Um secador contínuo é alimentado com 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de maçãs fatiadas com umidade de 85 \% (base úmida). O produto final deve ter uma umidade de 5 \% (base úmida). Determine:
a) A taxa de produção de maçãs secas (kg/h).
b) A taxa de remoção de água ( \mathrm{kg} / \mathrm{h} ).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas. Dados fornecidos:
F = 800\\ \mathrm{kg/h}
\text{umidade do alimento (base úmida)}\\ X_F = 85\% = 0,85ú
\text{umidade do produto final (base úmida)}\\ X_P = 5\% = 0,05ú
Perguntas:
a) Qual é a taxa de produção de maçãs secas (kg/h)? (ou seja, a massa do produto final com 5\% de umidade)
b) Qual é a taxa de remoção de água (kg/h)?

Passo 2

Conceitos e estratégias — vou explicar devagar, como se estivéssemos na prova juntos.
  • “Umidade base úmida” X significa a fração da massa total que é água. Logo a fração de sólidos secos na mistura é 1-X.
  • Em um secador contínuo, assumimos que a massa de sólidos secos não muda (os sólidos não evaporam). Portanto a massa de sólidos secos na alimentação é igual à massa de sólidos secos no produto.
    Defino variáveis:
S = \text{taxa de sólidos secos (kg/h)}ó
F = \text{taxa de alimentação total (kg/h)}çã
P = \text{taxa de produto total (kg/h)}
X_F = \text{umidade da alimentação (fração, base úmida)}çãçãú
X_P = \text{umidade do produto (fração, base úmida)}çãú
Equações fundamentais (explicando cada uma):
  • Massa de sólidos secos na alimentação:
S = F(1 - X_F).
Aqui 1-X_F é a fração de matéria seca na alimentação, multiplicada por F dá a massa de sólidos secos por hora.
  • Massa de sólidos secos no produto:
S = P(1 - X_P).
Igualando as duas (conservação de sólidos) obtemos a expressão para a produção:
P = \frac{F(1 - X_F)}{1 - X_P}.
Essa fórmula é a que vamos aplicar para obter a resposta da letra (a). Para a letra (b) podemos calcular água na alimentação e água no produto e subtrair:
\dot{W}_{\text{removida}} = F X_F - P X_P.
Também vale a verificação rápida: \dot{W}_{\text{removida}} = F - P porque a redução de massa total do processo é só água removida (os sólidos permanecem).

Passo 3

Calcular a massa de sólidos secos S na alimentação.
Usando S = F(1-X_F) com F=800\\ \mathrm{kg/h} e X_F=0,85,
S = 800\cdot(1-0,85) = 800\cdot 0,15 = 120\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: de 800\\ \mathrm{kg/h} de fatias de maçã, 120\\ \mathrm{kg/h} é matéria seca (polpa, fibras, açúcares etc.) e o restante 680\\ \mathrm{kg/h} é água.

Passo 4

Calcular a taxa de produção P do produto com 5\% de umidade usando
P = \frac{F(1 - X_F)}{1 - X_P} = \frac{S}{1-X_P}.
Substituindo S=120\\ \mathrm{kg/h} e X_P=0,05 (logo 1-X_P=0,95):
P = \frac{120}{0,95} = 126{,}315789\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando de forma adequada para duas casas decimais (prática comum em engenharia):
P \approx 126{,}32\\ \mathrm{kg/h}.
Significado: isso é a massa das maçãs secas saindo do secador, já incluindo os 5\% de água residuais.

Passo 5

Calcular a taxa de remoção de água. Primeiro calculo as massas de água na alimentação e no produto:
  • Água na alimentação:
W_F = F X_F = 800\cdot 0,85 = 680\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água no produto:
W_P = P X_P \approx 126{,}315789\cdot 0,05 = 6{,}315789\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
Agora a água removida por hora é
\dot{W}_{\text{removida}} = W_F - W_P \approx 680 - 6{,}315789 = 673{,}68421\ldots\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando para duas casas decimais:
\dot{W}_{\text{removida}} \approx 673{,}68\\ \mathrm{kg/h}.
Como verificação rápida: F - P \approx 800 - 126{,}32 = 673{,}68\\ \mathrm{kg/h}, mesma resposta (bom sinal).

Passo 6

Resumo e checagem (para você ficar confiante na prova):
  • Calculamos os sólidos secos e mostramos que eles se conservam:
P(1-X_P) \approx 126{,}32\cdot 0,95 = 120\\ \mathrm{kg/h} = S.
  • A água removida é grande (mais de 600\\ \mathrm{kg/h}), o que faz sentido porque a alimentação começou com 85\% de água e terminou com apenas 5\%.

Resposta

a) 126{,}32\\ \mathrm{kg/h}\n
b) 673{,}68\\ \mathrm{kg/h}

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