Desenhe o circuito equivalente, para uma fase, do motor síncrono. Defina cada elemento desse circuito e forneça a expressão matemática que rege o comportamento dele.

Passo 1

O que o enunciado pede (em linguagem clara): desenhar o circuito equivalente para uma fase do motor síncrono, definir cada elemento do circuito e fornecer a expressão matemática que rege o comportamento de cada elemento e do conjunto. \n
Informações que temos/assumimos do enunciado (tudo relevante): \n
  • Queremos o circuito equivalente para UMA fase (modelo fasorial/estacionário). \n
  • O circuito deve representar a ligação entre a tensão terminal da fase (estator), a corrente da fase e a força eletromotriz interna produzida pelo campo do rotor. \n
  • Precisamos tanto das definições (o que é cada componente) quanto das equações que os descrevem (leis elétricas e relações máquina). \n

Passo 2

Desenho textual do circuito equivalente por fase (forma usual, simplificada e muito usada em prova): \n
A representação é uma série entre a tensão terminal da fase \underline{V}_t e a força eletromotriz interna \underline{E}_f, com a resistência de armadura e a reatância síncrona em série entre elas. Em texto: \n
\underline{V}_t R_a jX_s \underline{E}_f \n
Onde o fluxo ligado ao rotor que produz \underline{E}_f está “atrás” da reatância (ou seja, \underline{E}_f é a f.e.m. induzida pelo rotor, vista do estator). \n
(Observação curta: em modelos mais detalhados aparecem X_l (fuga), X_m (magnetização), e também reatâncias transientes X'_d, X''_d e enrolamentos amortecedores; aqui eu sigo o modelo síncrono estacionário básico com X_s.)

Passo 3

Definição e equação do resistor de armadura ( R_a): \n
  • O que é: resistência elétrica do enrolamento de fase do estator (perdas ôhmicas no cobre). \n
  • Lei que o governa (no domínio do tempo): \;v_R(t)=R_a\,i_a(t). \n
  • Em representações fasoriais (steady-state senoidal), a queda de tensão no resistor é \;\underline{V}_R=R_a\,\underline{I}_a. \n
  • Interpretação prática: converte potência elétrica em calor; geralmente R_a é pequena comparada a X_s, por isso muitas vezes se despreza em deduções simplificadas.

Passo 4

Definição e equação do indutor / reatância síncrona ( X_s): \n
  • O que é: efeito combinado das reatâncias de fuga do enrolamento e da reatância de magnetização vista do estator; no modelo simplificado chamamos isso de reatância síncrona \;X_s. \n
  • Relação com indutância: \;X_s=\omega_s L_s, onde \omega_s=2\pi f é a pulsação síncrona (rad/s) e \;L_s é a indutância síncrona da fase. \n
  • Lei (domínio do tempo para um indutor): \;v_L(t)=L_s\,\dfrac{di_a(t)}{dt}. \n
  • Em fasor: a queda de tensão no indutor é \;\underline{V}_L=j\omega_s L_s\,\underline{I}_a=jX_s\,\underline{I}_a. \n
  • Observação: a parte imaginária no fasor (o j) indica que a queda é defasada de +90^\circ em relação à corrente, característica reativa.

Passo 5

Definição e equação da força eletromotriz interna \underline{E}_f (ou E_{q}, dependendo da referência): \n
  • O que é: é a f.e.m. induzida nas fases do estator pelo campo magnético do rotor excitado (tensão “induzida” atrás da reatância síncrona). \n
  • Relação física: \;E_f é proporcional ao fluxo do rotor \Phi_f e à velocidade elétrica; em regime síncrono a velocidade é fixa, de modo que \;\underline{E}_f é controlada pela corrente de excitação I_f. Uma relação prática e linearizada usada em prova é \;\underline{E}_f = k_f\,I_f (constante k_f depende da construção da máquina). \n
  • Em termos de fluxo e velocidade: \;E_f \approx \omega_s \,\Phi_f (proporcional à variação do fluxo cortando as espiras). \n
  • A f.e.m. é um fasor com módulo e fase; a defasagem entre \underline{E}_f e \underline{V}_t é o chamado ângulo de potência \delta (veja adiante).

Passo 6

Equação fasorial fundamental do circuito por fase (relação tensão-terminal, f.e.m. interna e corrente): \n
  • Escrevemos (convenção de sinais usual, gerador → motor apenas muda interpretação do sinal de potência): \n
\underline{E}_f = \underline{V}_t + \underline{I}_a\,(R_a + jX_s)\n
ou, reorganizando (às vezes usada para motores):
\underline{V}_t = \underline{E}_f - \underline{I}_a\,(R_a + jX_s).\n
  • Explicação: a f.e.m. interna \underline{E}_f aplicada “atrás” da reatância gera, ao ver do terminal, a tensão \underline{V}_t depois de subtrair a queda de \;R_a e \;jX_s produzida pela corrente \underline{I}_a.

