\mathbf{5}^{\text {a }} Questão (Valor: 3,0 pontos):

Uma pastilha de silício cristalino, de 10 cm de diâmetro e 1,0 \mathrm{~mm} de espessura, é recoberta com um filme fino de arsênio metálico puro (As), que é um dopante semicondutor. A pastilha de silício recoberta com As é “cozida” em um forno de difusão a 1050^{\circ} \mathrm{C} para permitir que as moléculas de arsênio se difundam dentro da placa de silício. A essa temperatura elevada, a solubilidade do arsênio no silício é 2,3.10^{21} átomos de \mathrm{As} / \mathrm{cm}^{3} e o coeficiente de difusão de As em silício sólido é 5,0.10^{-13} átomos de \mathrm{As} \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}. Inicialmente, existe uma impureza de arsênio no silício de 2,3.10^{17}. Para obter a propriedade desejada de semicondutor e uma estrutura de um dispositivo microeletrônico, a concentração alvo dos átomos de arsênio no silício tem de ser menos de 2,065.10 { }^{20} átomos de As \mathrm{cm} / \mathrm{cm}^{3} na profundidade de 0,5 \mathrm{~mm}.
a) Qual é o tempo de difusão requerido e qual o total de átomos de As que serão carregados (adicionados) no silício?
b) Qual é o fluxo calculado de átomos de As no silício após 10 min de processo? Por que não é possível estimar o fluxo em t=0 ?

Passo 1

Enunciado resumido (o que se dá e o que se pede):
  • Dados da pastilha:
    • diâmetro =10\\ \mathrm{cm} (logo raio r=5\\ \mathrm{cm}),
    • espessura =1{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • Filme metálico fornece concentração de superfície (solubilidade) em 1050^\circ\mathrm{C}: C_s = 2{,}3\cdot 10^{21}\\ \text{átomos de As}/\mathrm{cm}^3.á
  • Coeficiente de difusão: D = 5{,}0\cdot 10^{-13}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Concentração inicial uniforme no silício: C_0 = 2{,}3\cdot 10^{17}\\ \text{átomos de As}/\mathrm{cm}^3.á
  • Objetivo: na profundidade x=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{cm} a concentração deve ser menor que C_t = 2{,}065\cdot 10^{20}\\ \text{átomos de As}/\mathrm{cm}^3.á
  • Perguntas:
    (a) Qual o tempo de difusão requerido para atingir C_t em x=0{,}05\\ \mathrm{cm} e qual o total de átomos de As adicionados ao silício após esse tempo?
    (b) Qual o fluxo de átomos de As no silício após 10\\ \mathrm{min} de processo? Por que não é possível estimar o fluxo em t=0?

Passo 2

Modelo matemático que vamos usar (solução clássica para difusão em semi-infinito com concentração de superfície fixa):
  • Para uma superfície mantida em concentração constante C_s a partir de t=0, e o sólido com concentração inicial C_0, a solução da equação de difusão (aproximação semi-infinita) é
C(x,t) = C_0 + \bigl(C_s - C_0\bigr)\,\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).
Explicação didática das partes:
  • \mathrm{erfc} é a função complementar do erro; \mathrm{erfc}(0)=1 e \mathrm{erfc}(\infty)=0. Isso garante C(0,t)=C_s e C(\infty,t)=C_0.
  • x é a profundidade no sólido (em \mathrm{cm}).
  • D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}).
  • t é o tempo em segundos.
  • Esse modelo assume que a pastilha é grande o suficiente para ser tratada como semi-infinita na região de interesse (profundidades pequenas comparadas ao tamanho lateral), e que a superfície mantém C_s constante, o que é razoável quando há um filme-metálico em contato com o silício.

