Deseja-se remover um componente (soluto A) de um material retangular de 1 cm de espessura, 1 m de largura e profundidade. Sabendo-se que a fração molar inicial e a fração molar na superfície de A são iguais a
e
, respectivamente, determine o tempo necessário para reduzir a fração desse componente para
. Obs.:
.
Considerando a transferência de massa através das duas extremidades, regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado e que a resistência superficial possa ser desprezada;
Considerando a transferência de massa através das duas extremidades, regime transiente, propriedades físicas constantes, meio estagnado e que a resistência superficial possa ser desprezada;
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Espessura do material (espessura total):
. - Fração molar inicial de
: (ou seja , em fração molar). - Fração molar na superfície (mantida durante a remoção):
(ou seja ,). - Coeficiente de difusão:
. - Condições: difusão unidimensional através das duas faces, regime transiente, propriedades constantes, meio estagnado e resistência superficial desprezível (logo as superfícies estão à concentração fixa
). - O que se pede: determinar o tempo necessário para que a fração molar de
seja reduzida a (ou seja, até ).
Observação de interpretação (sem resolver aqui): vou interpretar “reduzir a fração desse componente para
” como atingir essa fração na concentração média (média ao longo da espessura) do slab, que é o caso mais comum em problemas de difusão em chapas quando se pede “reduzir a … para X%”. Seguimos com essa interpretação.
Passo 2
Modelagem física e equação de difusão (esquema e variáveis).
- Vamos considerar coordenada
ao longo da espessura, com o slab simétrico: superfície em e . Como a espessura total é , temos
- A equação da difusão 1D (Lei de Fick, forma de conservação de massa) é
onde:
-
é a fração molar de no interior do sólido em função da posição e do tempo , -
é o coeficiente de difusão (aqui ).
Condições iniciais e de contorno:
Queremos a concentração média ao longo da espessura:
Passo 3
Transformação adimensional e forma da solução.
É comum trabalhar com a variável adimensional
que anula as condições de contorno (fica
) e tem
. A solução desta situação (chapas infinitesimais com faces mantidas à concentração constante) obtida por separação de variáveis e série de Fourier leva, para a média, à seguinte expressão (resultado padrão em transferência de massa / Crank — solução para chapa simétrica com faces mantidas constantes):
Explicando cada termo:
- O membro à esquerda é a fração adimensional da diferença entre a concentração média no tempo
e a concentração de superfície, normalizada pela diferença inicial. - A soma é uma série decrescente; o primeiro termo (
) domina para tempos moderados-grandes porque os termos seguintes têm expoentes com (decai muito mais rápido). -
é o semi-espessura ( ), em , em s.
Passo 4
Calcular o valor adimensional alvo e preparar a equação numérica.
Queremos
. Calcule a quantidade adimensional alvo:
Portanto devemos encontrar
tal que
com
Passo 5
Aproximação prática: manter só o primeiro termo da série (razão e justificativa).
- A série converge rápido porque o fator exponencial inclui
. Para tempos tão que a média já caiu a da amplitude inicial, os termos de ordem maior são extremamente pequenos. - Assim, aproximamos:
Esta aproximação costuma ser excelente em problemas de remoção de massa quando a razão é pequena como aqui. Vamos usá-la primeiro e depois checar que os termos seguintes são desprezíveis.
Passo 6
Isolar
e substituir números (cálculo explícito, passo a passo).
Reescrevendo a aproximação para
:
logo
Agora os valores numéricos (atenção às vírgulas decimais em português):
Calcule o parâmetro multiplicativo:
Numérico:
logo
Agora o logaritmo:
Portanto
Converter para uma unidade mais amistosa:
Passo 7
Verificação de consistência: contribuição do segundo termo da série é desprezível.
- O segundo termo (
) vale aproximadamente
- Como
, e já temos , então
Multiplicado pelos prefatores dá algo da ordem
, isto é, completamente desprezível comparado com o termo principal (
). Logo a aproximação de um termo está bem justificada e o valor de
calculado é confiável.