Uma construtora estudou o lucro mensal na venda de seus produtos em função do gasto com propaganda. Utilizando uma amostra de 9 meses, obteve os seguintes resultados:
Lucro (R$) Gasto (R$) Pede-se:-
170.000,00 0,00 a-) Obter o coeficiente de correlação e interpretá-lo.
208.000,00 3.000,00 b-) Obter o modelo de regressão linear.
230.000,00 6.000,00 c-) Interpretar o coeficiente angular da reta ajustada.
225.000,00 9.000,00 d-) Interpretar o coeficiente linear da reta ajustada.
270.000,00 12.000,00 e-) Obter o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
290.000,00 15.000,00 f-) Obter o modelo de regressão quadrático.
286.000,00 18.000,00 g-) Obter o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
283.000,00 21.000,00 h-) Qual modelo ajusta-se melhor aos dados? Por quê?
281.000,00 24.000,00 i-) Segundo o modelo quadrático, qual o gasto para obter-se o maior lucro?

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=9 meses com pares (Lucro, Gasto) e pede as seguintes respostas:
  • (a) Obter o coeficiente de correlação e interpretá-lo.
  • (b) Obter o modelo de regressão linear.
  • (c) Interpretar o coeficiente angular da reta ajustada.
  • (d) Interpretar o coeficiente linear da reta ajustada.
  • (e) Obter o coeficiente de determinação (linear) e interpretá-lo.
  • (f) Obter o modelo de regressão quadrático.
  • (g) Obter o coeficiente de determinação (quadrático) e interpretá-lo.
  • (h) Dizer qual modelo ajusta-se melhor aos dados e justificar.
  • (i) Pelo modelo quadrático, encontrar o gasto que maximiza o lucro.
As informações numéricas fornecidas (peguei estes valores da tabela/imagem):
  • Pares (\text{Gasto},\\ \text{Lucro}) (valores em reais):
    (0,\;170000), (3000,\;208000), (6000,\;230000), (9000,\;225000), (12000,\;270000), (15000,\;290000), (18000,\;286000), (21000,\;283000), (24000,\;281000).
No resto da resolução vou trabalhar de forma numericamente conveniente escalando as variáveis em milhares:
  • Defino X = \dfrac{\text{Gasto}}{1000} (em milhares de R$) e Y = \dfrac{\text{Lucro}}{1000} (em milhares de R$).
  • Os pares usados ficam: (X,Y)=(0,170), (3,208), (6,230), (9,225), (12,270), (15,290), (18,286), (21,283), (24,281).

Passo 2

Vou explicar e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson r.
  • Intuição / fórmula: o coeficiente de correlação mede a intensidade e o sentido (positivo/negativo) da associação linear entre X e Y. A fórmula (usada com soma centralizada) é:
r=\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}\,S_{YY}}},
onde
S_{XY}=\sum X_iY_i - n\bar X\bar Y,\qquad S_{XX}=\sum X_i^2 - n\bar X^2,\qquad S_{YY}=\sum Y_i^2 - n\bar Y^2.
  • Significado das cantidades:
    • \bar X é a média de X, \bar Y é a média de Y.
    • S_{XY} é a soma dos produtos centrados (covariância não normalizada).
    • S_{XX} e S_{YY} são as somas de quadrados centradas.
Agora calculo as somas (com X e Y em milhares):
\sum X = 108,\quad \sum Y = 2243,
\sum X^2 = 1836,\quad \sum XY = 29454,\quad \sum Y^2 = 573535.
As médias:
\bar X=\frac{108}{9}=12,\qquad \bar Y=\frac{2243}{9}\approx 249{,}222\ldots
As somas centradas:
S_{XY}=29454 - 9\cdot12\cdot\frac{2243}{9}=29454-26916=2538,
S_{XX}=1836 - 9\cdot12^2=1836-1296=540,
S_{YY}=573535 - \frac{2243^2}{9}\approx 14529{,}5556.
Finalmente:
r=\frac{2538}{\sqrt{540\cdot 14529{,}5556}}\approx 0{,}9063.
Interpretação breve (didática): r\approx 0{,}906 indica uma correlação forte e positiva entre gasto com propaganda e lucro — isto é, em geral meses com maior gasto tendem a ter maior lucro e a relação linear é forte.

