Desenhe uma configuração qualitativa de um fluxo incompressível em volta de um cilindro.
b. Fluxo não viscoso.
b. Fluxo não viscoso.
Passo 1
O enunciado pede que eu desenhe uma configuração qualitativa de um fluxo incompressível em volta de um cilindro, e em (b) que esse fluxo seja não viscoso.
Informações e condições relevantes (assumidas para a configuração padrão):
Informações e condições relevantes (assumidas para a configuração padrão):
- Escoamento bidimensional, estacionário, incompressível e não viscoso (escoamento potencial).
- Há um cilindro circular rígido de raio
imerso no escoamento. - À distância grande do corpo o escoamento é uniforme com velocidade de referência
(direção positiva do eixo ). - O objetivo é representar qualitativamente as linhas de corrente (streamlines), identificar pontos importantes (por exemplo pontos de estagnação), e descrever como variam velocidade e pressão ao redor do cilindro.
Passo 2
Ideia física e método (sem resolver ainda): superposição de soluções básicas.
Explicação didática curta: em escoamentos potenciais (inviscidos e irrotacionais) pode-se construir soluções por superposição linear de campos fundamentais. Para o cilindro a solução clássica é obter o escoamento resultante da soma de:
Explicação didática curta: em escoamentos potenciais (inviscidos e irrotacionais) pode-se construir soluções por superposição linear de campos fundamentais. Para o cilindro a solução clássica é obter o escoamento resultante da soma de:
- um escoamento uniforme de velocidade
(vindo da esquerda para a direita), e - um duplo (doublet) centrado na origem com intensidade ajustada para que a superfície
seja uma linha de corrente (impermeabilidade).
Essa superposição produz o escoamento que contorna o cilindro sem penetração normal na superfície.
Passo 3
Apresentando as funções potencial e de corrente (fórmulas padrão).
Explicação do que são essas funções:
Explicação do que são essas funções:
- A função potencial
é tal que a velocidade é o gradiente: componentes em coordenadas polares podem ser obtidas de . - A função de corrente
tem linhas constantes que são as linhas de corrente (streamlines).
Para o escoamento uniforme somado ao duplo, as expressões (em coordenadas polares, com o cilindro centrado na origem e fluxo vindo de para ) são:
Explanação dos termos:
-
e representam o potencial e a corrente do escoamento uniforme. - Os termos com
correspondem ao duplo (chosen para garantir impermeabilidade em ).
Essas fórmulas já satisfazem as condições no infinito (escoamento uniforme) e a condição de não-penetração na superfície(ver passo seguinte).
Passo 4
Velocidades a partir das funções (passo-a-passo).
Como extrair as componentes da velocidade em coordenadas polares:
Como extrair as componentes da velocidade em coordenadas polares:
- A componente radial
é dada por . - A componente tangencial (circumferencial)
é dada por .
(Equivalente usando: e .)
Calculando explicitamente:
Comentário: sinais e dependências angulares mostram onde a velocidade radial e tangencial são positivas ou negativas.
Passo 5
Condição na superfície do cilindro e velocidade tangencial na superfície.
A condição de impermeabilidade exige . Substituindo:
A condição de impermeabilidade exige
portanto a condição é satisfeita (boa checagem). A componente tangencial na superfície
é:
Interpretação física simples: sobre a superfície do cilindro a velocidade é puramente tangencial e varia com
; os máximos de velocidade de magnitude ocorrem em
, com
.
Passo 6
Pontos de estagnação e simetria do escoamento.
Ponto de estagnação é onde a velocidade total é zero. Na superfície isso ocorre quando
, ou seja em
. Logo os pontos de estagnação na superfície são:
Ponto de estagnação é onde a velocidade total é zero. Na superfície
-
(ponto frontal, na face voltada ao escoamento), coordenadas cartesianas . -
(ponto traseiro), coordenadas .
O escoamento é simétrico em relação aos eixose (simetria frente/trás e acima/baixo) — consequência de ser potencial e da geometria circular.
Passo 7
Distribuição de pressão na superfície via Bernoulli e coeficiente de pressão.
Em escoamento não viscoso e estacionário vale a equação de Bernoulli entre infinito e um ponto sobre a superfície:
Em escoamento não viscoso e estacionário vale a equação de Bernoulli entre infinito e um ponto sobre a superfície:
Definindo o coeficiente de pressão
temos, usando a velocidade sobre a superfície
, a expressão (atenção: usar a velocidade quadrada sem valor absoluto)
Valores notáveis:
- Em
(estagnação): (pressão máxima). - Em
(lados): (pressão mínima, velocidade máxima).
Comentário físico curto: essa distribuição de pressão é frontalmente simétrica; se integrar a pressão no contorno obtém-se força de arrasto zero (paradoxo de D’Alembert) — isto é, o escoamento potencial prediz arrasto nulo sobre o cilindro.
Passo 8
Características qualitativas do desenho do escoamento (o que deve aparecer no desenho).
Instruções para desenhar a figura qualitativa:
Instruções para desenhar a figura qualitativa:
- Desenhar um círculo de raio
centrado na origem. Marcar o eixo horizontal (escoamento vindo da esquerda para a direita). - Marcar os pontos de estagnação na superfície em
e . - Desenhar linhas de corrente que chegam de longe aproximadamente retas, se aproximam do cilindro, se desviam e voltam a ficar paralelas atrás do cilindro: as linhas são simétricas acima e abaixo do eixo
. Perto dos lados ( ) as linhas ficam mais “apertadas” indicando velocidade maior ali. - Indicar setas na direção do fluxo (da esquerda para a direita).
- Opcional: desenhar algumas linhas equipotenciais (ortogonais às linhas de corrente).
- Anotar as principais quantidades: velocidade máxima sobre a superfície
em , pontos de estagnação, e a fórmula do coeficiente de pressão .
Observação visual: não há separação de camada nem formação de sombra de vórtices (isso ocorreria em fluxo viscoso e/ou com separação).
Passo 9
Comentário sobre limitações e sobre o que muda no caso viscoso (motivo para distinguir).
Importante mencionar para a prova: o escoamento não viscoso (potencial) fornece um padrão simétrico sem arrasto; na realidade, fluidos viscosos desenvolvem uma camada limite sobre o cilindro e podem ocorrer separação e forças de arrasto e sustentação diferentes. Então o desenho e as previsões do escoamento potencial servem como modelo idealizado e útil para entendimento qualitativo (e para cálculos analíticos simples), mas têm limitações práticas.
Importante mencionar para a prova: o escoamento não viscoso (potencial) fornece um padrão simétrico sem arrasto; na realidade, fluidos viscosos desenvolvem uma camada limite sobre o cilindro e podem ocorrer separação e forças de arrasto e sustentação diferentes. Então o desenho e as previsões do escoamento potencial servem como modelo idealizado e útil para entendimento qualitativo (e para cálculos analíticos simples), mas têm limitações práticas.
Resposta
Streamlines dadas por
.\nStagnation points em
e
.\nVelocidade radial e tangencial:\n
,\n
.\nNa superfície
:
(máximo de velocidade
em
).\nCoeficiente de pressão na superfície:
.\nDesenho qualitativo: círculo de raio
, linhas de corrente simétricas contornando o cilindro, linhas mais próximas nos lados (maior velocidade), pontos de estagnação dianteiro e traseiro, sem separação e sem arrasto (D’Alembert).