Um lote de 150 kg de soja é seco. A umidade inicial da soja é de 25 \% (base úmida). O processo de secagem remove água até que a umidade final seja de 10% (base úmida). Calcule:
a) A massa final da soja.
b) A massa de água removida.
c) A umidade inicial e final em base seca.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Dados fornecidos:
  • Massa inicial total da soja: 150\\ \text{kg}.
  • Umidade inicial em base úmida: 25\% (ou seja, 0{,}25 em fração).
  • Umidade final em base úmida: 10\% (ou seja, 0{,}10 em fração).
Perguntas:
a) Calcular a massa final da soja (massa total após secagem).
b) Calcular a massa de água removida no processo de secagem.
c) Calcular a umidade inicial e a umidade final expressas em base seca (isto é, razão massa de água / massa de matéria seca, normalmente em percentagem).

Passo 2

Vamos definir conceitos e variáveis de forma clara (para você saber exatamente o que cada símbolo significa).
Definições importantes:
  • Umidade em base úmida (ou percentagem úmida) é a fração da massa total que é água. Se a umidade em base úmida é u (por exemplo u=0{,}25), isso significa que a massa de água é u vezes a massa total.
  • Umidade em base seca (também chamada de relação água/maté ria seca) é a razão entre a massa de água e a massa de matéria seca. Se m_w é a massa de água e m_s é a massa de matéria seca, a umidade em base seca é \dfrac{m_w}{m_s} (ou em percentagem, multiplica-se por 100\%).
  • A massa de matéria seca (matéria seca) permanece constante durante a secagem (pois só se remove água). Vamos usar isso para relacionar massa inicial e massa final.
Variáveis que vamos usar:
  • M_i: massa total inicial ( 150\\ \text{kg}).
  • u_i: umidade inicial (base úmida) ( 0{,}25).
  • u_f: umidade final (base úmida) ( 0{,}10).
  • m_{w,i}: massa de água inicial.
  • m_{s}: massa de matéria seca (constante).
  • M_f: massa total final (o que queremos em (a)).
  • m_{w,f}: massa de água final.
Fórmulas úteis que vamos aplicar:
  • Massa de água inicial: \;m_{w,i}=u_i\cdot M_i.
  • Matéria seca (constante): \;m_{s}=M_i - m_{w,i}.
  • Relação matéria seca na massa final: \;m_{s}=(1-u_f)\cdot M_f. Daí isolamos M_f.
  • Massa de água removida: \;m_{w,i}-m_{w,f}.
  • Conversão de base úmida para base seca: \displaystyle \text{umidade (base seca)}=\frac{u}{1-u} (em fração); em percentagem multiplica-se por 100\%.

Passo 3

Calcular massa de água inicial e massa de matéria seca (passo a passo).
Usando \;m_{w,i}=u_i\cdot M_i com u_i=0{,}25 e M_i=150\\ \text{kg}:
m_{w,i}=0{,}25\cdot 150=37{,}5\\ \text{kg}.
A matéria seca é a massa total menos a água:
m_{s}=M_i-m_{w,i}=150-37{,}5=112{,}5\\ \text{kg}.
Comentário amigo: essa 112{,}5\\ \text{kg} de matéria seca não muda durante a secagem — é a nossa âncora.

Passo 4

Encontrar a massa final M_f usando o fato de que a matéria seca permanece constante.
Na condição final, a fração da massa total que é matéria seca é 1-u_f. Logo:
m_{s}=(1-u_f)\cdot M_f.
Substituindo m_{s}=112{,}5\\ \text{kg} e u_f=0{,}10:
112{,}5 = (1-0{,}10)\cdot M_f = 0{,}90\cdot M_f.
Isolando M_f:
M_f=\frac{112{,}5}{0{,}90}.
Agora fazemos a divisão sem calculadora: \dfrac{112{,}5}{0{,}9}=\dfrac{112{,}5}{9/10}=112{,}5\cdot\dfrac{10}{9}=1125\cdot\dfrac{1}{9}. Como 9\cdot125=1125, temos
M_f=125\\ \text{kg}.
Pequena verificação: faz sentido que a massa diminua de 150 para 125 porque só retiramos água.

Passo 5

Calcular a massa de água final e, a partir disso, a massa de água removida.
Massa de água final:
m_{w,f}=u_f\cdot M_f = 0{,}10\cdot 125 = 12{,}5\\ \text{kg}.
Massa de água removida:
\text{água removida}=m_{w,i}-m_{w,f}=37{,}5-12{,}5=25\\ \text{kg}.á
Checagem rápida: a massa total caiu 150-125=25\\ \text{kg}, exatamente a água removida — consistente.

Passo 6

Calcular as umidades em base seca (explicando a fórmula e aplicando aos valores).
Fórmula de conversão (mostrando por que funciona):
Se u é a umidade em base úmida (fração), então massa água = u\cdot M e massa seca = (1-u)\cdot M. A umidade em base seca é \dfrac{\text{massa água}}{\text{massa seca}}=\dfrac{u\cdot M}{(1-u)\cdot M}=\dfrac{u}{1-u}á.
Para obter percentagem, multiplica-se por 100\%.
Aplicando para a umidade inicial u_i=0{,}25:
\text{umidade inicial (base seca)}=\frac{0{,}25}{1-0{,}25}=\frac{0{,}25}{0{,}75}=\frac{1}{3}.
Em percentagem: \dfrac{1}{3}\times 100\% = 33,\overline{3}\%.
Aplicando para a umidade final u_f=0{,}10:
\text{umidade final (base seca)}=\frac{0{,}10}{1-0{,}10}=\frac{0{,}10}{0{,}90}=\frac{1}{9}.
Em percentagem: \dfrac{1}{9}\times 100\% = 11,\overline{1}\%.
Comentário motivador: notar que em base seca os números ficam maiores (porque dividimos pela pequena massa seca) — é apenas outra forma de expressar a mesma situação.

Resposta

a) 125\\ \text{kg}
b) 25\\ \text{kg}
c) umidade inicial (base seca) =33,\overline{3}\%; umidade final (base seca) =11,\overline{1}\%

Exercícios relacionados