Uma construtora estudou o lucro mensal na venda de seus produtos em função do gasto com propaganda. Utilizando uma amostra de 9 meses, obteve os seguintes resultados:
Lucro (R$)
Gasto (R$)
Pede-se:-
170.000,00
0,00
a-) Obter o coeficiente de correlação e interpretá-lo.
208.000,00
3.000,00
b-) Obter o modelo de regressão linear.
230.000,00
6.000,00
c-) Interpretar o coeficiente angular da reta ajustada.
225.000,00
9.000,00
d-) Interpretar o coeficiente linear da reta ajustada.
270.000,00
12.000,00
e-) Obter o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
290.000,00
15.000,00
f-) Obter o modelo de regressão quadrático.
286.000,00
18.000,00
g-) Obter o coeficiente de determinação e interpretá-lo.
283.000,00
21.000,00
h-) Qual modelo ajusta-se melhor aos dados? Por quê?
281.000,00
24.000,00
i-) Segundo o modelo quadrático, qual o gasto para obter-se o maior lucro?
| Lucro (R$) | Gasto (R$) | Pede-se:- |
| 170.000,00 | 0,00 | a-) Obter o coeficiente de correlação e interpretá-lo. |
| 208.000,00 | 3.000,00 | b-) Obter o modelo de regressão linear. |
| 230.000,00 | 6.000,00 | c-) Interpretar o coeficiente angular da reta ajustada. |
| 225.000,00 | 9.000,00 | d-) Interpretar o coeficiente linear da reta ajustada. |
| 270.000,00 | 12.000,00 | e-) Obter o coeficiente de determinação e interpretá-lo. |
| 290.000,00 | 15.000,00 | f-) Obter o modelo de regressão quadrático. |
| 286.000,00 | 18.000,00 | g-) Obter o coeficiente de determinação e interpretá-lo. |
| 283.000,00 | 21.000,00 | h-) Qual modelo ajusta-se melhor aos dados? Por quê? |
| 281.000,00 | 24.000,00 | i-) Segundo o modelo quadrático, qual o gasto para obter-se o maior lucro? |
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra de
meses com pares (Lucro, Gasto) e pede as seguintes respostas:
- (a) Obter o coeficiente de correlação e interpretá-lo.
- (b) Obter o modelo de regressão linear.
- (c) Interpretar o coeficiente angular da reta ajustada.
- (d) Interpretar o coeficiente linear da reta ajustada.
- (e) Obter o coeficiente de determinação (linear) e interpretá-lo.
- (f) Obter o modelo de regressão quadrático.
- (g) Obter o coeficiente de determinação (quadrático) e interpretá-lo.
- (h) Dizer qual modelo ajusta-se melhor aos dados e justificar.
- (i) Pelo modelo quadrático, encontrar o gasto que maximiza o lucro.
As informações numéricas fornecidas (peguei estes valores da tabela/imagem):
- Pares
(valores em reais):
, , , , , , , , .
No resto da resolução vou trabalhar de forma numericamente conveniente escalando as variáveis em milhares:
- Defino
(em milhares de R$) e (em milhares de R$). - Os pares usados ficam:
.
Passo 2
Vou explicar e calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson
.
- Intuição / fórmula: o coeficiente de correlação mede a intensidade e o sentido (positivo/negativo) da associação linear entre
e . A fórmula (usada com soma centralizada) é:
onde
- Significado das cantidades:
-
é a média de , é a média de . -
é a soma dos produtos centrados (covariância não normalizada). -
e são as somas de quadrados centradas.
-
Agora calculo as somas (com
e
em milhares):
As médias:
As somas centradas:
Finalmente:
Interpretação breve (didática):
indica uma correlação forte e positiva entre gasto com propaganda e lucro — isto é, em geral meses com maior gasto tendem a ter maior lucro e a relação linear é forte.
Passo 3
Agora vou ajustar o modelo de regressão linear simples. Apresento a teoria curta e prática:
- Modelo linear:
- Fórmulas dos estimadores por mínimos quadrados:
- Interpretação das variáveis aqui:
é gasto em milhares de R$, é lucro em milhares de R$ previsto pelo modelo.
Usando os valores já calculados:
Para ficar claro em unidades originais (R$): lembrando que
foi lucro/1000 e
foi gasto/1000, multiplicando por
obtemos o modelo em reais:
onde
é o gasto em reais e
o lucro previsto em reais. (Explicação:
significa R$4,70 de lucro adicional esperado por cada R$ 1,00 a mais gasto, quando se assume modelo linear.)