Passo 7

Expressão da corrente fasorial \underline{I}_a e dedução da potência interna (passo-a-passo didático): \n
  1. Isolando \underline{I}_a da equação do Passo 6:
\underline{I}_a=\dfrac{\underline{E}_f-\underline{V}_t}{R_a+jX_s}.\n
  1. Potência ativa por fase entregue pela máquina (lembrando fator 3 para trifásico): \n
    A potência por fase (complexa) é \;S_{\text{fase}}=\underline{V}_t\\ \underline{I}_a^{*}. A potência ativa por fase é \;P_{\text{fase}}=\Re\{\underline{V}_t\\ \underline{I}_a^{*}\}. Para o trifásico multiplicamos por 3. \n
  2. Formulação útil em prova (aproximação frequente: desprezar R_a porque é pequeno): com R_a\approx0 temos \;R_a+jX_s\approx jX_s, então
\underline{I}_a \approx \dfrac{\underline{E}_f-\underline{V}_t}{jX_s} = -j\dfrac{\underline{E}_f-\underline{V}_t}{X_s}.\n
  1. Usando essa aproximação e escrevendo \underline{E}_f=E_f\angle\delta e \underline{V}_t=V_t\angle 0 (escolhemos \underline{V}_t como referência de fase), a potência elétrica entregue (potência mecânica no eixo, desprezando perdas) é
P_{\text{conv}} = \dfrac{3V_t E_f}{X_s}\sin\delta.\n
  • Interpretação: \delta é o ângulo entre \underline{E}_f e \underline{V}_t (ângulo de carregamento); esse é o famoso “relacionamento potência-ângulo” do síncrono.

Passo 8

Torque eletromagnético e velocidade síncrona: \n
  • A potência elétrica convertida para o eixo (potência de arremesso) relaciona-se ao torque por
T_e = \dfrac{P_{\text{conv}}}{\omega_s}.\n
  • Substituindo a fórmula de potência:
T_e = \dfrac{3V_t E_f}{\omega_s X_s}\sin\delta.\n
  • Onde \;\omega_s=2\pi f (rad/s) é a velocidade elétrica síncrona; para máquina síncrona a velocidade mecânica do rotor é tal que a frequência vista pelo estator é constante.

Passo 9

Observações práticas e extensões que costumam cair em prova: \n
  • Se quiser mais detalhe dinâmico usa-se X_d, X'_d, X''_d (reatâncias direta transitória e subtransitória) e constantes de tempo T'_d, T''_d; servem para modelar resposta a curto prazo (curto-circuito, manobra). \n
  • Também existe o enrolamento amortecedor (damper) e o circuito de excitação (no rotor) que é modelado por uma fonte DC e resistência/indutância do circuito do rotor; em regime estacionário isso fica resumido em \underline{E}_f. \n
  • Em provas, frequentemente se pede: desenhe o circuito série com R_a e X_s e a fonte \underline{E}_f atrás; escreva \underline{E}_f=\underline{V}_t+\underline{I}_a(R_a+jX_s) e derive P=\dfrac{3V_t E_f}{X_s}\sin\delta desprezando R_a. Essas três coisas (diagrama, equação fasorial, equação potência-ângulo) geralmente bastam.

Passo 10

Resumo didático (como usar isso na prova — passo a passo curto): \n
  1. Desenhe: \underline{V}_t R_a jX_s \underline{E}_f. \n
  2. Escreva a equação fasorial: \underline{E}_f=\underline{V}_t+\underline{I}_a(R_a+jX_s). \n
  3. Se pedirem potência/torque e R_a for desprezível, use P=\dfrac{3V_t E_f}{X_s}\sin\delta e T=P/\omega_s. \n
  4. Se precisarem da corrente, isolam: \underline{I}_a=(\underline{E}_f-\underline{V}_t)/(R_a+jX_s). \n
    Isso resolve a grande maioria dos itens de prova sobre circuito equivalente de síncrono.

Resposta

Circuito por fase (texto): \underline{V}_t R_a jX_s \underline{E}_f\n
Definições e equações principais:\n
R_a: resistência da armadura (quedas ôhmicas). v_R(t)=R_a\,i_a(t). Em fasor \underline{V}_R=R_a\,\underline{I}_a.\n
X_s: reatância síncrona, X_s=\omega_s L_s. Indutor: v_L(t)=L_s\,\dfrac{di_a}{dt}. Em fasor \underline{V}_L=jX_s\,\underline{I}_a.\n
\underline{E}_f: f.e.m. interna gerada pelo rotor, proporcional ao fluxo/curto de excitação (aprox. \underline{E}_f=k_f I_f ou \;E_f\approx\omega_s\Phi_f).\n
Equação fasorial do circuito: \displaystyle \underline{E}_f=\underline{V}_t+\underline{I}_a\,(R_a+jX_s).\n
Corrente: \displaystyle \underline{I}_a=\dfrac{\underline{E}_f-\underline{V}_t}{R_a+jX_s}.\n
Potência elétrica convertida (desprezando R_a): \displaystyle P_{\text{conv}}=\dfrac{3V_t E_f}{X_s}\sin\delta.\n
Torque eletromagnético: \displaystyle T_e=\dfrac{P_{\text{conv}}}{\omega_s}=\dfrac{3V_t E_f}{\omega_s X_s}\sin\delta.

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