Uma mistura binária benzeno/tolueno com 40 \mathrm{~mol} \% de benzeno é destilada em batelada a 1 atm para recuperar 95 \% do benzeno. Estime o percentual molar da mistura que deve ser destilada e a composição média do destilado, sabendo que a volatilidade relativa média igual a 2,5 . Assuma como base de cálculo uma carga inicial de 100 mol .

Passo 1

O enunciado pede que estimemos (a) o percentual molar da mistura inicial que deve ser destilado para recuperar 95% do benzeno e (b) a composição média do destilado. Informações fornecidas (tudo aqui é dado no enunciado):
\begin{aligned} &\text{carga inicial: } W_0=100\\ \text{mol (base de cálculo)}\\\ &\text{fração molar inicial de benzeno no líquido: } x_F=0{,}40\\\ &\text{recuperação desejada de benzeno: } 95\% \Rightarrow \text{benzeno recuperado }=0{,}95\times(100\times0{,}40)\\\ &\text{volatilidade relativa média (constante aproximada): } \alpha=2{,}5\\\ &\text{pressão: }1\\ \text{atm (não afeta diretamente aqui porque usamos }\alpha\text{ constante).} \end{aligned}áçãíçãéãã
Não se pede mais nenhum dado; vamos usar estes para calcular quantos mols destilar e a composição média do destilado.

Passo 2

Conceito e equação fundamental que vamos usar (expliquei como e por quê): para destilação em batelada com volatilidade relativa constante, a equação de Rayleigh relaciona a quantidade de líquido restante W com as composições inicial e final do líquido x. A forma útil é
\ln\frac{W}{W_0}=\int_{x_0}^{x_W}\frac{dx}{y-x},
onde:
  • W_0 é a carga inicial de líquido (moles),
  • W é os moles de líquido que restam no alambique após destilar,
  • x é a fração molar do componente mais volátil (benzeno) no líquido,
  • y é a fração molar do benzeno na fase vapor em equilíbrio com o líquido de fração x.
Para uma volatilidade relativa constante \alpha, a relação líquido-vapor (modelo simples de equilíbrio) é
y=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Vou usar essa expressão para substituir y na integral da equação de Rayleigh.

Passo 3

Vamos transformar a integral substituindo y. Calculemos y-x e simplifiquemos a integranda:
y-x=\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x.
Colocando no mesmo denominador:
y-x=\frac{\alpha x - x\bigl(1+(\alpha-1)x\bigr)}{1+(\alpha-1)x} =\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.
Logo a integranda fica
\frac{1}{y-x}=\frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.
Isto pode ser decomposto por frações simples. Observando que
\frac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x},
portanto
\frac{1}{y-x}=\frac{1}{\alpha-1}\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}\Bigr).

Passo 4

Agora integramos a expressão entre x_0 (inicial) e x_W (final no alambique):
\ln\frac{W}{W_0}=\frac{1}{\alpha-1}\left[\int_{x_0}^{x_W}\frac{1}{x}\,dx+\alpha\int_{x_0}^{x_W}\frac{1}{1-x}\,dx\right].
As integrais são elementares:
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x,\qquad \int\frac{1}{1-x}\,dx=-\ln(1-x).
Substituindo os limites:
\ln\frac{W}{W_0}=\frac{1}{\alpha-1}\left[\ln\frac{x_W}{x_0}+\alpha\ln\frac{1-x_0}{1-x_W}\right].
Esta é a forma explícita da equação de Rayleigh para volatilidade relativa constante que usaremos com os números do problema.

Passo 5

Aplicando dados numéricos. Primeiro quantos mols de benzeno existem inicialmente e quantos queremos recuperar:
\text{benzeno inicial}=W_0 x_0 = 100\times 0{,}40 = 40\\ \text{mol}.
Recuperação desejada 95\% significa que o benzeno no destilado é
\text{benzeno no destilado}=0{,}95\times 40 = 38\\ \text{mol}.
Portanto o benzeno que fica no alambique após destilar é
\text{benzeno remanescente}=40-38=2\\ \text{mol}.
Se W é os moles que restam no alambique ao final, então a fração molar final do benzeno no líquido é
x_W=\frac{2}{W}.

Passo 6

Substituímos na equação de Rayleigh com \alpha=2{,}5, x_0=0{,}40, W_0=100 e x_W=2/W:
\ln\frac{W}{100}=\frac{1}{2{,}5-1}\left[\ln\frac{2/W}{0{,}40}+2{,}5\ln\frac{1-0{,}40}{1-2/W}\right].
Como 2{,}5-1=1{,}5, temos 1/( \alpha-1)=2/3. Vamos simplificar simbolicamente um pouco antes de calcular numericamente. Reescrevendo os logs e agrupando termos (passo algébrico que reduz muito o trabalho):
\ln\frac{W}{100}=\frac{2}{3}\Bigl(\ln\frac{5}{W}+2{,}5\ln\frac{0{,}6 W}{W-2}\Bigr),
porque \frac{2/W}{0{,}4}=\frac{5}{W} e \frac{0{,}6}{1-2/W}=\frac{0{,}6W}{W-2}.
Desenvolvendo os logaritmos e rearranjando (mostro apenas os passos essenciais): ao multiplicar por 3/2 e mover termos, os termos com \ln W cancelam e sobra uma equação simples para \ln(W-2). Fazendo essa álgebra:
-6{,}907755279 + \frac{3}{2}\ln W = 0{,}332373852 + \frac{3}{2}\ln W -2{,}5\ln(W-2),
onde os números são valores de \ln 100 e \ln5+2{,}5\ln0{,}6. Os termos \frac{3}{2}\ln W cancelam, restando
-6{,}907755279 = 0{,}332373852 -2{,}5\ln(W-2).
Isolando \ln(W-2):
\ln(W-2)=\frac{0{,}332373852+6{,}907755279}{2{,}5}=2{,}8960516524.

Passo 7

Agora exponenciamos para obter W-2:
W-2=\exp(2{,}8960516524)\approx 18{,}0969\\ \text{mol}.
Logo
W=18{,}0969+2=20{,}0969\\ \text{mol}\quad\text{(moles que permanecem no alambique)}.

Passo 8

Agora calculamos quantos moles foram destilados e o percentual da carga inicial que isso representa:
D=W_0-W=100-20{,}0969=79{,}9031\\ \text{mol destilados}.
Percentual molar da mistura destilada (base 100 mol) é simplesmente
\frac{D}{W_0}\times 100\% = 79{,}9031\%.
Arredondando, cerca de 79{,}9\% da carga inicial deve ser destilada para recuperar 95\% do benzeno.

Passo 9

Finalmente calculamos a composição média do destilado (fração molar média de benzeno no destilado). A quantidade de benzeno no destilado foi 38\\ \text{mol}, então a fração molar média de benzeno no destilado é
\bar{y}_D=\frac{38}{D}=\frac{38}{79{,}9031}\approx 0{,}4757.
Convertendo para porcentagem molar:
\bar{y}_D \times 100\% \approx 47{,}57\%\\ \text{benzeno (molar)}.
O restante é tolueno, aproximadamente 52{,}43\%.

Resposta

79{,}9\% (da mistura deve ser destilada)
47{,}6\% mol de benzeno no destilado (composição média do destilado)

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