Desenhe uma configuração qualitativa de um fluxo incompressível em volta de um cilindro.
b. Fluxo não viscoso.

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe uma configuração qualitativa de um fluxo incompressível em volta de um cilindro, e em (b) que esse fluxo seja não viscoso.
Informações e condições relevantes (assumidas para a configuração padrão):
  • Escoamento bidimensional, estacionário, incompressível e não viscoso (escoamento potencial).
  • Há um cilindro circular rígido de raio a imerso no escoamento.
  • À distância grande do corpo o escoamento é uniforme com velocidade de referência U (direção positiva do eixo x).
  • O objetivo é representar qualitativamente as linhas de corrente (streamlines), identificar pontos importantes (por exemplo pontos de estagnação), e descrever como variam velocidade e pressão ao redor do cilindro.

Passo 2

Ideia física e método (sem resolver ainda): superposição de soluções básicas.
Explicação didática curta: em escoamentos potenciais (inviscidos e irrotacionais) pode-se construir soluções por superposição linear de campos fundamentais. Para o cilindro a solução clássica é obter o escoamento resultante da soma de:
  • um escoamento uniforme de velocidade U (vindo da esquerda para a direita), e
  • um duplo (doublet) centrado na origem com intensidade ajustada para que a superfície r=a seja uma linha de corrente (impermeabilidade).
    Essa superposição produz o escoamento que contorna o cilindro sem penetração normal na superfície.

Passo 3

Apresentando as funções potencial e de corrente (fórmulas padrão).
Explicação do que são essas funções:
  • A função potencial \varphi(r,\theta) é tal que a velocidade é o gradiente: componentes em coordenadas polares podem ser obtidas de \varphi.
  • A função de corrente \psi(r,\theta) tem linhas constantes que são as linhas de corrente (streamlines).
    Para o escoamento uniforme somado ao duplo, as expressões (em coordenadas polares (r,\theta), com o cilindro centrado na origem e fluxo vindo de \theta=\pi para \theta=0) são:
\varphi(r,\theta)=U\!\left(r+\frac{a^{2}}{r}\right)\cos\theta
\psi(r,\theta)=U\!\left(r-\frac{a^{2}}{r}\right)\sin\theta
Explanação dos termos:
  • U r\cos\theta e U r\sin\theta representam o potencial e a corrente do escoamento uniforme.
  • Os termos com \dfrac{a^{2}}{r} correspondem ao duplo (chosen para garantir impermeabilidade em r=a).
    Essas fórmulas já satisfazem as condições no infinito (escoamento uniforme) e a condição de não-penetração na superfície r=a (ver passo seguinte).

Passo 4

Velocidades a partir das funções (passo-a-passo).
Como extrair as componentes da velocidade em coordenadas polares:
  • A componente radial u_{r} é dada por u_{r}=\dfrac{\partial \varphi}{\partial r}.
  • A componente tangencial (circumferencial) u_{\theta} é dada por u_{\theta}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial \varphi}{\partial \theta}.
    (Equivalente usando \psi: u_{r}=\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial \psi}{\partial \theta} e u_{\theta}=-\dfrac{\partial \psi}{\partial r}.)
Calculando explicitamente:
u_{r}(r,\theta)=U\!\left(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)\cos\theta
u_{\theta}(r,\theta)=-U\!\left(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\right)\sin\theta
Comentário: sinais e dependências angulares mostram onde a velocidade radial e tangencial são positivas ou negativas.

Passo 5

Condição na superfície do cilindro e velocidade tangencial na superfície.
A condição de impermeabilidade exige u_{r}(r=a,\theta)=0. Substituindo:
u_{r}(a,\theta)=U\!\left(1-\frac{a^{2}}{a^{2}}\right)\cos\theta=0,
portanto a condição é satisfeita (boa checagem). A componente tangencial na superfície r=a é:
u_{\theta}(a,\theta)=-2U\sin\theta.
Interpretação física simples: sobre a superfície do cilindro a velocidade é puramente tangencial e varia com \theta; os máximos de velocidade de magnitude ocorrem em \theta=\pm \tfrac{\pi}{2}, com |u_{\theta}|_{\max}=2U.

