Deseja-se verificar se a emissão média de \mathrm{CO}_{2} por caminhão é inferior a 2,5 toneladas/mês após uma melhoria de roteirização. Foram coletadas 25 amostras com média 2,3 e desvio padrão 0,4 toneladas. Realize o teste \operatorname{com} \alpha=0,01.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Verificar, com nível de significância \alpha=0,01, se a emissão média de \mathrm{CO}_{2} por caminhão é inferior a 2,5 toneladas/mês após a melhoria de roteirização.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • tamanho da amostra: n=25,
  • média amostral: \bar{x}=2{,}3 (toneladas/mês),
  • desvio-padrão amostral: s=0{,}4 (toneladas/mês),
  • valor hipotético a ser testado: \mu_0=2{,}5,
  • nível de significância: \alpha=0{,}01.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (o enunciado quer saber se a média é menor que 2{,}5):
H_0: \mu = 2{,}5
H_1: \mu < 2{,}5
Explicação rápida: H_0 é a hipótese nula (não houve redução) e H_1 é a hipótese alternativa direcionada à esquerda (queremos mostrar redução).

Passo 3

Qual teste usar e por quê:
  • A variância populacional é desconhecida (o enunciado fornece apenas s), e o tamanho amostral é relativamente pequeno ( n=25).
  • Nesses casos usamos o teste t de Student para uma amostra (teste unilateral à esquerda).
    Fórmula do estatístico de teste:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
onde
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \mu_0 é a média sob H_0,
  • s é o desvio-padrão amostral,
  • n é o tamanho da amostra.
    Esse t segue aproximadamente uma distribuição t com n-1 graus de liberdade quando H_0 é verdadeira.

Passo 4

Cálculo do estatístico t passo a passo:
  • Primeiro calcule \sqrt{n}: \sqrt{25}=5.
  • Calcule o erro padrão da média: s/\sqrt{n}=0{,}4/5=0{,}08.
  • Diferença entre média amostral e hipótese: \bar{x}-\mu_0=2{,}3-2{,}5=-0{,}2.
  • Agora o estatístico:
t=\frac{-0{,}2}{0{,}08}=-2{,}5.

Passo 5

Região crítica / valor crítico:
  • Graus de liberdade: df=n-1=24.
  • Para um teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}01, o valor crítico da distribuição t é o quantil \,t_{\alpha,\,24}, que é aproximadamente -2{,}492 (valor obtido em tabela de t ou software).
  • Regra de decisão: rejeitamos H_0 se t \le t_{\alpha,24}=-2{,}492.

Passo 6

Comparação e conclusão numérica:
  • Temos t=-2{,}5 e o valor crítico é -2{,}492.
  • Como -2{,}5 < -2{,}492, o valor do estatístico está na região de rejeição.
  • Portanto rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}01.
Cálculo aproximado do p-valor (para interpretação):
  • O p-valor é p = P(T_{24} \le -2{,}5).
  • Usando tabela/softwares, esse p-valor é aproximadamente p\approx 0{,}009, ou seja, menor que 0{,}01, confirmando a decisão.
Interpretação em palavras (contexto): com os dados da amostra e ao nível de confiança de 99\%, há evidência estatística suficiente para afirmar que a emissão média de \mathrm{CO}_{2} por caminhão é inferior a 2{,}5 toneladas/mês após a melhoria de roteirização. Boa! Isso indica que a melhoria provavelmente funcionou — e você acertou em testar isso.

Resposta

Rejeita-se H_0. t=-2{,}5, p\approx 0{,}009. Há evidência, a \alpha=0{,}01, de que a média é inferior a 2{,}5 toneladas/mês.

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