Uma mistura binária benzeno/tolueno com
de benzeno é destilada em batelada a 1 atm para recuperar
do benzeno. Estime o percentual molar da mistura que deve ser destilada e a composição média do destilado, sabendo que a volatilidade relativa média igual a 2,5 . Assuma como base de cálculo uma carga inicial de 100 mol .
Passo 1
O enunciado pede que estimemos (a) o percentual molar da mistura inicial que deve ser destilado para recuperar 95% do benzeno e (b) a composição média do destilado. Informações fornecidas (tudo aqui é dado no enunciado):
Não se pede mais nenhum dado; vamos usar estes para calcular quantos mols destilar e a composição média do destilado.
Passo 2
Conceito e equação fundamental que vamos usar (expliquei como e por quê): para destilação em batelada com volatilidade relativa constante, a equação de Rayleigh relaciona a quantidade de líquido restante
com as composições inicial e final do líquido
. A forma útil é
onde:
-
é a carga inicial de líquido (moles), -
é os moles de líquido que restam no alambique após destilar, -
é a fração molar do componente mais volátil (benzeno) no líquido, -
é a fração molar do benzeno na fase vapor em equilíbrio com o líquido de fração .
Para uma volatilidade relativa constante
, a relação líquido-vapor (modelo simples de equilíbrio) é
Vou usar essa expressão para substituir
na integral da equação de Rayleigh.
Passo 3
Vamos transformar a integral substituindo
. Calculemos
e simplifiquemos a integranda:
Colocando no mesmo denominador:
Logo a integranda fica
Isto pode ser decomposto por frações simples. Observando que
portanto
Passo 4
Agora integramos a expressão entre
(inicial) e
(final no alambique):
As integrais são elementares:
Substituindo os limites:
Esta é a forma explícita da equação de Rayleigh para volatilidade relativa constante que usaremos com os números do problema.
Passo 5
Aplicando dados numéricos. Primeiro quantos mols de benzeno existem inicialmente e quantos queremos recuperar:
Recuperação desejada
significa que o benzeno no destilado é
Portanto o benzeno que fica no alambique após destilar é
Se
é os moles que restam no alambique ao final, então a fração molar final do benzeno no líquido é
Passo 6
Substituímos na equação de Rayleigh com
,
,
e
:
Como
, temos
. Vamos simplificar simbolicamente um pouco antes de calcular numericamente. Reescrevendo os logs e agrupando termos (passo algébrico que reduz muito o trabalho):
porque
e
.
Desenvolvendo os logaritmos e rearranjando (mostro apenas os passos essenciais): ao multiplicar por e mover termos, os termos com
cancelam e sobra uma equação simples para
. Fazendo essa álgebra:
Desenvolvendo os logaritmos e rearranjando (mostro apenas os passos essenciais): ao multiplicar por
onde os números são valores de
e
. Os termos
cancelam, restando
Isolando
:
Passo 7
Agora exponenciamos para obter
:
Logo
Passo 8
Agora calculamos quantos moles foram destilados e o percentual da carga inicial que isso representa:
Percentual molar da mistura destilada (base 100 mol) é simplesmente
Arredondando, cerca de
da carga inicial deve ser destilada para recuperar
do benzeno.
Passo 9
Finalmente calculamos a composição média do destilado (fração molar média de benzeno no destilado). A quantidade de benzeno no destilado foi
, então a fração molar média de benzeno no destilado é
Convertendo para porcentagem molar:
O restante é tolueno, aproximadamente
.