Passo 3

Determinar o tempo requerido para que C(x,t)=C_t em x=0{,}05\\ \mathrm{cm}.
  1. Igualamos a solução à concentração alvo:
C_t = C_0 + (C_s - C_0)\,\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right).
  1. Isolamos a função \mathrm{erfc}:
\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) = \dfrac{C_t - C_0}{C_s - C_0}.
  1. Calcular a razão numérica (vou manter as potências explícitas):
\dfrac{C_t - C_0}{C_s - C_0} = \dfrac{2{,}065\cdot 10^{20} - 2{,}3\cdot 10^{17}}{2{,}3\cdot 10^{21} - 2{,}3\cdot 10^{17}} \approx \dfrac{2{,}0627\cdot 10^{20}}{2{,}29977\cdot 10^{21}} \approx 0{,}08974.
  1. Seja \theta = \dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}. Então \mathrm{erfc}(\theta)=0{,}08974. Para encontrar \theta usamos a relação \mathrm{erf}(\theta)=1-\mathrm{erfc}(\theta), logo \mathrm{erf}(\theta)\approx 0{,}91026. Consultando valores ou tabela/estimativa, \mathrm{erf}(1{,}2)\approx 0{,}910313, portanto
\theta \approx 1{,}20.
(ou seja, \theta é aproximadamente 1{,}2 porque \mathrm{erfc}(1{,}2)\approx 0{,}0897.)
  1. Resolver para t:
t = \dfrac{x^2}{4D\theta^2}.
Substituindo x=0{,}05\\ \mathrm{cm}, D=5{,}0\cdot 10^{-13}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}, \theta=1{,}20:
t \approx \dfrac{(0{,}05)^2}{4\cdot 5{,}0\cdot 10^{-13}\cdot (1{,}20)^2} = \dfrac{0{,}0025}{4 \cdot 5{,}0\cdot 10^{-13} \cdot 1{,}44} = \dfrac{0{,}0025}{2{,}88\cdot 10^{-12}} \approx 8{,}68\cdot 10^{8}\\ \mathrm{s}.
  1. Conversões úteis:
8{,}68\cdot 10^{8}\\ \mathrm{s}\approx \dfrac{8{,}68\cdot 10^{8}}{3600}\\ \mathrm{h}\approx 2{,}41\cdot 10^{5}\\ \mathrm{h},
\text{em dias: }\approx \dfrac{2{,}41\cdot 10^{5}}{24}\approx 1{,}00\cdot 10^{4}\\ \mathrm{dias}\approx 27{,}5\\ \mathrm{anos}.
Portanto o tempo requerido é da ordem de décadas (resultado físico: difusão sólida pode ser extremamente lenta).

Passo 4

Calcular o total de átomos de As adicionados ao silício até esse tempo.
  1. Área da pastilha (diâmetro 10\\ \mathrm{cm}, raio 5\\ \mathrm{cm}):
A = \pi r^2 = \pi\cdot 5^2 = 25\pi\\ \mathrm{cm}^2 \approx 78{,}54\\ \mathrm{cm}^2.
  1. O número total de átomos adicionados é a integral do excesso de concentração sobre o volume:
N = A \int_{0}^{L} \bigl(C(x,t)-C_0\bigr)\,dx = A (C_s-C_0)\int_{0}^{L}\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right)\,dx,
onde L é a espessura da pastilha que vamos integrar; aqui usamos L=0{,}1\\ \mathrm{cm} (espessura total).
  1. Mudança de variável: u=\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}, dx = 2\sqrt{Dt}\,du. O limite superior fica a=\dfrac{L}{2\sqrt{Dt}}. Então
N = A(C_s-C_0)\cdot 2\sqrt{Dt}\int_{0}^{a}\mathrm{erfc}(u)\,du.
  1. Integral conhecida:
\int \mathrm{erfc}(u)\,du = u\,\mathrm{erfc}(u) - \dfrac{e^{-u^2}}{\sqrt{\pi}} + C,
logo
\int_{0}^{a}\mathrm{erfc}(u)\,du = a\,\mathrm{erfc}(a) - \dfrac{e^{-a^2}}{\sqrt{\pi}} + \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}.
  1. Calcular numericamente os argumentos:
  • Usando o t calculado em Passo 3: \sqrt{Dt}=\sqrt{5{,}0\cdot 10^{-13}\cdot 8{,}68\cdot 10^{8}}\approx 0{,}02083\\ \mathrm{cm}.
  • Então 2\sqrt{Dt}\approx 0{,}04166\\ \mathrm{cm}.
  • a = \dfrac{L}{2\sqrt{Dt}} = \dfrac{0{,}1}{0{,}04166}\approx 2{,}40.
  • Para a\approx 2{,}40: \mathrm{erfc}(a) é muito pequeno (da ordem 10^{-3}), e e^{-a^2}=e^{-5{,}76}\approx 0{,}00313. Usando esses valores, a expressão do integral dá aproximadamente
\int_{0}^{a}\mathrm{erfc}(u)\,du \approx 0{,}5643.
  1. Agora montamos N:
N \approx A(C_s-C_0)\cdot 2\sqrt{Dt}\cdot 0{,}5643.
Substituindo números:
A\cdot 2\sqrt{Dt}\approx 78{,}54\cdot 0{,}04166 \approx 3{,}272\\ \mathrm{cm}^3,
3{,}272\cdot 0{,}5643 \approx 1{,}846\\ \mathrm{cm}^3 \\ (\text{equivalente em volume vezes concentração}).çã
C_s-C_0\approx 2{,}3\cdot 10^{21}\\ \mathrm{cm}^{-3}.
Portanto
N \approx 2{,}3\cdot 10^{21}\cdot 1{,}846 \approx 4{,}25\cdot 10^{21}\\ \text{átomos}.á
(Comentário prático: isso corresponde a poucas milésimas de mol; é um número grande em átomos, mas pequeno em quantidade de matéria.)