Passo 4
Interpretações dos coeficientes da reta (didática, passo a passo):
-
Coeficiente angular
: significa que, segundo a reta ajustada, um acréscimo de real no gasto de propaganda está associado, em média, a um acréscimo de aproximadamente reais no lucro. (Se representar em milhares: aumento de mil no gasto gera aumento médio de mil no lucro.) -
Coeficiente linear
: é o valor previsto do lucro quando o gasto é zero. Ou seja, se a empresa não gastar nada em propaganda, o modelo linear prevê um lucro de aproximadamente R$ . (Atenção: esse é um valor de extrapolação para , que pode ou não ter sentido prático dependendo do contexto.)
Passo 5
Coeficiente de determinação do modelo linear:
- Definição e cálculo:
- Usando
:
Interpretação: cerca de
da variação total do lucro (em milhares de R$) é explicada pela variação linear do gasto com propaganda segundo este modelo. O restante (
) é variação não explicada pelo modelo linear (erros, outros fatores, variação não linear, etc.).
Passo 6
Agora ajusto o modelo quadrático (polinomial de grau 2). Vou explicar o método e depois resolver.
- Modelo:
- Já calculei várias somas; faltam
e
. Usei os valores (com e em milhares):
- Substituindo e resolvendo o sistema linear (mostrei o processo algébrico de eliminação nos cálculos), obtém-se os coeficientes (valores arredondados com precisão suficiente para interpretação):
- Em unidades originais (multiplicando por 1000 conforme escala), o modelo quadrático em reais fica:
onde
é o gasto em reais e
o lucro previsto em reais.
- Observação didática: aqui
indica que a parábola abre para baixo — existe, portanto, um gasto que maximiza o lucro previsto por esse modelo.]
Passo 7
Coeficiente de determinação do modelo quadrático:
- Método: calculo a soma dos quadrados dos resíduos
com o modelo quadrático e uso
- Computando as previsões
(usando os acima) e os resíduos, obtém-se (unidades em milhares ). Lembrando . - Assim:
Interpretação: o modelo quadrático explica cerca de
da variação total do lucro — muito maior que os
do modelo linear, indicando ajuste bem melhor.
Passo 8
Comparação dos modelos e escolha do melhor ajuste (explicação didática):
- Critério objetivo: comparar
. O quadrático tem enquanto o linear tem . O quadrático explica uma fração maior da variabilidade dos lucros. - Outros sinais: resíduos do quadrático são menores (SSE quadrático ≈
vs SSE linear ≈ ), e a dispersão dos pontos (ver gráfico) mostra leve curvatura (subida, pico, depois pequeno decréscimo), compatível com um termo quadrático negativo. - Conclusão: o modelo quadrático ajusta-se melhor porque tem R^2 maior e menores resíduos e capta a curvatura visível nos dados. Em linguagem prática: há evidência de ganho de lucro com aumento de gasto até um ponto ótimo, depois ganho marginal reduz (efeito saturação).
Passo 9
Encontrar o gasto que maximiza o lucro segundo o modelo quadrático (passo a passo):
- Para
com , o vértice (máximo) em é dado por
- Substituindo
e :
- Em reais:
- O lucro máximo previsto (valor no vértice) é
portanto em reais
(Obs.: o enunciado pediu o gasto para obter o maior lucro; a resposta principal é
.)
Resposta
a)
. Interpretação: correlação forte e positiva entre gasto com propaganda e lucro.
b) Modelo linear (em reais):
c) Coeficiente angular: . Interpretação: aumento médio de
de lucro para cada R$
adicional gasto (segundo o modelo linear).
d) Coeficiente linear: . Interpretação: lucro previsto quando o gasto é zero (valor de referência/extrapolação).
e) Coeficiente de determinação (linear): (≈
da variação do lucro explicada pelo gasto linearmente).
f) Modelo quadrático (em reais):
g) Coeficiente de determinação (quadrático): (≈
da variação explicada).
h) O modelo quadrático ajusta-se melhor, porque tem maior (
vs
) e menores resíduos; além disso captura a curvatura observada nos dados.
i) Pelo modelo quadrático, gasto que maximiza o lucro:
b) Modelo linear (em reais):
c) Coeficiente angular:
d) Coeficiente linear:
e) Coeficiente de determinação (linear):
f) Modelo quadrático (em reais):
g) Coeficiente de determinação (quadrático):
h) O modelo quadrático ajusta-se melhor, porque tem
i) Pelo modelo quadrático, gasto que maximiza o lucro: