Deseja-se saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença. Retira-se uma amostra de 700 pessoas, obtendo-se 25 portadores da doença. Definir limites de confiabilidade de 99% para a proporção populacional.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se um intervalo de confiança de 99\% para a proporção populacional p de pessoas portadoras da doença.
  • Da amostra: o tamanho é n=700 (peguei do enunciado) e o número de portadores observados é x=25 (peguei do enunciado).
  • Nível de confiança: 99\%, ou seja, \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.
Resumo: preciso construir um intervalo que, com 99\% de confiança, contenha a verdadeira proporção p, usando os dados n=700 e x=25.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem fórmulas ainda):
  • Para proporções amostrais costuma-se usar a aproximação normal (intervalo de Wald) quando a amostra é grande o bastante. A ideia é que a proporção amostral \hat{p}=x/n é aproximadamente normal com média p e desvio padrão \sqrt{p(1-p)/n}. Como p é desconhecido, substitui-se por \hat{p} para estimar o erro padrão.
  • Antes de usar essa aproximação, devemos checar se a amostra é suficientemente grande: comumente exige-se n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5. Se essas condições não fossem satisfeitas, seria mais seguro usar um intervalo exato (Clopper–Pearson), mas aqui vamos checar primeiro.

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat{p} e verificar as condições:
  • Definição: \hat{p}=\dfrac{x}{n}. Substituindo os números:
\hat{p}=\dfrac{25}{700}=\dfrac{1}{28}\approx 0,0357142857.
  • Verificação das condições:
n\hat{p}=700\cdot\hat{p}=700\cdot\dfrac{1}{28}=25\ge 5,
n(1-\hat{p})=700\cdot\left(1-\dfrac{1}{28}\right)=700\cdot\dfrac{27}{28}=675\ge 5.
Como ambas as quantidades são maiores que 5, a aproximação normal é aceitável aqui.

Passo 4

Fórmula do intervalo (ensinando a fórmula e o significado das variáveis):
  • Fórmula do intervalo de confiança aproximado (Wald):
\hat{p}\pm z_{\,\alpha/2}\cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
  • O que cada símbolo significa:
    • \hat{p} é a proporção observada na amostra (estamos usando \hat{p}=25/700).
    • z_{\,\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que P(|Z|>z_{\,\alpha/2})=\alpha; para 99\% de confiança usamos z_{\,0,005}.
    • \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão estimado da proporção amostral.
  • Vamos calcular cada parte numericamente nas próximas etapas.

Passo 5

Calcular o erro padrão estimado:
  • Primeiro calcule \hat{p}(1-\hat{p}):
\hat{p}(1-\hat{p})=\dfrac{1}{28}\cdot\left(1-\dfrac{1}{28}\right)=\dfrac{1}{28}\cdot\dfrac{27}{28}=\dfrac{27}{784}.
  • Dividindo por n=700:
\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\dfrac{27}{784\cdot700}=\dfrac{27}{548800}\approx 0,0000492063492.
  • Erro padrão estimado (desvio padrão da média amostral):
\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{0,0000492063492}\approx 0,0070147.

Passo 6

Determinar z_{\,\alpha/2} e a margem de erro:
  • Para nível de confiança 99\% tem-se \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005. O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
z_{\,0,005}\approx 2,5758.
(Este valor vem de tabelas da normal padrão ou calculadora; memorize z\approx 2,576 para 99\%.)
  • Margem de erro:
\text{ME}=z_{\,\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\approx 2,5758\cdot 0,0070147\approx 0,01807.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo e interpretar:
  • Limite inferior:
\hat{p}-\text{ME}\approx 0,0357143-0,0180667\approx 0,0176476.
  • Limite superior:
\hat{p}+\text{ME}\approx 0,0357143+0,0180667\approx 0,0537810.
  • Em termos percentuais, o intervalo é aproximadamente 1{,}76\% a 5{,}38\%.
  • Observação prática (motivacional): isto significa que, com 99\% de confiança, a fração verdadeira de pessoas doentes na população está entre cerca de 1{,}76\% e 5{,}38\%. Mesmo com só 25 casos, a amostra de 700 é suficiente para dar um intervalo razoavelmente estreito.

Resposta

\displaystyle p\in\left[0,01765,\;0,05378\right]

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