Deseja-se remover um componente (soluto A) de um material retangular de 1 cm de espessura, 1 m de largura e profundidade. Sabendo-se que a fração molar inicial e a fração molar na superfície de A são iguais a 40 \% e 5 \%, respectivamente, determine o tempo necessário para reduzir a fração desse componente para 10 \%. Obs.: \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=0,9 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.
Considerando a transferência de massa através das duas extremidades, regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado e que a resistência superficial possa ser desprezada;

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Espessura do material (espessura total): 1\\ \mathrm{cm}.
  • Fração molar inicial de A: 40\% (ou seja \,C_0=0,40, em fração molar).
  • Fração molar na superfície (mantida durante a remoção): 5\% (ou seja \,C_s=0,05,).
  • Coeficiente de difusão: D_{AB}=0,9\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Condições: difusão unidimensional através das duas faces, regime transiente, propriedades constantes, meio estagnado e resistência superficial desprezível (logo as superfícies estão à concentração fixa C_s).
  • O que se pede: determinar o tempo necessário para que a fração molar de A seja reduzida a 10\% (ou seja, até \,C_{\text{média}}(t)=0,10é).
Observação de interpretação (sem resolver aqui): vou interpretar “reduzir a fração desse componente para 10\%” como atingir essa fração na concentração média (média ao longo da espessura) do slab, que é o caso mais comum em problemas de difusão em chapas quando se pede “reduzir a … para X%”. Seguimos com essa interpretação.

Passo 2

Modelagem física e equação de difusão (esquema e variáveis).
  • Vamos considerar coordenada x ao longo da espessura, com o slab simétrico: superfície em x=-a e x=+a. Como a espessura total é 1\\ \mathrm{cm}, temos
a=\frac{1\\ \mathrm{cm}}{2}=0,5\\ \mathrm{cm}.
  • A equação da difusão 1D (Lei de Fick, forma de conservação de massa) é
\frac{\partial C}{\partial t}=D\,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2},
onde:
  • C(x,t) é a fração molar de A no interior do sólido em função da posição x e do tempo t,
  • D é o coeficiente de difusão (aqui D_{AB}).
Condições iniciais e de contorno:
C(x,0)=C_0=0,40\quad\text{para }-a\le x\le a,
C(\pm a,t)=C_s=0,05\quad\text{para }t>0.
Queremos a concentração média ao longo da espessura:
\bar{C}(t)=\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} C(x,t)\,dx.

Passo 3

Transformação adimensional e forma da solução.
É comum trabalhar com a variável adimensional
u(x,t)=\frac{C(x,t)-C_s}{C_0-C_s},
que anula as condições de contorno (fica u(\pm a,t)=0) e tem u(x,0)=1. A solução desta situação (chapas infinitesimais com faces mantidas à concentração constante) obtida por separação de variáveis e série de Fourier leva, para a média, à seguinte expressão (resultado padrão em transferência de massa / Crank — solução para chapa simétrica com faces mantidas constantes):
\frac{\bar{C}(t)-C_s}{C_0-C_s}=\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\exp\!\left[-\frac{(2n+1)^2\pi^2 D t}{4a^2}\right].
Explicando cada termo:
  • O membro à esquerda é a fração adimensional da diferença entre a concentração média no tempo t e a concentração de superfície, normalizada pela diferença inicial.
  • A soma é uma série decrescente; o primeiro termo ( n=0) domina para tempos moderados-grandes porque os termos seguintes têm expoentes com (2n+1)^2 (decai muito mais rápido).
  • a é o semi-espessura ( 0,5\\ \mathrm{cm}), D em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}, t em s.

Passo 4

Calcular o valor adimensional alvo e preparar a equação numérica.
Queremos \bar{C}(t)=0,10. Calcule a quantidade adimensional alvo:
\theta\equiv\frac{\bar{C}(t)-C_s}{C_0-C_s} =\frac{0,10-0,05}{0,40-0,05} =\frac{0,05}{0,35} =\frac{1}{7}\approx 0,142857.
Portanto devemos encontrar t tal que
\theta=\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\exp\!\left[-\lambda_n t\right],
com
\lambda_n=\frac{(2n+1)^2\pi^2 D}{4a^2}.

Passo 5

Aproximação prática: manter só o primeiro termo da série (razão e justificativa).
  • A série converge rápido porque o fator exponencial inclui (2n+1)^2. Para tempos tão que a média já caiu a \sim 14\% da amplitude inicial, os termos de ordem maior são extremamente pequenos.
  • Assim, aproximamos:
\theta \approx \frac{8}{\pi^2}\exp\!\left[-\frac{\pi^2 D t}{4a^2}\right].
Esta aproximação costuma ser excelente em problemas de remoção de massa quando a razão é pequena como aqui. Vamos usá-la primeiro e depois checar que os termos seguintes são desprezíveis.

Passo 6

Isolar t e substituir números (cálculo explícito, passo a passo).
Reescrevendo a aproximação para t:
\exp\!\left[-\frac{\pi^2 D t}{4a^2}\right]\approx \frac{\theta\,\pi^2}{8},
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t\approx -\frac{4a^2}{\pi^2 D}\ln\!\left(\frac{\theta\,\pi^2}{8}\right).
Agora os valores numéricos (atenção às vírgulas decimais em português):
a=0,5\\ \mathrm{cm},\qquad D=0,9\times 10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s},\qquad \theta=\frac{1}{7}\approx 0,142857.
Calcule o parâmetro multiplicativo:
\frac{4a^2}{\pi^2 D}=\frac{4\cdot(0,5)^2}{\pi^2\cdot(0,9\times 10^{-5})} =\frac{1}{\pi^2\cdot 0,9\times 10^{-5}}.
Numérico:
\pi^2\approx 9,8696,\quad \pi^2\cdot 0,9\times 10^{-5}\approx 8,8826\times 10^{-5},
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\frac{4a^2}{\pi^2 D}\approx \frac{1}{8,8826\times 10^{-5}}\approx 11256{,}7\\ \mathrm{s}.
Agora o logaritmo:
\frac{\theta\,\pi^2}{8}=0,142857\cdot\frac{9,8696}{8}\approx 0,1763,
\ln(0,1763)\approx -1,734.
Portanto
t\approx -11256{,}7\times(-1,734)\approx 19518\\ \mathrm{s}.
Converter para uma unidade mais amistosa:
19518\\ \mathrm{s}\approx \frac{19518}{3600}\\ \mathrm{h}\approx 5{,}42\\ \mathrm{h}\approx 5\\ \mathrm{h}\\\ 25\\ \mathrm{min}.

Passo 7

Verificação de consistência: contribuição do segundo termo da série é desprezível.
  • O segundo termo ( n=1) vale aproximadamente
\frac{8}{\pi^2}\cdot\frac{1}{3^2}\exp\!\left[-9\frac{\pi^2 D t}{4a^2}\right].
  • Como \exp[-9(\cdot)]=\big(\exp[-(\cdot)]\big)^9, e já temos \exp[-(\cdot)]\approx 0,1763, então
\exp[-9(\cdot)]\approx 0,1763^9\sim 10^{-7}\text{ a }10^{-8}.
Multiplicado pelos prefatores dá algo da ordem 10^{-8}, isto é, completamente desprezível comparado com o termo principal ( \sim 0,14). Logo a aproximação de um termo está bem justificada e o valor de t calculado é confiável.

Resposta

t\approx 1{,}95\times 10^{4}\\ \mathrm{s}\approx 5{,}42\\ \mathrm{h} (aproximadamente 5\\ \mathrm{h}\\\ 25\\ \mathrm{min}).

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