Deseja-se saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada doença. Retira-se uma amostra de 700 pessoas, obtendo-se 25 portadores da doença. Definir limites de confiabilidade de 99% para a proporção populacional.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se um intervalo de confiança de
para a proporção populacional de pessoas portadoras da doença. - Da amostra: o tamanho é
(peguei do enunciado) e o número de portadores observados é (peguei do enunciado). - Nível de confiança:
, ou seja, e .
Resumo: preciso construir um intervalo que, com
de confiança, contenha a verdadeira proporção
, usando os dados
e
.
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem fórmulas ainda):
- Para proporções amostrais costuma-se usar a aproximação normal (intervalo de Wald) quando a amostra é grande o bastante. A ideia é que a proporção amostral
é aproximadamente normal com média e desvio padrão . Como é desconhecido, substitui-se por para estimar o erro padrão. - Antes de usar essa aproximação, devemos checar se a amostra é suficientemente grande: comumente exige-se
e . Se essas condições não fossem satisfeitas, seria mais seguro usar um intervalo exato (Clopper–Pearson), mas aqui vamos checar primeiro.
Passo 3
Calcular a proporção amostral
e verificar as condições:
- Definição:
. Substituindo os números:
- Verificação das condições:
Como ambas as quantidades são maiores que
, a aproximação normal é aceitável aqui.
Passo 4
Fórmula do intervalo (ensinando a fórmula e o significado das variáveis):
- Fórmula do intervalo de confiança aproximado (Wald):
- O que cada símbolo significa:
-
é a proporção observada na amostra (estamos usando ). -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que ; para de confiança usamos . -
é o erro padrão estimado da proporção amostral.
-
- Vamos calcular cada parte numericamente nas próximas etapas.
Passo 5
Calcular o erro padrão estimado:
- Primeiro calcule
:
- Dividindo por
:
- Erro padrão estimado (desvio padrão da média amostral):
Passo 6
Determinar
e a margem de erro:
- Para nível de confiança
tem-se e . O quantil correspondente da normal padrão é aproximadamente
(Este valor vem de tabelas da normal padrão ou calculadora; memorize
para
.)
- Margem de erro:
Passo 7
Calcular os limites do intervalo e interpretar:
- Limite inferior:
- Limite superior:
- Em termos percentuais, o intervalo é aproximadamente
a . - Observação prática (motivacional): isto significa que, com
de confiança, a fração verdadeira de pessoas doentes na população está entre cerca de e . Mesmo com só casos, a amostra de é suficiente para dar um intervalo razoavelmente estreito.