Verificar se as variâncias populacionais podem ser consideradas semelhantes (
). Utilizando
, verificar se a população I possui média superior à população II, ambas normais, considerando os seguintes resultados amostrais:
Amostra I
Amostra II
Obter informações dos valores-
das estatísticas de teste aplicadas.
| Amostra I |
|
|
|
| Amostra II |
|
|
|
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claramente distintas, com os dados amostrais fornecidos abaixo (peguei estes números do enunciado):
- Amostra I:
, , . - Amostra II:
, , .
As perguntas:
- Verificar se as variâncias populacionais podem ser consideradas semelhantes ao nível de significância
. - Usando
, verificar se a população I possui média superior à população II (teste unilateral à direita), assumindo normalidade das populações.
Além disso, obter informações dos valores-
(p-values) das estatísticas de teste aplicadas.
Passo 2
Teste de igualdade de variâncias — definição do teste e hipóteses.\n
- Hipóteses (teste bilateral):
- Estatística de teste (teste
): usa-se a razão entre as variâncias amostrais, colocando no numerador a maior variância para obter . Assim
- Graus de liberdade: se
tem graus, então o calculado com no numerador tem e no denominador.
Aplicando aos dados (peguei
e
do enunciado):
- A maior variância é
e a menor é . - Estatística observada:
- Graus de liberdade:
e .
Passo 3
Interpretação do teste
e cálculo aproximado do valor-
(bilateral).\n
- Para o teste bilateral com nível
cada cauda tem área . A região crítica superior é . - Consultando tabelas de
(ou usando software) obtém-se um valor crítico aproximado (valor tabelado aproximado). - Comparando:
. Logo não se rejeita ao nível ; isto é, não há evidência suficiente para dizer que as variâncias são diferentes.
Cálculo aproximado do valor-
(bilateral):
- Para a estatística
com tem-se a probabilidade da cauda superior em torno de (aproximação a partir de tabelas/interpolação). - Como o teste é bilateral, o valor-
bilateral é aproximadamente
Observação: este
é uma aproximação; com software numérico obtém-se um valor mais preciso perto de
.
Conclusão do Passo 3: ao nível
não rejeitamos
. Portanto, podemos, para fins do segundo teste, assumir igualdade de variâncias (proceder com o teste
com variância agrupada).
Passo 4
Preparação do teste de médias — hipóteses e escolha do método.\n
- Pergunta: verificar se a população I tem média superior à população II. Assim as hipóteses unilaterais são
- Como a verificação anterior não rejeitou igualdade de variâncias (ao nível
), usamos o teste pareado por variâncias (pooled , também chamado de de Student com variâncias iguais estimadas por uma variância pooled). - Fórmulas que vamos usar (explico cada termo):
- Variância agrupada (pooled):
Aqui e são os somatórios dos quadrados das diferenças amostrais não normalizados; somando e dividindo pelo total de graus de liberdade obtemos a melhor estimativa comum da variância populacional quando de igualdade de variâncias é plausível. - Estatística
:
- Graus de liberdade:
.
Passo 5
Cálculos numéricos passo a passo para o
(usei os números do enunciado).\n
- Calcular
:
- Desvio padrão agrupado:
- Diferença de médias:
- Erro padrão da diferença:
- Estatística
:
- Graus de liberdade:
Passo 6
Cálculo aproximado do valor-
do teste
(unilateral à direita) e decisão.\n
- Queremos
-value unilateral:
- Consultando uma tabela de
ou fazendo interpolação: - Para
temos (um lado, área à direita ) e (um lado, área à direita ). - Como
, o -value unilateral está entre e .
- Para
- Interpolando grosseiramente entre estes pontos, obtemos
(aproximação numérica mais precisa dá cerca de – ).
Decisão ao nível
:
- Como
, rejeita-se ao nível . - Conclusão: há evidência, ao nível de
, de que a média da população I é superior à média da população II.
Passo 7
Resumo final (decisões e observações sobre os
-values).\n
- Teste de igualdade de variâncias (
): - Estatística
com . - Valor-
bilateral aproximado . - Decisão: não rejeita-se
ao nível . As variâncias podem ser consideradas semelhantes (não há evidência significativa de diferença).
- Estatística
- Teste de média unilateral (
, assumindo variâncias iguais): - Estatística
com . - Valor-
unilateral aproximado . - Decisão: rejeita-se
ao nível . Há evidência (com significância ) de que .
- Estatística
Observação final: os
-values apresentados são aproximações obtidas por interpolação/tabelas. Para valores-
mais precisos recomendam-se cálculos com software estatístico (R, Python, calculadora estatística), onde o resultado numérico dará uma precisão maior (por exemplo
próximo de
e
próximo de
).
Resposta
Teste de variâncias: não rejeita-se
(
) ao nível
;
,
.\n
Teste de médias (unilateral ,
, variâncias agrupadas): rejeita-se
;
com
,
.
Teste de médias (unilateral