Em uma urna existem 3 bolas verdes e 2 amarelas. Calcule a probabilidade de que, em duas extrações sem reposição, as bolas sejam:
de cores diferentes

Passo 1

O enunciado diz que há, numa urna, \,3\, bolas verdes e \,2\, bolas amarelas. Vamos fazer duas extrações sem reposição (ou seja, depois da primeira extração a bola não volta para a urna). A pergunta é: qual a probabilidade de que as duas bolas extraídas sejam de cores diferentes?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de bolas verdes: \,3\,.
  • Número de bolas amarelas: \,2\,.
  • Total de bolas: \,5\, (porque \,3+2=5\,).
  • Extrações: duas, sem reposição.
  • Evento pedido: as duas bolas têm cores diferentes (uma verde e uma amarela, em qualquer ordem).

Passo 2

Método 1 — raciocínio por combinatória (contagem de pares): explico a ideia antes de calcular. Quando escolhemos duas bolas sem ordem (a ordem das extrações não importa para o evento “cores diferentes”), podemos contar quantos pares de bolas possíveis existem no total e quantos desses pares têm cores diferentes. A probabilidade é
\text{Probabilidade} = \frac{\text{número de pares favoráveis}}{\text{número total de pares}}.úáú
Aqui usamos a combinação \binom{n}{k}, que conta de quantas formas podemos escolher k objetos dentre n sem considerar ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.

Passo 3

Calcular o número total de pares possíveis (todas as escolhas de 2 bolas dentre 5):
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!\,3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Então existem \,10\, pares possíveis no total.

Passo 4

Calcular o número de pares favoráveis (pares com uma verde e uma amarela). Escolhemos \,1\, verde dentre \,3\, e \,1\, amarela dentre \,2\,. Pelo princípio do produto,
\binom{3}{1}\cdot\binom{2}{1}=3\cdot2=6.
Logo, há \,6\, pares favoráveis.

Passo 5

Calcular a probabilidade pelo quociente das contagens:
\text{Probabilidade}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.
Se preferir em número decimal, \frac{3}{5}=0,6.

Passo 6

Método 2 — verificação por probabilidade condicional (mesma resposta, outro jeito): explico a ideia: somamos as probabilidades das duas ordens possíveis — primeiro verde depois amarelo, e primeiro amarelo depois verde. Isso usa a regra da probabilidade condicional: \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\Pr(B\mid A).
Calculemos:
  • Probabilidade de primeiro tirar verde e depois amarelo:
\Pr(\text{V then A})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{10}.
Explicação: na primeira extração há \,3 verdes em \,5 bolas; depois de retirar uma verde ficam \,2 amarelas em \,4 bolas.
  • Probabilidade de primeiro tirar amarelo e depois verde:
\Pr(\text{A then V})=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.
Somando as duas ordens:
\Pr(\text{cores diferentes})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5},
mesma resposta do método combinatório — checagem boa.

Passo 7

Dica prática para a prova: o método combinatório é rápido quando a ordem não importa; contar \binom{3}{1}\cdot\binom{2}{1} sobre \binom{5}{2} é direto. O método condicional é útil quando a ordem importa ou quando querem a probabilidade de uma sequência específica. Ambos dão a mesma resposta quando aplicados corretamente. Força aí — você já sabe dois jeitos de resolver isso!

Resposta

\dfrac{3}{5}

Exercícios relacionados