Desenhar o gráfico das funções a seguir, caracterizando o tipo de curva gerada.
Passo 1
Beleza, então o enunciado quer que a gente desenhe o gráfico da função
e que a gente diga qual é o tipo de curva que aparece. Isso faz parte de funções racionais (aquelas que dão “3 dividido por x”). Pra resolver, vamos precisar entender domínio, assíntotas, comportamento pra valores grandes e pequenos de
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito mais intuitivo:
Como é divisão por
Passo 3
Vamos achar as assíntotas (linhas que o gráfico “se aproxima” mas nunca toca):
-
Vertical: acontece quando
. Como vai para se e para se , temos uma assíntota vertical em -
Horizontal: quando
, . Então tem uma assíntota horizontal em
Passo 4
Para entender a forma da curva, vamos ver o sinal e alguns pontos:
- Se
, então . O ramo vai ficar no 1º quadrante. - Se
, então . O outro ramo fica no 3º quadrante.
Pontos de referência:
-
. -
. -
. -
.
Mapeando isso no plano, você vê dois “braços”: um subindo para o infinito quando
e caindo pra zero quando
; o outro simétrico no 3º quadrante.
Passo 5
Agora que já sabemos domínio, assíntotas e esboçamos uns pontos, é só desenhar:
- Eixos
e . - A assíntota vertical
(eixo ). - A assíntota horizontal
(eixo ). - Em
, a altura é 3; em , a altura é 1. Liga os pontos com uma curva suave que nunca toca os eixos. Repete no lado negativo.
Passo 6
Teoricamente, a curva que aparece é uma hipérbole (mais exatamente uma hipérbole retangular, pois pode ser escrita como
). É aquela famosa de “dois ramos” simétricos em relação à origem.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole retangular com assíntotas
e
.