Desenhe o circuito equivalente, para uma fase, do gerador síncrono. Defina cada elemento desse circuito e forneça a expressão matemática que rege o comportamento dele.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claramente: (1) desenhar o circuito equivalente por fase de um gerador síncrono, (2) definir cada elemento desse circuito e (3) fornecer as expressões matemáticas que regem o comportamento de cada elemento.
Informações implícitas que vou usar (não pedidas, mas padrão para este tipo de modelo): o circuito é representado no domínio fasorial (variáveis complexas), consideramos a fase única equivalente (ou seja, por fase), os elementos elétricos são a resistência do enrolamento do estator (armadura), a reatância síncrona (que engloba fuga e reação de armadura) e a fem interna induzida pelo rotor. Nada mais foi fornecido pelo enunciado, então uso o modelo clássico usual.
Passo 2
Descrição do circuito equivalente por fase (representação textual/fasorial do desenho): a fonte de tensão interna (fem induzida no estator) \underline{E} está em série com a resistência de armadura \,R_a e com a reatância síncrona jX_s; essa cadeia é ligada aos terminais onde aparece a tensão de terminal \underline{V_t} e circula a corrente de armadura \underline{I_a}. Em forma linear (sequência de elementos):
(compreenda o sinal: a fem interna \underline{E} “empurra” corrente através de R_a e jX_s até os terminais onde aparece \underline{V_t}). Esse é o circuito equivalente por fase clássico.
Passo 3
Definição e comportamento matemático de cada elemento — vou explicar cada elemento devagar, como se estivéssemos montando o raciocínio na prova.
Fem interna (tensão induzida) \underline{E}:
O que é: é a tensão induzida no enrolamento do estator pelo campo do rotor (excitação). É um fasor complexo que tem amplitude e fase. Muitas vezes chamada de tensão “por trás da reatância síncrona”.
Expressão física (proporcionalidade básica): \displaystyle E = k_\mathrm{e}\,\Phi\,\omega ou, em aproximação linear com a corrente de excitação,
\underline{E}\approx k_e\,I_f\!,
onde \Phi é o fluxo por polo, \omega é a frequência elétrica (rad/s), I_f é a corrente de campo e k_e é uma constante que depende do enrolamento e número de espiras. Para o raciocínio de prova você pode usar a proporcionalidade \underline{E}\propto I_f.
Observação: \underline{E} é tratada como um fasor (tem ângulo relativo a \underline{V_t}); o ângulo entre \underline{E} e \underline{V_t} costuma ser chamado de ângulo de carga ou ângulo de torque \delta.
Resistência de armadura \,R_a:
O que é: resistência elétrica do enrolamento do estator vista por fase (perdas ôhmicas).
Lei que rege: queda de tensão ôhmica dada por
\underline{V_R} = \underline{I_a}\,R_a.
Observações: R_a é geralmente pequena em máquinas síncronas de potência, mas aparece na potência dissipada P_\mathrm{perd} = I_a^2 R_a.
Reatância síncrona X_s (aparecendo como jX_s no circuito):
O que é: representa a reatância total vista pela armadura incluindo a indutância de fuga L_l e o efeito da reação de armadura (indutância de distribuição do fluxo devido à corrente de armadura). Em frequência \omega,
X_s = \omega\,(L_l + L_{ar}),
onde L_l é indutância de fuga e L_{ar} é a indutância associada à reação de armadura.
Queda de tensão: a queda fasorial sobre essa reatância é
\underline{V_X} = jX_s\,\underline{I_a}.
Observação prática: em muitos modelos usa-se X_s grande comparado a R_a, daí a simplificação R_a\approx 0 para obter a curva de potência mais simples.
Corrente de armadura \underline{I_a} e tensão terminal \underline{V_t}:
\underline{I_a} é o fasor corrente que flui para a carga através dos terminais; \underline{V_t} é a tensão medida nos terminais da máquina.
Relação por KVL (próxima etapa).
Passo 4
Equação fasorial de circuito (Lei de Kirchhoff de tensões no domínio fasorial): escrevemos a soma de quedas ao longo da série igual à fem interna:
Explanação: essas expressões vêm de aplicar KVL em fasores (somar vetorialmente as quedas). Para manipular no exame, trate \underline{I_a}, \underline{E}, \underline{V_t} como números complexos (módulo e ângulo) e faça divisões/ multiplicações conforme álgebra complexa.
