Deseja-se reduzir a concentração de um ácido contido em um tanque de 150 ft^3, de 21 % para 1 % (em massa). Para tanto, uma corrente de 3 ft^3 / min de água de lavagem contendo 0,2 % de ácido é alimentada ao tanque e outra corrente com a mesma vazão é retirada pelo fundo do tanque. Quanto tempo será necessário para atingir a concentração desejada? Supor que a mistura do tanque é perfeita e que as densidades são constantes e iguais em todas as correntes.
[Resp: 162,9 min]

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um tanque de 150 ft³ que começa com 21% de ácido (em massa) e a gente quer chegar a só 1%. Pra isso, entra água de lavagem com 0,2% de ácido a 3 ft³/min e sai a mesma vazão (3 ft³/min). A mistura é perfeita e o volume fica sempre 150 ft³.
Conteúdo: equação diferencial de 1ª ordem aplicada a problemas de mistura (balanço de massa). Vamos precisar:
  • Definir a quantidade de ácido no tanque como função do tempo, digamos .
  • Montar o balanço (entrada menos saída).
  • Resolver a equação diferencial linear e achar o tempo em que a concentração fica em 1%.

Passo 2

Primeiro, define:
  • ft³ é o volume constante.
  • é a massa (ou volume equivalente de massa, já que a densidade é constante) de ácido no tanque em ft³-equivalente.
  • Vazão de entrada ft³/min com concentração (fração).
  • Vazão de saída ft³/min, com concentração igual à do tanque: .
  • Condição inicial: (unidades de massa).

Passo 3

Montando o balanço de massa de ácido:
dA/dt = (taxa de entrada) – (taxa de saída)
= dAdt =3cdot0,002 ;-; 3cdotA150 =0,006 ;-;0,02,A
Logo,
dAdt +0,02,A =0,006
Isso é uma equação diferencial linear padrão:

Passo 4

Para resolver, lembramos que a solução geral é
A(t)=Ainfty + l(A(0)-Ainftyr)e^-0,02,t,
onde A(t)=0,3 +l(31,5-0,3r)e^-0,02,t =0,3 +31,2,e^-0,02,t .
Como ,

Passo 5

A concentração do tanque é A(t)150=0,01 Longrightarrow A(t)=1,5 . Queremos que seja 1%, ou seja
0,3 +31,2,e^-0,02,t=1,5 Longrightarrow 31,2,e^-0,02,t=1,2 Longrightarrow e^-0,02,t=1,231,2approx0,03846
Então impomos
-0,02,t = ln(0,03846) Longrightarrow t = -10,02ln(0,03846)approx162,9;min
Tirando logaritmo:

Resposta

O tempo necessário é cerca de 162,9 minutos.

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