidade de:
a) apenas uma ser defeituosa
b) ambas serem defeituosas
c) ambas não serem defeituosas
a) apenas uma ser defeituosa
b) ambas serem defeituosas
c) ambas não serem defeituosas
Passo 1
O enunciado dá duas caixas e pede probabilidades sobre retirar uma conexão de cada caixa (na ordem dada). Informações e perguntas claras:
- Da primeira caixa: há
conexões, sendo defeituosas. - Da segunda caixa: há
conexões, sendo defeituosas. - É retirada uma conexão aleatoriamente de cada caixa (uma da primeira, depois uma da segunda).
Perguntas:
a) Qual a probabilidade de apenas uma das duas ser defeituosa?
b) Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
c) Qual a probabilidade de ambas não serem defeituosas?
Passo 2
Vamos definir probabilidades simples para cada caixa e relembrar regras básicas que vamos usar (vou explicar devagar como se fosse na prova).
- Em probabilidades, quando tiramos um item de uma caixa, a probabilidade de escolher um tipo é o número de casos favoráveis dividido pelo número total de casos. Por exemplo, se numa caixa há
itens favoráveis em totais, a probabilidade é . - Quando temos dois experimentos independentes (a retirada de uma caixa não interfere na outra), a probabilidade de acontecerem dois eventos juntos (A e B) é o produto das probabilidades:
Aqui as retiradas são de caixas diferentes, então são independentes — retirar da primeira não muda a composição da segunda.
Passo 3
Calcular as probabilidades na primeira caixa:
- Probabilidade de retirar defeituosa na primeira caixa:
- Probabilidade de retirar não defeituosa (boa) na primeira caixa:
Expliquei porque subtrai de 1: o evento “boa” é o complemento de “defeituosa” dentro da mesma caixa.
Passo 4
Calcular as probabilidades na segunda caixa:
- Probabilidade de retirar defeituosa na segunda caixa:
- Probabilidade de retirar não defeituosa (boa) na segunda caixa:
Passo 5
Calcular a probabilidade de ambas serem defeituosas (questão b). Usamos a regra do produto porque os eventos são independentes: a conexão da primeira ser defeituosa E a da segunda ser defeituosa é o produto das probabilidades.
Mostrei cada passo: multiplicar numeradores e denominadores e simplificar quando possível.
Passo 6
Calcular a probabilidade de ambas não serem defeituosas (questão c). Novamente produto de probabilidades de cada caixa sair boa:
Aqui eu multipliquei e depois simplifiquei a fração por
.
Passo 7
Calcular a probabilidade de apenas uma ser defeituosa (questão a). “Apenas uma” significa dois casos mutuamente exclusivos: (i) primeira defeituosa e segunda boa, OU (ii) primeira boa e segunda defeituosa. Para eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é soma das probabilidades. Vamos calcular cada caso e somar:
- Caso (i):
- Caso (ii):
Somando os dois casos:
Passo 8
Checagem rápida (sanity check): as três probabilidades calculadas devem somar
(pois os possíveis números de conexões defeituosas são
). Vamos somar:
Tudo consistente.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)