Sobre o Sistema Francês (Price), assinale a alternativa correta:
a) Um plano de amortização corresponde a um empréstimo no valor de \mathrm{R} \ 40.000,00 para ser liquidado por meio de 96 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira até o final doçõé1^{\circ} mês. Considerou-se o sistema francês de amortização, à taxa de juros compostos deêêçãà1 % ao mês, obtendo-se o valor deê\mathrm{R} $650,00 para cada prestação. Conforme essas informações, o saldo devedor da dívida, imediatamente após o pagamento da 2a prestação, é de R\çãçõíóçãé39.295,50.
b) Um financiamento deverá ser quitado em 18 prestações mensais iguais de R \ 1.600,00 segundo o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price). Haverá um período de carência de dois meses, ou seja, durante esse período, os juros serão capitalizados e incorporados ao principal e a primeira prestação será paga dois meses após a contratação. A taxa de juros nominal é de 96\% a.a., com capitalização mensal. O saldo devedor imediatamente após o pagamento daçãêáíêíãçãáóçãéçãó1{ }^{a} prestação será de R\çãá14.600,00.
c) Considere um empréstimo bancário realizado no valor de \mathrm{R} \ 100.000,00 para ser liquidado em 100 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira até o final doçõé1^{\circ} mês. Sabe-se que o empréstimo foi realizado pelo regime do Sistema Francês, à taxa de juros compostos deêéêà2 % ao mês, obtendo-se o valor deê\mathrm{R} $2.800,00 para cada prestação. Com base nos dados apresentados, o saldo devedor do empréstimo, após o pagamento daçãéó2^{\mathrm{a}} prestação, será deçãá\mathrm{R} $ 99.380,00 . d) Um empréstimo de \(\mathrm{R} \\) 50.000\(deverá ser pago em 12 prestações, pelo Sistema Francês, com taxa de juros de\)1,5 \%\(mensais. Logo, o valor dos juros incluídos na primeira prestação é maior que\)\mathrm{R} \$775\( e menor que \)\mathrm{R} \$ 825.

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher a alternativa correta entre (a), (b), (c) e (d).
Dados relevantes (copiados de cada alternativa; todos os números abaixo estão em notação do enunciado):
  • Alternativa (a): empréstimo de R\$\,40.000,00, n=96 prestações mensais, taxa 1\% ao mês, valor da prestação R\$\,650,00. Afirma que o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 2^{\text{a}} prestação é R\$\,39.295,50.
  • Alternativa (b): financiamento em 18 prestações mensais iguais de R\$\,1.600,00 pelo Sistema Francês; carência de 2 meses (juros capitalizados); taxa nominal 96\% a.a. com capitalização mensal (logo taxa mensal =96\%/12); a alternativa afirma que o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1^{\text{a}} prestação será R\$\,14.600,00.
  • Alternativa (c): empréstimo de R\$\,100.000,00, n=100 prestações mensais, taxa 2\% ao mês, prestação R\$\,2.800,00. Afirma que o saldo devedor após a 2^{\text{a}} prestação será R\$\,99.380,00.
  • Alternativa (d): empréstimo de R\$\,50.000, n=12, Sistema Francês, taxa 1,5\% mensais. Afirma que os juros incluídos na primeira prestação são >\!R\$\,775 e <\!R\$\,825.

Passo 2

Relembrando as fórmulas do Sistema Francês (Price) — aula rápida e prática:
  • Fórmula da prestação nivelada (valor da parcela), onde P é o valor do empréstimo, i a taxa mensal e n o número de prestações:
R = P\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Explicando variáveis: R é a prestação fixa que paga, em cada período, primeiro os juros sobre o saldo e o resto amortiza o principal; i é a taxa por período; n é o total de prestações.
  • Saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação (ou seja, logo depois de pagar a parcela k) pode ser obtido por duas fórmulas equivalentes:
  1. saldo como valor presente das prestações restantes:
B_k = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-(\,n-k\,)}}{i}.
  1. recorrência (útil para cálculos passo a passo):
\text{antes do pagamento }(t): B_{t-1}(1+i);\qquad\text{depois do pagamento }t:\\ B_t = B_{t-1}(1+i)-R.
  • Juros pagos na primeira prestação = P\cdot i (pois são os juros sobre o saldo inicial).
  • Carência com capitalização: se há carência de m meses, o saldo no início da série de pagamentos é P(1+i)^{m}; então o valor presente no tempo da contratação é o valor desse saldo descontado (ou vice-versa).
Vou aplicar essas fórmulas em cada alternativa, mostrando contas passo a passo.

Passo 3

Dados: P = R\$\,40.000,00, i=1\%=0,01 ao mês, prestação informada R=R\$\,650,00. Querem o saldo imediatamente após a 2^{\text{a}} prestação.
Usando a fórmula recorrente (mais direto para poucos períodos):
  • Saldo inicial (no tempo zero): B_0 = R\$\,40.000,00.
  • Após 1 mês, antes do pagamento, o saldo cresce com juros: B_0(1+i) = 40.000\cdot(1,01) = 40.400. Depois do pagamento R=650:
B_1 = 40.400 - 650 = 39.750.
  • Após 2.º mês, antes do pagamento: B_1(1+i) = 39.750\cdot(1,01)=39.750\cdot1,01 = 40.147,50. Depois da segunda prestação:
B_2 = 40.147,50 - 650 = 39.497,50.
Comparação: a alternativa afirma B_2 = R\$\,39.295,50. O valor correto (com R=650) é R\$\,39.497,50. Diferença de R\$\,202,00. Portanto a alternativa (a) está incorreta.

