Verificar se as variâncias populacionais podem ser consideradas semelhantes ( \alpha=0,05 ). Utilizando \alpha=0,10, verificar se a população I possui média superior à população II, ambas normais, considerando os seguintes resultados amostrais:
Amostra I n_{1}=14 \bar{x}_{1}=24,200 s_{1}^{2}=10
Amostra II n_{2}=10 \bar{x}_{2}=21,598 s_{2}^{2}=30
Obter informações dos valores- p das estatísticas de teste aplicadas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claramente distintas, com os dados amostrais fornecidos abaixo (peguei estes números do enunciado):
  • Amostra I: n_{1}=14, \bar{x}_{1}=24,200, s_{1}^{2}=10.
  • Amostra II: n_{2}=10, \bar{x}_{2}=21,598, s_{2}^{2}=30.
As perguntas:
  1. Verificar se as variâncias populacionais podem ser consideradas semelhantes ao nível de significância \alpha=0,05.
  2. Usando \alpha=0,10, verificar se a população I possui média superior à população II (teste unilateral à direita), assumindo normalidade das populações.
Além disso, obter informações dos valores- p (p-values) das estatísticas de teste aplicadas.

Passo 2

Teste de igualdade de variâncias — definição do teste e hipóteses.\n
  • Hipóteses (teste bilateral):
H_0:\\ \sigma_1^2=\sigma_2^2 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \sigma_1^2\neq\sigma_2^2.
  • Estatística de teste (teste F): usa-se a razão entre as variâncias amostrais, colocando no numerador a maior variância para obter F\ge 1. Assim
F=\frac{s_{\text{maior}}^{2}}{s_{\text{menor}}^{2}}.
  • Graus de liberdade: se \,s_{i}^{2} tem n_i-1 graus, então o F calculado com s_{j}^{2} no numerador tem df_1=n_j-1 e df_2=n_k-1 no denominador.
Aplicando aos dados (peguei s_{1}^{2}=10 e s_{2}^{2}=30 do enunciado):
  • A maior variância é \,s_{2}^{2}=30 e a menor é \,s_{1}^{2}=10.
  • Estatística observada:
F_{\text{obs}}=\frac{30}{10}=3.
  • Graus de liberdade: df_1=n_2-1=10-1=9 e df_2=n_1-1=14-1=13.

Passo 3

Interpretação do teste F e cálculo aproximado do valor- p (bilateral).\n
  • Para o teste bilateral com nível \alpha=0,05 cada cauda tem área \alpha/2=0,025. A região crítica superior é F>F_{1-\alpha/2;\,df_1,df_2}=F_{0,975;\,9,13}.
  • Consultando tabelas de F (ou usando software) obtém-se um valor crítico aproximado F_{0,975;\,9,13}\approx 3,29 (valor tabelado aproximado).
  • Comparando: F_{\text{obs}}=3 < 3,29. Logo não se rejeita H_0 ao nível \alpha=0,05; isto é, não há evidência suficiente para dizer que as variâncias são diferentes.
Cálculo aproximado do valor- p (bilateral):
  • Para a estatística F_{\text{obs}}=3 com (df_1,df_2)=(9,13) tem-se a probabilidade da cauda superior P(F_{9,13}\ge 3) em torno de 0,031 (aproximação a partir de tabelas/interpolação).
  • Como o teste é bilateral, o valor- p bilateral é aproximadamente
p_{\text{var}} \approx 2\cdot P(F_{9,13}\ge 3)\approx 2\cdot 0,031 \approx 0,062.
Observação: este p é uma aproximação; com software numérico obtém-se um valor mais preciso perto de 0,06.
Conclusão do Passo 3: ao nível \alpha=0,05 não rejeitamos H_0. Portanto, podemos, para fins do segundo teste, assumir igualdade de variâncias (proceder com o teste t com variância agrupada).

Passo 4

Preparação do teste de médias — hipóteses e escolha do método.\n
  • Pergunta: verificar se a população I tem média superior à população II. Assim as hipóteses unilaterais são
H_0:\\ \mu_1\le\mu_2 \qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \mu_1>\mu_2.
  • Como a verificação anterior não rejeitou igualdade de variâncias (ao nível \alpha=0,05), usamos o teste t pareado por variâncias (pooled t, também chamado de t de Student com variâncias iguais estimadas por uma variância pooled).
  • Fórmulas que vamos usar (explico cada termo):
    • Variância agrupada (pooled):
    s_p^{2}=\frac{(n_1-1)s_{1}^{2}+(n_2-1)s_{2}^{2}}{n_1+n_2-2}.Aqui (n_1-1)s_{1}^{2} e (n_2-1)s_{2}^{2} são os somatórios dos quadrados das diferenças amostrais não normalizados; somando e dividindo pelo total de graus de liberdade obtemos a melhor estimativa comum da variância populacional quando H_0 de igualdade de variâncias é plausível.
    • Estatística t:
    t_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}.
    • Graus de liberdade: \nu = n_1+n_2-2.

