Desenhar o gráfico das funções a seguir, caracterizando o tipo de curva gerada.
f(x)=3 x^-1

Passo 1

Beleza, então o enunciado quer que a gente desenhe o gráfico da função
f(x) = 3,x^-1
e que a gente diga qual é o tipo de curva que aparece. Isso faz parte de funções racionais (aquelas que dão “3 dividido por x”). Pra resolver, vamos precisar entender domínio, assíntotas, comportamento pra valores grandes e pequenos de , e então traçar o esboço juntando tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito mais intuitivo:
f(x) = 3,x^-1 = 3x
Como é divisão por x in Rsetminus0, não podemos ter . Então o domínio é

Passo 3

Vamos achar as assíntotas (linhas que o gráfico “se aproxima” mas nunca toca):
  1. Vertical: acontece quando x = 0. Como y = 0 vai para se e para se , temos uma assíntota vertical em
  2. Horizontal: quando , . Então tem uma assíntota horizontal em

Passo 4

Para entender a forma da curva, vamos ver o sinal e alguns pontos:
  • Se , então . O ramo vai ficar no 1º quadrante.
  • Se , então . O outro ramo fica no 3º quadrante.
Pontos de referência:
  • .
  • .
  • .
  • .
Mapeando isso no plano, você vê dois “braços”: um subindo para o infinito quando e caindo pra zero quando ; o outro simétrico no 3º quadrante.

Passo 5

Agora que já sabemos domínio, assíntotas e esboçamos uns pontos, é só desenhar:
  • Eixos e .
  • A assíntota vertical (eixo ).
  • A assíntota horizontal (eixo ).
  • Em , a altura é 3; em , a altura é 1. Liga os pontos com uma curva suave que nunca toca os eixos. Repete no lado negativo.

Passo 6

Teoricamente, a curva que aparece é uma hipérbole (mais exatamente uma hipérbole retangular, pois pode ser escrita como ). É aquela famosa de “dois ramos” simétricos em relação à origem.

Resposta

O gráfico de é uma hipérbole retangular com assíntotas e .

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