Passo 5
Cálculo de potência e fórmulas práticas (coisas que costumam cair na prova). Vou deduzir a fórmula simplificada muito usada (igualdade conhecida da teoria de máquinas síncronas):
Potência complexa por fase: \displaystyle \underline{S}=\underline{V_t}\,\underline{I_a}^*=P+jQ.
Substituindo \underline{I_a} obtém-se fórmulas para P e Q (as expressões completas são um pouco extensas). Mas para prova, a expressão mais útil (e frequentemente pedida) vem com a aproximação R_a\approx 0 (pequenas perdas ôhmicas). Com R_a=0:
onde \delta é o ângulo entre os fasores \underline{E} e \underline{V_t} (ou seja, \underline{E}=E\angle\delta e \underline{V_t}=V_t\angle 0 se escolhermos \underline{V_t} como referência). Derivação curta: substitua \underline{I_a} e calcule P=\Re\{\underline{V_t}\underline{I_a}^*\} — a parte imaginária da divisão por j gera o seno. Essa equação é a famosa equação “potência-ângulo” do síncrono.
Observação sobre máximo: o máximo de P (por fase) ocorre em \delta=90^\circ e vale \dfrac{V_t E}{X_s}. Em máquinas reais o valor seguro fica bem abaixo disso.
Potência reativa por fase (com R_a\approx 0) — fórmula útil:
Q=\frac{V_t}{X_s}\big(E\cos\delta - V_t\big).
Essa fórmula mostra como, mantendo \delta fixo, aumentar E (excitação) aumenta a potência reativa entregue; é a base da regulagem de tensão por excitação.
Passo 6
Breve derivação da fórmula P=\dfrac{V_t E}{X_s}\sin\delta para você saber mostrar na prova, passo a passo:
Comece de \underline{I_a}=-j\dfrac{\underline{E}-\underline{V_t}}{X_s} (com R_a=0).
Tome \underline{V_t}=V_t\angle 0 (referência) e \underline{E}=E\angle\delta. Então\underline{E}-\underline{V_t}=E\angle\delta - V_t\angle 0.
Multiplicando por -j e usando a definição de potência P=\Re\{\underline{V_t}\underline{I_a}^*\} e desenvolvendo (textualmente: separar parte real/imaginar e usar identidades trigonométricas) chega-se em poucos passos àP=\frac{V_t E}{X_s}\sin\delta.
Se quiser, na prova faça a expansão em seno/cosseno para cada termo e mostre a parte real explicitamente — é só álgebra trigonométrica.
Passo 7
Dicas práticas para a prova (curtas e úteis, motivadoras):
Decore o circuito: \underline{E} em série com R_a e jX_s até \underline{V_t}. Essa imagem salva tempo.
Se pedirem potência ativa útil, tente primeiro a aproximação R_a\approx 0 para obter \dfrac{V_t E}{X_s}\sin\delta; só inclua R_a se a questão mencionar perdas ou pedir precisão.
Para problemas de regulação de tensão, use a fórmula de Q acima para ver efeito da excitação.
Lembre-se: \underline{E}\propto I_f (excitação) — aumentar excitação aumenta E e, tipicamente, o gerador fornece mais reativos.
Resposta
Circuito por fase: \underline{E} em série com R_a e jX_s até \underline{V_t}.\
Definições e equações principais: \underline{E} = fem interna (proporcional a \Phi e I_f; \underline{E}\approx k_e I_f).\
Queda ôhmica: \underline{V_R}=\underline{I_a}\,R_a.\
Queda reativa: \underline{V_X}=jX_s\,\underline{I_a} com X_s=\omega(L_l+L_{ar}).\
Equação fasorial KVL: \displaystyle \underline{E}=\underline{V_t}+\underline{I_a}\,(R_a+jX_s).\
Corrente de armadura: \displaystyle \underline{I_a}=\frac{\underline{E}-\underline{V_t}}{R_a+jX_s}.\
Com R_a\approx 0: \displaystyle P=\frac{V_t\,E}{X_s}\sin\delta e \displaystyle Q=\frac{V_t}{X_s}\big(E\cos\delta-V_t\big), onde \delta é o ângulo entre \underline{E} e \underline{V_t}.