Passo 3

Agora vou ajustar o modelo de regressão linear simples. Apresento a teoria curta e prática:
  • Modelo linear: \displaystyle \widehat{Y}=a_0 + a_1 X.
  • Fórmulas dos estimadores por mínimos quadrados:
a_1=\frac{S_{XY}}{S_{XX}},\qquad a_0=\bar Y - a_1\bar X.
  • Interpretação das variáveis aqui: X é gasto em milhares de R$, \widehat{Y} é lucro em milhares de R$ previsto pelo modelo.
Usando os valores já calculados:
a_1=\frac{2538}{540}=4{,}7,
a_0=\frac{2243}{9} - 4{,}7\cdot 12 \approx 249{,}222\ldots -56{,}4 \approx 192{,}822{,}22\\ \text{(em milhares de R\$? atenção à escala)}.çãà
Para ficar claro em unidades originais (R$): lembrando que Y foi lucro/1000 e X foi gasto/1000, multiplicando por 1000 obtemos o modelo em reais:
\boxed{\\ \widehat{y}=192\,822{,}22 + 4{,}7\,x\\ },
onde x é o gasto em reais e \widehat{y} o lucro previsto em reais. (Explicação: 4{,}7 significa R$4,70 de lucro adicional esperado por cada R$ 1,00 a mais gasto, quando se assume modelo linear.)

Passo 4

Interpretações dos coeficientes da reta (didática, passo a passo):
  • Coeficiente angular a_1=4{,}7: significa que, segundo a reta ajustada, um acréscimo de 1 real no gasto de propaganda está associado, em média, a um acréscimo de aproximadamente 4{,}7 reais no lucro. (Se representar em milhares: aumento de 1 mil no gasto gera aumento médio de 4{,}7 mil no lucro.)
  • Coeficiente linear a_0=192\,822{,}22: é o valor previsto do lucro quando o gasto x é zero. Ou seja, se a empresa não gastar nada em propaganda, o modelo linear prevê um lucro de aproximadamente R$ 192\,822{,}22. (Atenção: esse é um valor de extrapolação para x=0, que pode ou não ter sentido prático dependendo do contexto.)

Passo 5

Coeficiente de determinação do modelo linear:
  • Definição e cálculo: \displaystyle R^2=\left(\frac{S_{XY}}{\sqrt{S_{XX}S_{YY}}}\right)^2 = r^2.
  • Usando r\approx 0{,}9063:
R^2\approx 0{,}9063^2 \approx 0{,}8214.
Interpretação: cerca de 82{,}14\% da variação total do lucro (em milhares de R$) é explicada pela variação linear do gasto com propaganda segundo este modelo. O restante ( \approx 17{,}86\%) é variação não explicada pelo modelo linear (erros, outros fatores, variação não linear, etc.).

Passo 6

Agora ajusto o modelo quadrático (polinomial de grau 2). Vou explicar o método e depois resolver.
  • Modelo: \displaystyle \widehat{Y}=c_0 + c_1 X + c_2 X^2.\) - Estimadores encontram-se resolvendo o sistema normal (mínimos quadrados): \[\begin{cases} n c_0 + (\sum X) c_1 + (\sum X^2) c_2 = \sum Y,\\[4pt] (\sum X) c_0 + (\sum X^2) c_1 + (\sum X^3) c_2 = \sum XY,\\[4pt] (\sum X^2) c_0 + (\sum X^3) c_1 + (\sum X^4) c_2 = \sum X^2Y. \end{cases}
  • Já calculei várias somas; faltam \sum X^3\], \(\sum X^4 e \sum X^2Y. Usei os valores (com X e Y em milhares):
\sum X^3=34992,\quad \sum X^4=710532,\quad \sum X^2Y=511830.
  • Substituindo e resolvendo o sistema linear (mostrei o processo algébrico de eliminação nos cálculos), obtém-se os coeficientes (valores arredondados com precisão suficiente para interpretação):
c_0 \approx 170{,}417,\qquad c_1 \approx 11{,}101154,\qquad c_2 \approx -0{,}266714.
  • Em unidades originais (multiplicando por 1000 conforme escala), o modelo quadrático em reais fica:
\boxed{\\ \widehat{y}=170\,417{,}00 + 11{,}10115\,x - 0{,}000266714\,x^2\\ },
onde x é o gasto em reais e \widehat{y} o lucro previsto em reais.
  • Observação didática: aqui c_2<0 indica que a parábola abre para baixo — existe, portanto, um gasto que maximiza o lucro previsto por esse modelo.]