Passo 6

Pontos de estagnação e simetria do escoamento.
Ponto de estagnação é onde a velocidade total é zero. Na superfície r=a isso ocorre quando u_{\theta}(a,\theta)=0, ou seja em \sin\theta=0. Logo os pontos de estagnação na superfície são:
  • \theta=0 (ponto frontal, na face voltada ao escoamento), coordenadas cartesianas (x,y)=(a,0).
  • \theta=\pi (ponto traseiro), coordenadas (x,y)=(-a,0).
    O escoamento é simétrico em relação aos eixos x e y (simetria frente/trás e acima/baixo) — consequência de ser potencial e da geometria circular.

Passo 7

Distribuição de pressão na superfície via Bernoulli e coeficiente de pressão.
Em escoamento não viscoso e estacionário vale a equação de Bernoulli entre infinito e um ponto sobre a superfície:
p+\tfrac{1}{2}\rho V^{2}=p_{\infty}+\tfrac{1}{2}\rho U^{2}.
Definindo o coeficiente de pressão
C_{p}=\frac{p-p_{\infty}}{\tfrac{1}{2}\rho U^{2}},
temos, usando a velocidade sobre a superfície V=|u_{\theta}(a,\theta)|=2U|\sin\theta|, a expressão (atenção: usar a velocidade quadrada sem valor absoluto)
C_{p}(\theta)=1-\frac{(2U\sin\theta)^{2}}{U^{2}}=1-4\sin^{2}\theta.
Valores notáveis:
  • Em \theta=0,\pi (estagnação): C_{p}=1 (pressão máxima).
  • Em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2} (lados): C_{p}=-3 (pressão mínima, velocidade máxima).
Comentário físico curto: essa distribuição de pressão é frontalmente simétrica; se integrar a pressão no contorno obtém-se força de arrasto zero (paradoxo de D’Alembert) — isto é, o escoamento potencial prediz arrasto nulo sobre o cilindro.

Passo 8

Características qualitativas do desenho do escoamento (o que deve aparecer no desenho).
Instruções para desenhar a figura qualitativa:
  • Desenhar um círculo de raio a centrado na origem. Marcar o eixo x horizontal (escoamento vindo da esquerda para a direita).
  • Marcar os pontos de estagnação na superfície em (a,0) e (-a,0).
  • Desenhar linhas de corrente que chegam de longe aproximadamente retas, se aproximam do cilindro, se desviam e voltam a ficar paralelas atrás do cilindro: as linhas são simétricas acima e abaixo do eixo x. Perto dos lados ( \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}) as linhas ficam mais “apertadas” indicando velocidade maior ali.
  • Indicar setas na direção do fluxo (da esquerda para a direita).
  • Opcional: desenhar algumas linhas equipotenciais (ortogonais às linhas de corrente).
  • Anotar as principais quantidades: velocidade máxima sobre a superfície |u_{\theta}|_{\max}=2U em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}, pontos de estagnação, e a fórmula do coeficiente de pressão C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta.
    Observação visual: não há separação de camada nem formação de sombra de vórtices (isso ocorreria em fluxo viscoso e/ou com separação).

Passo 9

Comentário sobre limitações e sobre o que muda no caso viscoso (motivo para distinguir).
Importante mencionar para a prova: o escoamento não viscoso (potencial) fornece um padrão simétrico sem arrasto; na realidade, fluidos viscosos desenvolvem uma camada limite sobre o cilindro e podem ocorrer separação e forças de arrasto e sustentação diferentes. Então o desenho e as previsões do escoamento potencial servem como modelo idealizado e útil para entendimento qualitativo (e para cálculos analíticos simples), mas têm limitações práticas.

Resposta

Streamlines dadas por \psi(r,\theta)=U\!\left(r-\dfrac{a^{2}}{r}\right)\sin\theta.\nStagnation points em r=a,\\ \theta=0 e r=a,\\ \theta=\pi.\nVelocidade radial e tangencial:\n u_{r}=U\!\left(1-\dfrac{a^{2}}{r^{2}}\right)\cos\theta,\n u_{\theta}=-U\!\left(1+\dfrac{a^{2}}{r^{2}}\right)\sin\theta.\nNa superfície r=a: u_{\theta}(a,\theta)=-2U\sin\theta (máximo de velocidade 2U em \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}).\nCoeficiente de pressão na superfície: C_{p}(\theta)=1-4\sin^{2}\theta.\nDesenho qualitativo: círculo de raio a, linhas de corrente simétricas contornando o cilindro, linhas mais próximas nos lados (maior velocidade), pontos de estagnação dianteiro e traseiro, sem separação e sem arrasto (D’Alembert).

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