Sobre o Sistema Francês (Price), assinale a alternativa correta:
a) Um plano de amortização corresponde a um empréstimo no valor de
40.000,00
1^{\circ}
1 %
\mathrm{R} $650,00
39.295,50.
b) Um financiamento deverá ser quitado em 18 prestações mensais iguais de R
1.600,00
1{ }^{a}
14.600,00.
c) Considere um empréstimo bancário realizado no valor de
100.000,00
1^{\circ}
2 %
\mathrm{R} $2.800,00
2^{\mathrm{a}}
\mathrm{R} $ 99.380,00
.
a) Um plano de amortização corresponde a um empréstimo no valor de
b) Um financiamento deverá ser quitado em 18 prestações mensais iguais de R
c) Considere um empréstimo bancário realizado no valor de
Passo 1
O que o enunciado pede: escolher a alternativa correta entre (a), (b), (c) e (d).
Dados relevantes (copiados de cada alternativa; todos os números abaixo estão em notação do enunciado):
- Alternativa (a): empréstimo de
, prestações mensais, taxa ao mês, valor da prestação . Afirma que o saldo devedor imediatamente após o pagamento da prestação é . - Alternativa (b): financiamento em
prestações mensais iguais de pelo Sistema Francês; carência de meses (juros capitalizados); taxa nominal a.a. com capitalização mensal (logo taxa mensal ); a alternativa afirma que o saldo devedor imediatamente após o pagamento da prestação será . - Alternativa (c): empréstimo de
, prestações mensais, taxa ao mês, prestação . Afirma que o saldo devedor após a prestação será . - Alternativa (d): empréstimo de
, , Sistema Francês, taxa mensais. Afirma que os juros incluídos na primeira prestação são e .
Passo 2
Relembrando as fórmulas do Sistema Francês (Price) — aula rápida e prática:
- Fórmula da prestação nivelada (valor da parcela), onde
é o valor do empréstimo, a taxa mensal e o número de prestações:
Explicando variáveis:
é a prestação fixa que paga, em cada período, primeiro os juros sobre o saldo e o resto amortiza o principal;
é a taxa por período;
é o total de prestações.
- Saldo devedor imediatamente após o pagamento da
-ésima prestação (ou seja, logo depois de pagar a parcela ) pode ser obtido por duas fórmulas equivalentes:
- saldo como valor presente das prestações restantes:
- recorrência (útil para cálculos passo a passo):
- Juros pagos na primeira prestação =
(pois são os juros sobre o saldo inicial). - Carência com capitalização: se há carência de
meses, o saldo no início da série de pagamentos é ; então o valor presente no tempo da contratação é o valor desse saldo descontado (ou vice-versa).
Vou aplicar essas fórmulas em cada alternativa, mostrando contas passo a passo.
Passo 3
Dados:
,
ao mês, prestação informada
. Querem o saldo imediatamente após a
prestação.
Usando a fórmula recorrente (mais direto para poucos períodos):
- Saldo inicial (no tempo zero):
- Após 1 mês, antes do pagamento, o saldo cresce com juros:
Depois do pagamento :
- Após 2.º mês, antes do pagamento:
Depois da segunda prestação:
Comparação: a alternativa afirma
. O valor correto (com
) é
. Diferença de
. Portanto a alternativa (a) está incorreta.
Passo 4
Dados: prestações
,
, carência
meses (juros capitalizados), taxa nominal anual
com capitalização mensal. Primeiro passo é achar a taxa mensal:
Interpretação da carência: não se paga nada nos dois primeiros meses; os juros desses dois meses são incorporados ao principal. Quando começam as prestações (no fim do 2.º mês) há uma série de
prestações iguais de
. O saldo imediatamente antes do pagamento 1 (no instante do primeiro vencimento) é o valor presente, no tempo 2, das 18 prestações; esse saldo, após pagar a 1ª prestação, será o valor presente das 17 prestações restantes, também no tempo 2.
Fórmula útil: saldo imediatamente após a 1ª prestação (no tempo 2) é
Vamos calcular numericamente passo a passo (faço as potências com multiplicações sucessivas para controlar o arredondamento):
Cálculo de
(usado para obter
e
):
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Continuando até(mostro o valor final que obtive por multiplicação sucessiva):
Logo
Agora compute o fator anuidade para
prestações:
Portanto o saldo imediatamente após a 1.ª prestação é
A alternativa afirma
. A diferença é de aproximadamente
. Esse desvio é pequeno e explicado por arredondamentos nas tabelas/manuais; numericamente o saldo calculado com precisão é
, que é compatível com a alternativa apresentada (arredondada para
). Dado que as demais alternativas apresentam erros muito maiores (ver passos seguintes), a alternativa (b) é a única aceitável como correta.
Passo 5
Dados:
,
ao mês,
,
. Querem saldo após a
prestação.
Usando a recorrência (rápido e preciso para dois períodos):
- Após 1.º mês, antes do pagamento:
Depois de pagar :
- Após 2.º mês, antes do pagamento:
Depois do pagamento:
A alternativa afirma
. O valor correto é
. Diferença
. Logo (c) está incorreta.
Passo 6
Dados:
,
ao mês. Pergunta sobre os juros na primeira prestação — lembrando que, no Sistema Francês, os juros da primeira prestação são simplesmente
.
Calcule:
A alternativa afirma que esses juros são maiores que
e menores que
. Como
não está nesse intervalo, a alternativa (d) está incorreta.
Passo 7
Das quatro alternativas, (a), (c) e (d) estão claramente incorretas pelos cálculos diretos (diferenças significativas). A alternativa (b) dá um saldo imediatamente após a primeira prestação muito próximo do valor calculado com precisão (
calculado vs.
exibido na alternativa), diferença pequena e atribuível a arredondamentos. Assim, a única alternativa aceitável como correta é a (b).
Resposta
b)