Deseja-se remover um componente (soluto A) de um material retangular de 1 cm de espessura, 1 m de largura e profundidade. Sabendo-se que a fração molar inicial e a fração molar na superfície de A são iguais a 40 \% e 5 \%, respectivamente, determine o tempo necessário para reduzir a fração desse componente para 10 \%. Obs.: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,9 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.
Considerando a transferência de massa através da extremidade superior, regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado e que a resistência superficial possa ser desprezada;
Passo 1
O que o problema pede: determinar o tempo necessário para reduzir a fração molar média do componente A de 40\% para 10\% num sólido retangular cuja espessura é 1\\ \mathrm{cm}, considerando que a transferência de massa ocorre apenas pela face superior, que a fração molar na superfície é mantida em 5\%, regime transiente, propriedades constantes, meio estagnado e resistência superficial desprezível.
Informações fornecidas e relevantes:
\begin{aligned} &\text{Espessura do sólido: } 1\\ \mathrm{cm}.\\\ &\text{Fração molar inicial: } C_0 = 0{,}40\\ (\text{ou }40\%).\\\ &\text{Fração molar na superfície (mantida): } C_s = 0{,}05\\ (\text{ou }5\%).\\\ &\text{Fração molar média desejada: } \overline{C}(t) = 0{,}10\\ (\text{ou }10\%).\\\ &\text{Difusividade: } D_{AB}=0{,}9\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.\\\ &\text{Transferência unidimensional através da face superior (uma face exposta).} \end{aligned}
Passo 2
Modelagem e escolha das condições de contorno (explicação didática).
Como só a face superior troca massa com o exterior e a face inferior é impermeável (meio estagnado, resistência superficial desprezível), é conveniente usar o truque da “reflexão”: o problema em 0\le x\le L com x=0 a face exposta e x=L isolada é equivalente a um “folheto” (slab) simétrico de espessura total 2L com ambas as faces expostas à mesma concentração de superfície. Assim podemos usar a solução padrão para um slab de espessura total 2L com as duas faces mantidas em C_s.
No nosso caso a espessura total original é 1\\ \mathrm{cm}. Para usar a formulação padrão, tomamos o semi-espessura (metade do slab simétrico) igual a
L = 1\\ \mathrm{cm}.
(Explicação do porquê: o slab espelhado terá espessura total 2L=2\\ \mathrm{cm}; esta construção corresponde fisicamente ao caso original com uma face trocando e a outra isolada.)
Passo 3
A solução média conhecida para um slab com ambas as faces mantidas em C_s (e começo com C_0 uniforme) é:
Explicação da fórmula (passo a passo, sem jargões):
\overline{C}(t) é a concentração média no volume do slab no instante t.
C_0 é a concentração inicial uniforme.
C_s é a concentração imposta nas superfícies (aqui 0{,}05).
A expressão à direita é uma série (soma infinita) de modos de decaimento; cada termo tem uma amplitude \frac{8}{\pi^{2}}\frac{1}{(2n+1)^{2}} e decai exponencialmente com uma constante de tempo que depende de D e de L.
Em muitos problemas práticos a soma é bem aproximada pelo primeiro termo (n=0) porque termos com n\ge1 decaem muito mais rápido (têm expoentes muito maiores).
Aproximação pelo primeiro termo da série (justificativa e uso):
O primeiro termo (n=0) da série dá
R \approx \frac{8}{\pi^{2}}\exp\!\bigg[-\frac{\pi^{2}D\,t}{4L^{2}}\bigg].
Justificativa: os termos subsequentes têm coeficientes \frac{8}{\pi^{2}}\frac{1}{(2n+1)^{2}} que decrescem com (2n+1)^{2} e seus expoentes contêm um fator (2n+1)^{2}, então para os tempos em que o primeiro termo já é pequeno os demais são desprezíveis. Podemos verificar a coerência a posteriori se necessário, mas para o objetivo de estimar o tempo essa aproximação costuma ser excelente.
Passo 6
Isolar o tempo t na expressão aproximada.
Começamos isolando a exponencial:
O tempo obtido é da ordem de 10^{4} segundos (várias dezenas de milhares de segundos), ou seja algumas dezenas de horas. Isso é razoável para uma difusividade da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s} em uma espessura de 1\\ \mathrm{cm}.
A aproximação pelo primeiro termo foi usada; termos superiores seriam absolutamente negligíveis para esse nível de precisão, então o resultado é confiável como estimativa prática.