Passo 5

Calcular o fluxo de átomos de As no silício após 10\\ \mathrm{min}=600\\ \mathrm{s}.
  1. Fick — lei de fluxo (1ª lei):
J(x,t) = -D\,\dfrac{\partial C}{\partial x}(x,t).
  1. Diferenciando C(x,t) dado em Passo 2:
\dfrac{\partial C}{\partial x} = (C_s-C_0)\cdot \dfrac{d}{dx}\mathrm{erfc}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}\right) = (C_s-C_0)\left(-\dfrac{1}{\sqrt{\pi}\,\sqrt{Dt}}\,e^{-x^2/(4Dt)}\right).
(Usei \dfrac{d}{du}\mathrm{erfc}(u) = -\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-u^2} e u=x/(2\sqrt{Dt}).)
  1. No ponto da superfície x=0 a exponencial é 1, então o fluxo de entrada no sólido (positivo para entrada) é
J(0,t) = -D\left(\dfrac{\partial C}{\partial x}\Big|_{x=0}\right) = D\,\dfrac{C_s-C_0}{\sqrt{\pi}\,\sqrt{Dt}}.
  1. Substituindo t=600\\ \mathrm{s}:
  • \sqrt{Dt}=\sqrt{5{,}0\cdot 10^{-13}\cdot 600}=\sqrt{3{,}0\cdot 10^{-10}}\approx 1{,}732\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{cm}.
  • \sqrt{\pi}\,\sqrt{Dt}\approx 1{,}77245\cdot 1{,}732\cdot 10^{-5}\approx 3{,}07\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{cm}.
  • D(C_s-C_0)\approx 5{,}0\cdot 10^{-13}\cdot 2{,}3\cdot 10^{21}\approx 1{,}15\cdot 10^{9}\\ (\text{unidade } \mathrm{átomos}/\mathrm{cm}\cdot\mathrm{s}).á
Logo
J(0,600\\ \mathrm{s}) \approx \dfrac{1{,}15\cdot 10^{9}}{3{,}07\cdot 10^{-5}}\\ \mathrm{átomos}/\mathrm{cm}^2\!\cdot\mathrm{s} \approx 3{,}75\cdot 10^{13}\\ \mathrm{átomos}/\mathrm{cm}^2\!\cdot\mathrm{s}.áá
  1. Interpretação e por que não é possível estimar o fluxo em t=0:
  • A expressão analítica dá J(0,t)\propto 1/\sqrt{t}. Quando t\to 0, J(0,t)\to\infty — ou seja, o modelo matemático (passo inicial com descontinuidade entre C_0 e C_s) prevê um fluxo singular imediato. Isso é um artefato do modelo idealizado.
  • Fisicamente, não há fluxo infinito: as taxas reais são limitadas por mecanismos de transferência na superfície (cinética de incorporação, resistência do filme, saturação) e pelo fato de que a condição de superfície C_s não é imposta instantaneamente em escala molecular. Portanto não se pode estimar J(0,0) com esse modelo — precisa-se de um modelo mais realista para tempos muito pequenos (por exemplo, resistência de interface ou condições de superfície dependentes do tempo).

Resposta

(a) Tempo requerido \approx 8{,}68\cdot 10^{8}\\ \mathrm{s} (aprox. 27{,}5 anos); total de átomos adicionados N\approx 4{,}25\cdot 10^{21} átomos.
(b) Fluxo após 10\\ \mathrm{min}: J(0,600\\ \mathrm{s})\approx 3{,}75\cdot 10^{13}\\ \mathrm{átomos}/\mathrm{cm}^2\!\cdot\mathrm{s}.á Não é possível estimar o fluxo em t=0 porque o modelo idealizado (descontinuidade inicial de concentração) leva a J\propto 1/\sqrt{t}, que diverge quando t\to 0; na prática efeitos de cinética de superfície e resistência do filme impedem fluxo infinito.

Exercícios relacionados