Deseja-se remover um componente (soluto A) de um material retangular de 1 cm de espessura, 1 m de largura e profundidade. Sabendo-se que a fração molar inicial e a fração molar na superfície de A são iguais a 40 \% e 5 \%, respectivamente, determine o tempo necessário para reduzir a fração desse componente para 10 \%. Obs.: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,9 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.
Considerando a transferência de massa através da extremidade superior, regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado e que a resistência superficial possa ser desprezada;

Passo 1

O que o problema pede: determinar o tempo necessário para reduzir a fração molar média do componente A de 40\% para 10\% num sólido retangular cuja espessura é 1\\ \mathrm{cm}, considerando que a transferência de massa ocorre apenas pela face superior, que a fração molar na superfície é mantida em 5\%, regime transiente, propriedades constantes, meio estagnado e resistência superficial desprezível.
Informações fornecidas e relevantes:
\begin{aligned} &\text{Espessura do sólido: } 1\\ \mathrm{cm}.\\\ &\text{Fração molar inicial: } C_0 = 0{,}40\\ (\text{ou }40\%).\\\ &\text{Fração molar na superfície (mantida): } C_s = 0{,}05\\ (\text{ou }5\%).\\\ &\text{Fração molar média desejada: } \overline{C}(t) = 0{,}10\\ (\text{ou }10\%).\\\ &\text{Difusividade: } D_{AB}=0{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.\\\ &\text{Transferência unidimensional através da face superior (uma face exposta).} \end{aligned}óçãçãíçãéêé

Passo 2

Modelagem e escolha das condições de contorno (explicação didática).
  • Como só a face superior troca massa com o exterior e a face inferior é impermeável (meio estagnado, resistência superficial desprezível), é conveniente usar o truque da “reflexão”: o problema em 0\le x\le L com x=0 a face exposta e x=L isolada é equivalente a um “folheto” (slab) simétrico de espessura total 2L com ambas as faces expostas à mesma concentração de superfície. Assim podemos usar a solução padrão para um slab de espessura total 2L com as duas faces mantidas em C_s.
  • No nosso caso a espessura total original é 1\\ \mathrm{cm}. Para usar a formulação padrão, tomamos o semi-espessura (metade do slab simétrico) igual a
L = 1\\ \mathrm{cm}.
(Explicação do porquê: o slab espelhado terá espessura total 2L=2\\ \mathrm{cm}; esta construção corresponde fisicamente ao caso original com uma face trocando e a outra isolada.)

Passo 3

A solução média conhecida para um slab com ambas as faces mantidas em C_s (e começo com C_0 uniforme) é:
\frac{\overline{C}(t)-C_s}{C_0-C_s}=\frac{8}{\pi^{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{2}}\exp\!\bigg[-\frac{(2n+1)^{2}\pi^{2}D\,t}{4L^{2}}\bigg].
Explicação da fórmula (passo a passo, sem jargões):
  • \overline{C}(t) é a concentração média no volume do slab no instante t.
  • C_0 é a concentração inicial uniforme.
  • C_s é a concentração imposta nas superfícies (aqui 0{,}05).
  • A expressão à direita é uma série (soma infinita) de modos de decaimento; cada termo tem uma amplitude \frac{8}{\pi^{2}}\frac{1}{(2n+1)^{2}} e decai exponencialmente com uma constante de tempo que depende de D e de L.
  • Em muitos problemas práticos a soma é bem aproximada pelo primeiro termo ( n=0) porque termos com n\ge1 decaem muito mais rápido (têm expoentes muito maiores).

Passo 4

Calcular a razão desejada e simplificar:
\text{Queremos } \overline{C}(t)=0{,}10.
Formamos a razão:
R\equiv\frac{\overline{C}(t)-C_s}{C_0-C_s}=\frac{0{,}10-0{,}05}{0{,}40-0{,}05}=\frac{0{,}05}{0{,}35}=\frac{1}{7}\approx0{,}142857.

Passo 5

Aproximação pelo primeiro termo da série (justificativa e uso):
  • O primeiro termo ( n=0) da série dá
R \approx \frac{8}{\pi^{2}}\exp\!\bigg[-\frac{\pi^{2}D\,t}{4L^{2}}\bigg].
  • Justificativa: os termos subsequentes têm coeficientes \frac{8}{\pi^{2}}\frac{1}{(2n+1)^{2}} que decrescem com (2n+1)^{2} e seus expoentes contêm um fator (2n+1)^{2}, então para os tempos em que o primeiro termo já é pequeno os demais são desprezíveis. Podemos verificar a coerência a posteriori se necessário, mas para o objetivo de estimar o tempo essa aproximação costuma ser excelente.

Passo 6

Isolar o tempo t na expressão aproximada.
Começamos isolando a exponencial:
\exp\!\bigg[-\frac{\pi^{2}D\,t}{4L^{2}}\bigg]\approx R\cdot\frac{\pi^{2}}{8}.
Agora tomamos logaritmo natural e resolvemos para t:
-\frac{\pi^{2}D\,t}{4L^{2}}=\ln\!\left(R\cdot\frac{\pi^{2}}{8}\right)
t=-\frac{4L^{2}}{\pi^{2}D}\ln\!\left(R\cdot\frac{\pi^{2}}{8}\right).

Passo 7

Substituir números e calcular (mostrando contas).
Valores:
\begin{aligned} &D=0{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s},\\\ &L=1\\ \mathrm{cm},\\\ &R=\frac{1}{7}\approx0{,}142857,\\\ &\pi^{2}\approx9{,}8696. \end{aligned}
Calcule primeiro o fator dentro do logaritmo:
R\cdot\frac{\pi^{2}}{8}\approx0{,}142857\cdot\frac{9{,}8696}{8} =0{,}142857\cdot1{,}2337\approx0{,}17624.
Agora o logaritmo:
\ln(0{,}17624)\approx-1{,}7349.
Substituindo em t:
t=-\frac{4\cdot(1\\ \mathrm{cm})^{2}}{\pi^{2}\cdot(0{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s})}\cdot(-1{,}7349).
Calcule o denominador numérico:
\pi^{2}D\approx9{,}8696\cdot0{,}9\times10^{-5}=8{,}8826\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.
Então
\frac{4L^{2}}{\pi^{2}D}=\frac{4}{8{,}8826\times10^{-5}}\approx4{,}5022\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Finalmente
t\approx4{,}5022\times10^{4}\times1{,}7349\\ \mathrm{s}\approx7{,}8087\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Converter para horas:
t\approx\frac{7{,}8087\times10^{4}}{3600}\\ \mathrm{h}\approx21{,}69\\ \mathrm{h}.

Passo 8

Interpretação e verificação rápida:
  • O tempo obtido é da ordem de 10^{4} segundos (várias dezenas de milhares de segundos), ou seja algumas dezenas de horas. Isso é razoável para uma difusividade da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} em uma espessura de 1\\ \mathrm{cm}.
  • A aproximação pelo primeiro termo foi usada; termos superiores seriam absolutamente negligíveis para esse nível de precisão, então o resultado é confiável como estimativa prática.

Resposta

t\approx7{,}81\times10^{4}\\ \mathrm{s}\approx21{,}7\\ \mathrm{h}

Exercícios relacionados