Deseja-se secar batatas. A umidade inicial é de 4,0 \mathrm{~kg} de água / kg de sólidos secos. Após a secagem, a umidade final é de 0,5 \mathrm{~kg} de água / kg de sólidos secos. Se 100 kg de água foram removidos, qual era a massa inicial do produto?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a massa inicial do produto:
  • Umidade inicial: \,4{,}0\\ \mathrm{kg\\ de\\ água/kg\\ de\\ sólidos\\ secos}áó.
  • Umidade final: \,0{,}5\\ \mathrm{kg\\ de\\ água/kg\\ de\\ sólidos\\ secos}áó.
  • Massa de água removida: \,100\\ \mathrm{kg}.
    Pergunta: qual era a massa inicial do produto (em kg)?

Passo 2

Vamos definir variáveis e entender a relação entre elas (explicação didática):
  • Seja \,m_d a massa de sólidos secos (em \mathrm{kg}). Importante: durante a secagem a massa de sólidos secos não muda.
  • A massa inicial de água é a razão de umidade inicial vezes a massa de sólidos secos, ou seja
W_i = 4{,}0\;m_d.
Aqui \,W_i significa “água inicial em kg” e o número \,4{,}0 é \,kg de água por kg de sólidos secos.
  • A massa final de água é
W_f = 0{,}5\;m_d.
  • A quantidade de água removida é a diferença entre essas massas de água:
\text{água removida} = W_i - W_f.á
Esse tipo de razão (kg água / kg sólidos secos) chama-se base seca (dry-basis). Exemplo concreto para fixar: se m_d=1\\ \mathrm{kg}, então inicialmente há 4{,}0\\ \mathrm{kg} de água e o total seria 5{,}0\\ \mathrm{kg}. Bacana, né?

Passo 3

Usamos o valor conhecido da água removida ( 100\\ \mathrm{kg}) para achar \,m_d. Escrevendo a equação:
W_i - W_f = 100.
Substituindo as expressões em função de \,m_d:
4{,}0\,m_d - 0{,}5\,m_d = 100.
Calcule a diferença dos coeficientes:
(4{,}0 - 0{,}5)\,m_d = 3{,}5\,m_d = 100.
Agora isolamos \,m_d:
m_d = \frac{100}{3{,}5}.
Efetuando a divisão (mostrando em fração para precisão):
m_d = \frac{100}{3{,}5} = \frac{100}{7/2} = \frac{200}{7}\\ \mathrm{kg} \approx 28{,}571428\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora achamos a massa inicial total do produto. A massa inicial total \,M_i é a soma da massa de sólidos secos com a massa inicial de água:
M_i = m_d + W_i.
Substituindo W_i = 4{,}0\,m_d:
M_i = m_d + 4{,}0\,m_d = 5{,}0\,m_d.
Substituindo \,m_d = \frac{200}{7}:
M_i = 5{,}0 \cdot \frac{200}{7} = \frac{1000}{7}\\ \mathrm{kg}.
Em valor decimal:
M_i \approx 142{,}857142\\ \mathrm{kg} \approx 142{,}86\\ \mathrm{kg}.

Resposta

\dfrac{1000}{7}\\ \mathrm{kg}\approx 142{,}86\\ \mathrm{kg}

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