Passo 7

Coeficiente de determinação do modelo quadrático:
  • Método: calculo a soma dos quadrados dos resíduos SSE=\sum (Y_i-\widehat{Y}_i)^2 com o modelo quadrático e uso
R^2_{\text{quad}}=1-\frac{SSE}{S_{YY}}.
  • Computando as previsões \widehat{Y}_i (usando os c_j acima) e os resíduos, obtém-se SSE_{\text{quad}}\approx 826{,}03 (unidades em milhares ^2). Lembrando S_{YY}\approx 14529{,}5556.
  • Assim:
R^2_{\text{quad}}\approx 1-\frac{826{,}03}{14529{,}5556}\approx 0{,}9430.
Interpretação: o modelo quadrático explica cerca de 94{,}30\% da variação total do lucro — muito maior que os 82{,}14\% do modelo linear, indicando ajuste bem melhor.

Passo 8

Comparação dos modelos e escolha do melhor ajuste (explicação didática):
  • Critério objetivo: comparar R^2. O quadrático tem R^2\approx 0{,}943 enquanto o linear tem R^2\approx 0{,}821. O quadrático explica uma fração maior da variabilidade dos lucros.
  • Outros sinais: resíduos do quadrático são menores (SSE quadrático ≈ 826 vs SSE linear ≈ 2600{,}96), e a dispersão dos pontos (ver gráfico) mostra leve curvatura (subida, pico, depois pequeno decréscimo), compatível com um termo quadrático negativo.
  • Conclusão: o modelo quadrático ajusta-se melhor porque tem R^2 maior e menores resíduos e capta a curvatura visível nos dados. Em linguagem prática: há evidência de ganho de lucro com aumento de gasto até um ponto ótimo, depois ganho marginal reduz (efeito saturação).

Passo 9

Encontrar o gasto que maximiza o lucro segundo o modelo quadrático (passo a passo):
  • Para \widehat{Y}=c_0 + c_1 X + c_2 X^2 com c_2<0, o vértice (máximo) em X é dado por
X^*=-\frac{c_1}{2c_2}.
  • Substituindo c_1\approx 11{,}101154 e c_2\approx -0{,}266714:
X^*\approx -\frac{11{,}101154}{2(-0{,}266714)}\approx 20{,}817\\ \text{(milhares de R\$)}.
  • Em reais:
x^*\approx 20{,}817\cdot 1000 \approx 20\,817\\ \text{R\$}.
  • O lucro máximo previsto (valor no vértice) é
\widehat{Y}_{\max}=c_0 + c_1 X^* + c_2 {X^*}^2 \approx 285{,}965\\ \text{(mil R\$?) cuidado: aqui é em milhares)},é
portanto em reais \widehat{y}_{\max}\approx 285\,965\\ \text{R\$}. (Obs.: o enunciado pediu o gasto para obter o maior lucro; a resposta principal é x^*.)

Resposta

a) r\approx 0{,}9063. Interpretação: correlação forte e positiva entre gasto com propaganda e lucro.
b) Modelo linear (em reais): \widehat{y}=192\,822{,}22 + 4{,}7\,x.
c) Coeficiente angular: 4{,}7. Interpretação: aumento médio de \text{R\$}4{,}70 de lucro para cada R$ 1{,}00 adicional gasto (segundo o modelo linear).
d) Coeficiente linear: 192\,822{,}22. Interpretação: lucro previsto quando o gasto é zero (valor de referência/extrapolação).
e) Coeficiente de determinação (linear): R^2\approx 0{,}8214 (≈ 82{,}14\% da variação do lucro explicada pelo gasto linearmente).
f) Modelo quadrático (em reais): \displaystyle \widehat{y}=170\,417{,}00 + 11{,}10115\,x - 0{,}000266714\,x^2.
g) Coeficiente de determinação (quadrático): R^2_{\text{quad}}\approx 0{,}9430 (≈ 94{,}30\% da variação explicada).
h) O modelo quadrático ajusta-se melhor, porque tem R^2 maior ( 0{,}943 vs 0{,}821) e menores resíduos; além disso captura a curvatura observada nos dados.
i) Pelo modelo quadrático, gasto que maximiza o lucro: x^*\approx 20\,817\\ \text{R\$}.

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