Passo 5

Cálculos numéricos passo a passo para o t (usei os números do enunciado).\n
  1. Calcular s_p^{2}:
s_p^{2} =\frac{(n_1-1)s_{1}^{2}+(n_2-1)s_{2}^{2}}{n_1+n_2-2} =\frac{(14-1)\cdot 10 + (10-1)\cdot 30}{14+10-2} =\frac{13\cdot 10 + 9\cdot 30}{22} =\frac{130 + 270}{22} =\frac{400}{22} \approx 18,1818.
  1. Desvio padrão agrupado:
s_p=\sqrt{s_p^{2}}\approx \sqrt{18,1818}\approx 4,263.
  1. Diferença de médias:
\bar{x}_1-\bar{x}_2 = 24,200 - 21,598 = 2,602.
  1. Erro padrão da diferença:
\text{SE} = s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} =4,263\sqrt{\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{10}} =4,263\sqrt{0,0714286+0,1} =4,263\sqrt{0,1714286} \approx 4,263\cdot 0,4141 \approx 1,765.
  1. Estatística t:
t_{\text{obs}}=\frac{2,602}{1,765}\approx 1,474.
  1. Graus de liberdade:
\nu = n_1+n_2-2 = 14+10-2 = 22.

Passo 6

Cálculo aproximado do valor- p do teste t (unilateral à direita) e decisão.\n
  • Queremos p-value unilateral:
p_{\text{t}} = P\big(T_{22}\ge t_{\text{obs}}\big) = P\big(T_{22}\ge 1,474\big).
  • Consultando uma tabela de t ou fazendo interpolação:
    • Para \nu=22 temos t_{0,90}\approx 1,321 (um lado, área à direita 0,10) e t_{0,95}\approx 1,717 (um lado, área à direita 0,05).
    • Como 1,321 < 1,474 < 1,717, o p-value unilateral está entre 0,10 e 0,05.
  • Interpolando grosseiramente entre estes pontos, obtemos p_{\text{t}}\approx 0,08 (aproximação numérica mais precisa dá cerca de 0,078 0,080).
Decisão ao nível \alpha=0,10:
  • Como p_{\text{t}}\approx 0,08 < 0,10, rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,10.
  • Conclusão: há evidência, ao nível de 10\%, de que a média da população I é superior à média da população II.

Passo 7

Resumo final (decisões e observações sobre os p-values).\n
  • Teste de igualdade de variâncias ( \alpha=0,05):
    • Estatística F_{\text{obs}}=3 com (df_1,df_2)=(9,13).
    • Valor- p bilateral aproximado p_{\text{var}}\approx 0,062.
    • Decisão: não rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05. As variâncias podem ser consideradas semelhantes (não há evidência significativa de diferença).
  • Teste de média unilateral ( \alpha=0,10, assumindo variâncias iguais):
    • Estatística t_{\text{obs}}\approx 1,474 com \nu=22.
    • Valor- p unilateral aproximado p_{\text{t}}\approx 0,08.
    • Decisão: rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,10. Há evidência (com significância 10\%) de que \mu_1>\mu_2.
Observação final: os p-values apresentados são aproximações obtidas por interpolação/tabelas. Para valores- p mais precisos recomendam-se cálculos com software estatístico (R, Python, calculadora estatística), onde o resultado numérico dará uma precisão maior (por exemplo p_{\text{var}} próximo de 0,062 e p_{\text{t}} próximo de 0,079).

Resposta

Teste de variâncias: não rejeita-se H_0 ( \sigma_1^2=\sigma_2^2) ao nível \alpha=0,05; F_{\text{obs}}=3, p\approx 0,062.\n
Teste de médias (unilateral \mu_1>\mu_2, \alpha=0,10, variâncias agrupadas): rejeita-se H_0; t_{\text{obs}}\approx 1,474 com \nu=22, p\approx 0,08.

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