Um recipiente completamente agitado contém, no momento em que se introduz uma corrente de água pura, 450 galões de uma solução de água e 75 lbm de cloreto de sódio. Encontre a concentração do sal (g/L)ao final de uma operação de 60 min se a vazão de água que entra no tanque é de 7 gal / min e se elimina a salmoura à mesma velocidade.
[Resp: 7,8 g/L]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um tanque com 450 gal de solução contendo 75 lbₘ de NaCl. A partir do instante zero entra água pura a 7 gal/min e sai a mesma vazão, e o tanque fica sempre bem agitado (mistura uniforme). A pergunta é: qual a concentração de sal em g/L depois de 60 min?
Conteúdo: modelo de mistura com EDO (equação diferencial ordinária) em tanque perfeitamente agitado, além de conversão de unidades (lbₘ → g e gal → L).

Passo 2

Vamos chamar de y(t) a massa de sal (em lbₘ) no tanque no tempo t.
  • Volume constante: V=450,gal
  • Vazão de entrada =7,gal/min com água pura (sal = 0)
  • Vazão de saída =7,gal/min com concentração y(t)/V
A equação diferencial é
dydt = (entrada) - (saída) = 0 - 7450,y(t) ;=; -7450,y(t)í

Passo 3

Para resolver dydt=-7450y, separamos as variáveis:
dyy = -7450,dt
Integrando de 0 a t e de y(0)=75 a y(t):
$$\ln!\bigl(y(t)\bigr)-\ln(75) = -\frac{7}{450},t
\quad\Longrightarrow\quad
y(t) = 75,e^{-\frac{7}{450}t}. ln!l(y(t)r)-ln(75) = -7450,t Longrightarrow y(t) = 75,e^-7450ty(60) = 75,e^{-\frac{7}{450}\cdot60}
= 75,e^{-0,9333} \approx 29{,}5;lbₘ.$$

Passo 4

Agora convertendo em gramas e litros para achar g/L:
  • Massa de sal: 29,5;lbₘtimes 453,592;glbₘ approx 1,3381times10^4,g
  • Volume: 450;galtimes 3,7854;Lgal approx 1,7034times10^3,L
    Concentração:
$$c = \frac{1{,}3381\times10{4},\text{g}}{1{,}7034\times10{3},L}
\approx 7{,}8;g/L.$$

Resposta

A concentração de sal após 60 min é aproximadamente 7,8;g/L,.

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