Passo 4

Dados: prestações R=R\$\,1.600,00, n=18, carência m=2 meses (juros capitalizados), taxa nominal anual 96\% com capitalização mensal. Primeiro passo é achar a taxa mensal:
i = \frac{96\%}{12} = 8\% = 0,08\\ \text{ao mês}.ê
Interpretação da carência: não se paga nada nos dois primeiros meses; os juros desses dois meses são incorporados ao principal. Quando começam as prestações (no fim do 2.º mês) há uma série de 18 prestações iguais de R\$\,1.600,00. O saldo imediatamente antes do pagamento 1 (no instante do primeiro vencimento) é o valor presente, no tempo 2, das 18 prestações; esse saldo, após pagar a 1ª prestação, será o valor presente das 17 prestações restantes, também no tempo 2.
Fórmula útil: saldo imediatamente após a 1ª prestação (no tempo 2) é
B_1 = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-(\,n-1\,)}}{i} = 1.600\cdot\frac{1-(1,08)^{-17}}{0,08}.
Vamos calcular numericamente passo a passo (faço as potências com multiplicações sucessivas para controlar o arredondamento):
Cálculo de (1,08)^{18} (usado para obter (1,08)^{-17} e (1,08)^{-18}):
  • 1,08^2=1,1664
  • 1,08^3=1,259712
  • 1,08^4=1,36048896
  • 1,08^5=1,4693280768
  • 1,08^6=1,586874322144
  • 1,08^7=1,71382426791552
  • 1,08^8=1,8509302093487616
  • 1,08^9=1,9990046260966625
  • 1,08^{10}=2,158924996184395
  • 1,08^{11}=2,331638996879, \text{(continua)}
    Continuando até 1,08^{18} (mostro o valor final que obtive por multiplicação sucessiva):
(1,08)^{18} \approx 3,996019497170405.
Logo
(1,08)^{-18}\approx 0,2502497,\qquad (1,08)^{-17}=(1,08)^{-18}\cdot1,08\approx 0,2702697.
Agora compute o fator anuidade para 17 prestações:
a_{17}=\frac{1-(1,08)^{-17}}{0,08} \approx \frac{1-0,2702697}{0,08}=\frac{0,7297303}{0,08}\approx 9,121629.
Portanto o saldo imediatamente após a 1.ª prestação é
B_1 \approx 1.600\cdot 9,121629 \approx R\$\,14.594,61.
A alternativa afirma R\$\,14.600,00. A diferença é de aproximadamente R\$\,5,39. Esse desvio é pequeno e explicado por arredondamentos nas tabelas/manuais; numericamente o saldo calculado com precisão é R\$\,14.594,61, que é compatível com a alternativa apresentada (arredondada para R\$\,14.600,00). Dado que as demais alternativas apresentam erros muito maiores (ver passos seguintes), a alternativa (b) é a única aceitável como correta.

Passo 5

Dados: P=R\$\,100.000,00, i=2\%=0,02 ao mês, R=R\$\,2.800,00, n=100. Querem saldo após a 2^{\text{a}} prestação.
Usando a recorrência (rápido e preciso para dois períodos):
  • Após 1.º mês, antes do pagamento: 100.000\cdot(1,02)=102.000. Depois de pagar R=2.800:
B_1 = 102.000 - 2.800 = 99.200.
  • Após 2.º mês, antes do pagamento: 99.200\cdot(1,02)=101.184. Depois do pagamento:
B_2 = 101.184 - 2.800 = 98.384.
A alternativa afirma B_2 = R\$\,99.380,00. O valor correto é R\$\,98.384,00. Diferença R\$\,996,00. Logo (c) está incorreta.

Passo 6

Dados: P=R\$\,50.000, i=1,5\%=0,015 ao mês. Pergunta sobre os juros na primeira prestação — lembrando que, no Sistema Francês, os juros da primeira prestação são simplesmente P\cdot i.
Calcule:
\text{juros na 1ª prestação} = 50.000\cdot0,015 = R\$\,750,00.ªçã
A alternativa afirma que esses juros são maiores que R\$\,775 e menores que R\$\,825. Como R\$\,750,00 não está nesse intervalo, a alternativa (d) está incorreta.

Passo 7

Das quatro alternativas, (a), (c) e (d) estão claramente incorretas pelos cálculos diretos (diferenças significativas). A alternativa (b) dá um saldo imediatamente após a primeira prestação muito próximo do valor calculado com precisão ( R\$\,14.594,61 calculado vs. R\$\,14.600,00 exibido na alternativa), diferença pequena e atribuível a arredondamentos. Assim, a única alternativa aceitável como correta é a (b).

Resposta

b)

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