Uma pastilha de silício cristalino, de 10 cm de diâmetro e 1,0 \mathrm{~mm} de espessura, é recoberta com um filme fino de arsênio metálico puro (As), que é um dopante semicondutor. A pastilha de silício recoberta com As é “cozida” em um forno de difusão a 1050^{\circ} \mathrm{C} para permitir que as moléculas de arsênio se difundam dentro da placa de silício. A essa temperatura elevada, a solubilidade do arsênio no silício é 2,3.10^{21} átomos de \mathrm{As} / \mathrm{cm}^{3} e o coeficiente de difusão de As em silício sólido é 5,0.10^{-13} átomos de \mathrm{As} \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}. Inicialmente, existe uma impureza de arsênio no silício de 2,3.10^{17}. Para obter a propriedade desejada de semicondutor e uma estrutura de um dispositivo microeletrônico, a concentração alvo dos átomos de arsênio no silício tem de ser menos de 2,065.10 { }^{20} átomos de As \mathrm{cm} / \mathrm{cm}^{3} na profundidade de 0,5 \mathrm{~mm}.
a) Qual é o tempo de difusão requerido e qual o total de átomos de As que serão carregados (adicionados) no silício?
b) Qual é o fluxo calculado de átomos de As no silício após 10 min de processo? Por que não é possível estimar o fluxo em t=0 ?
Passo 1
Enunciado resumido (o que se dá e o que se pede):
Dados da pastilha:
diâmetro =10\\ \mathrm{cm} (logo raio r=5\\ \mathrm{cm}),
Filme metálico fornece concentração de superfície (solubilidade) em 1050^\circ\mathrm{C}:C_s = 2{,}3\cdot 10^{21}\\ \text{átomos de As}/\mathrm{cm}^3.
Coeficiente de difusão:D = 5{,}0\cdot 10^{-13}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Concentração inicial uniforme no silício:C_0 = 2{,}3\cdot 10^{17}\\ \text{átomos de As}/\mathrm{cm}^3.
Objetivo: na profundidade x=0{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{cm} a concentração deve ser menor queC_t = 2{,}065\cdot 10^{20}\\ \text{átomos de As}/\mathrm{cm}^3.
Perguntas:
(a) Qual o tempo de difusão requerido para atingir C_t em x=0{,}05\\ \mathrm{cm} e qual o total de átomos de As adicionados ao silício após esse tempo?
(b) Qual o fluxo de átomos de As no silício após 10\\ \mathrm{min} de processo? Por que não é possível estimar o fluxo em t=0?
Passo 2
Modelo matemático que vamos usar (solução clássica para difusão em semi-infinito com concentração de superfície fixa):
Para uma superfície mantida em concentração constante C_s a partir de t=0, e o sólido com concentração inicial C_0, a solução da equação de difusão (aproximação semi-infinita) é
\mathrm{erfc} é a função complementar do erro; \mathrm{erfc}(0)=1 e \mathrm{erfc}(\infty)=0. Isso garante C(0,t)=C_s e C(\infty,t)=C_0.
x é a profundidade no sólido (em \mathrm{cm}).
D é o coeficiente de difusão (\mathrm{cm}^2/\mathrm{s}).
t é o tempo em segundos.
Esse modelo assume que a pastilha é grande o suficiente para ser tratada como semi-infinita na região de interesse (profundidades pequenas comparadas ao tamanho lateral), e que a superfície mantém C_s constante, o que é razoável quando há um filme-metálico em contato com o silício.
Passo 3
Determinar o tempo requerido para que C(x,t)=C_t em x=0{,}05\\ \mathrm{cm}.
Seja \theta = \dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}. Então \mathrm{erfc}(\theta)=0{,}08974. Para encontrar \theta usamos a relação \mathrm{erf}(\theta)=1-\mathrm{erfc}(\theta), logo \mathrm{erf}(\theta)\approx 0{,}91026. Consultando valores ou tabela/estimativa, \mathrm{erf}(1{,}2)\approx 0{,}910313, portanto
\theta \approx 1{,}20.
(ou seja, \theta é aproximadamente 1{,}2 porque \mathrm{erfc}(1{,}2)\approx 0{,}0897.)
Usando o t calculado em Passo 3: \sqrt{Dt}=\sqrt{5{,}0\cdot 10^{-13}\cdot 8{,}68\cdot 10^{8}}\approx 0{,}02083\\ \mathrm{cm}.
Então 2\sqrt{Dt}\approx 0{,}04166\\ \mathrm{cm}.
a = \dfrac{L}{2\sqrt{Dt}} = \dfrac{0{,}1}{0{,}04166}\approx 2{,}40.
Para a\approx 2{,}40: \mathrm{erfc}(a) é muito pequeno (da ordem 10^{-3}), e e^{-a^2}=e^{-5{,}76}\approx 0{,}00313. Usando esses valores, a expressão do integral dá aproximadamente
Interpretação e por que não é possível estimar o fluxo em t=0:
A expressão analítica dá J(0,t)\propto 1/\sqrt{t}. Quando t\to 0, J(0,t)\to\infty — ou seja, o modelo matemático (passo inicial com descontinuidade entre C_0 e C_s) prevê um fluxo singular imediato. Isso é um artefato do modelo idealizado.
Fisicamente, não há fluxo infinito: as taxas reais são limitadas por mecanismos de transferência na superfície (cinética de incorporação, resistência do filme, saturação) e pelo fato de que a condição de superfície C_s não é imposta instantaneamente em escala molecular. Portanto não se pode estimar J(0,0) com esse modelo — precisa-se de um modelo mais realista para tempos muito pequenos (por exemplo, resistência de interface ou condições de superfície dependentes do tempo).
Resposta
(a) Tempo requerido \approx 8{,}68\cdot 10^{8}\\ \mathrm{s} (aprox. 27{,}5 anos); total de átomos adicionados N\approx 4{,}25\cdot 10^{21} átomos.
(b) Fluxo após 10\\ \mathrm{min}: J(0,600\\ \mathrm{s})\approx 3{,}75\cdot 10^{13}\\ \mathrm{átomos}/\mathrm{cm}^2\!\cdot\mathrm{s}.á Não é possível estimar o fluxo em t=0 porque o modelo idealizado (descontinuidade inicial de concentração) leva a J\propto 1/\sqrt{t}, que diverge quando t\to 0; na prática efeitos de cinética de superfície e resistência do filme impedem fluxo infinito.