Um recipiente completamente agitado contém, no momento em que se introduz uma corrente de água pura, 450 galões de uma solução de água e
de cloreto de sódio. Encontre a concentração do sal (g/L)ao final de uma operação de 60 min se a vazão de água que entra no tanque é de
e se elimina a salmoura à mesma velocidade.
[Resp: 7,8 g/L]
[Resp: 7,8 g/L]
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um tanque com 450 gal de solução contendo 75 lbₘ de NaCl. A partir do instante zero entra água pura a 7 gal/min e sai a mesma vazão, e o tanque fica sempre bem agitado (mistura uniforme). A pergunta é: qual a concentração de sal em g/L depois de 60 min?
Conteúdo: modelo de mistura com EDO (equação diferencial ordinária) em tanque perfeitamente agitado, além de conversão de unidades (lbₘ → g e gal → L).
Conteúdo: modelo de mistura com EDO (equação diferencial ordinária) em tanque perfeitamente agitado, além de conversão de unidades (lbₘ → g e gal → L).
Passo 2
Vamos chamar de
a massa de sal (em lbₘ) no tanque no tempo
.
- Volume constante:
gal - Vazão de entrada
gal/min com água pura (sal = 0) - Vazão de saída
gal/min com concentração
A equação diferencial é
Passo 3
Para resolver
, separamos as variáveis:
Integrando de 0 a
$$\ln!\bigl(y(t)\bigr)-\ln(75) = -\frac{7}{450},t
\quad\Longrightarrow\quad
y(t) = 75,e^{-\frac{7}{450}t}.
y(60) = 75,e^{-\frac{7}{450}\cdot60}
= 75,e^{-0,9333} \approx 29{,}5;lbₘ.$$
Passo 4
Agora convertendo em gramas e litros para achar g/L:
- Massa de sal:
- Volume:
Concentração:
$$c = \frac{1{,}3381\times10{4},\text{g}}{1{,}7034\times10{3},L}
\approx 7{,}8;g/L.$$
Resposta
A concentração de sal após 60 min é aproximadamente
.