Deseja-se reduzir a concentração de um ácido contido em um tanque de
, de
para
(em massa). Para tanto, uma corrente de
de água de lavagem contendo
de ácido é alimentada ao tanque e outra corrente com a mesma vazão é retirada pelo fundo do tanque. Quanto tempo será necessário para atingir a concentração desejada? Supor que a mistura do tanque é perfeita e que as densidades são constantes e iguais em todas as correntes.
[Resp: 162,9 min]
[Resp: 162,9 min]
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos um tanque de 150 ft³ que começa com 21% de ácido (em massa) e a gente quer chegar a só 1%. Pra isso, entra água de lavagem com 0,2% de ácido a 3 ft³/min e sai a mesma vazão (3 ft³/min). A mistura é perfeita e o volume fica sempre 150 ft³.
Conteúdo: equação diferencial de 1ª ordem aplicada a problemas de mistura (balanço de massa). Vamos precisar:
Conteúdo: equação diferencial de 1ª ordem aplicada a problemas de mistura (balanço de massa). Vamos precisar:
- Definir a quantidade de ácido no tanque como função do tempo, digamos
. - Montar o balanço (entrada menos saída).
- Resolver a equação diferencial linear e achar o tempo
em que a concentração fica em 1%.
Passo 2
Primeiro, define:
-
ft³ é o volume constante. -
é a massa (ou volume equivalente de massa, já que a densidade é constante) de ácido no tanque em ft³-equivalente. - Vazão de entrada
ft³/min com concentração (fração). - Vazão de saída
ft³/min, com concentração igual à do tanque: . - Condição inicial:
(unidades de massa).
Passo 3
Montando o balanço de massa de ácido:
dA/dt = (taxa de entrada) – (taxa de saída)
=
Logo,
dA/dt = (taxa de entrada) – (taxa de saída)
=
Logo,
Isso é uma equação diferencial linear padrão:
Passo 4
Para resolver, lembramos que a solução geral é
onde
.
Como ,
Como
Passo 5
A concentração do tanque é
. Queremos que seja 1%, ou seja
Então impomos
Tirando logaritmo:
Resposta
O tempo necessário é cerca de 162,9 minutos.