Um lote de peixe com massa inicial de 50 kg é seco até uma massa final de 15 kg . Sabendo que a umidade final do peixe seco é de 12 \% (base úmida), qual era a umidade inicial do peixe (em base úmida e base seca)?

Passo 1

O enunciado diz: um lote de peixe tem massa inicial de 50\\ \text{kg} e é seco até massa final de 15\\ \text{kg}. A umidade final do peixe seco é de 12\% (base úmida). As perguntas são: qual era a umidade inicial do peixe (a) em base úmida e (b) em base seca?
Informações relevantes fornecidas:
\text{massa inicial }M_i = 50\\ \text{kg},
\text{massa final }M_f = 15\\ \text{kg},
\text{umidade final (base úmida) }M_{f,\text{wb}} = 12\% = 0{,}12.ú

Passo 2

Vamos entender o que é “umidade em base úmida” e “umidade em base seca”, e as fórmulas que vamos usar. Seja W a massa de água no produto e D a massa de sólidos secos (matéria seca). A massa total M é a soma:
M = D + W.
Definições:
  • Umidade em base úmida (wet basis), M_{\text{wb}}, é a fração da massa total que é água:
M_{\text{wb}} = \frac{W}{M}.
  • Umidade em base seca (dry basis), M_{\text{db}}, é a razão entre massa de água e massa de sólidos secos:
M_{\text{db}} = \frac{W}{D}.
Relação entre as duas (derivada a partir das definições):
M_{\text{db}}=\frac{M_{\text{wb}}}{1-M_{\text{wb}}} \quad\text{e}\quad M_{\text{wb}}=\frac{M_{\text{db}}}{1+M_{\text{db}}}.
Vou usar essas relações e o fato físico importante: durante a secagem não se perde (assumimos) matéria seca, ou seja, D é constante antes e depois da secagem.

Passo 3

Calcular a massa de sólidos secos D a partir dos dados finais. Usamos a massa final M_f e a umidade final M_{f,\text{wb}}:
D = M_f \cdot (1 - M_{f,\text{wb}}).
Substituindo os valores (peguei M_f e M_{f,\text{wb}} do enunciado):
D = 15 \cdot (1 - 0{,}12) = 15 \cdot 0{,}88 = 13{,}2\\ \text{kg}.

Passo 4

Como a matéria seca é conservada, a massa de sólidos secos inicial também é D=13{,}2\\ \text{kg}. Agora calculamos a massa de água inicial W_i sabendo a massa total inicial M_i:
W_i = M_i - D = 50 - 13{,}2 = 36{,}8\\ \text{kg}.
Então inicialmente havia 36{,}8\\ \text{kg} de água e 13{,}2\\ \text{kg} de sólidos secos.

Passo 5

Calcular a umidade inicial em base úmida M_{i,\text{wb}}. Pela definição:
M_{i,\text{wb}} = \frac{W_i}{M_i} = \frac{36{,}8}{50} = 0{,}736.
Convertendo para porcentagem:
M_{i,\text{wb}} = 73{,}6\%.
Interpretação: inicialmente 73{,}6\% da massa total do peixe era água.

Passo 6

Calcular a umidade inicial em base seca M_{i,\text{db}}. Pela definição:
M_{i,\text{db}} = \frac{W_i}{D} = \frac{36{,}8}{13{,}2} \approx 2{,}787878\ldots
Arredondando, M_{i,\text{db}} \approx 2{,}788. Em porcentagem (às vezes usada para base seca) isso equivale a 278{,}8\%, ou seja, havia aproximadamente 2{,}788\\ \text{kg} de água por 1\\ \text{kg} de sólidos secos.

Resposta

Umidade inicial (base úmida): 73{,}6\%
Umidade inicial (base seca): 2{,}788 (ou 278{,}8\%)

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