Desenhe o conjunto de nível da função
dada por:
.
Passo 1
O enunciado pede para “desenhar” (ou seja, identificar geometricamente) os conjuntos de nível em
de duas funções distintas. O conteúdo aqui é superfícies de nível: para cada valor constante
, estudamos
Para isso, basta isolar a equação
e reconhecer a forma geométrica resultante.
Passo 2
Considere primeiro
Fixando um nível
, o conjunto de nível é
Repare que
não aparece nessa equação, ou seja, para cada ponto
que satisfaça essa relação,
pode ser qualquer real. Logo obtemos um cilindro.
Passo 3
No plano
,
é uma elipse de semi-eixos
(direção
) e
(direção
). Como
é livre, essa elipse “se estende” ao longo de todo o eixo
. Conclusão: para cada
temos um cilindro elíptico de eixo paralelo a
; para
reduz-se ao eixo
em
.
Passo 4
Agora considere
Escolhendo um nível
, escrevemos
Como a função exponencial é positiva, só faz sentido
. Aplicando
, obtemos
Passo 5
A equação
é uma esfera de raio
centrada na origem. Note que
assume valores em
, pois em
temos
e, à medida que
,
. Portanto para cada
a superfície de nível é uma esfera não degenerada; para
é o ponto
; para
ou
não há nível.
Resposta
Para
, os conjuntos de nível
são cilindros elípticos de eixo paralelo a
.
Para , os conjuntos de nível
são esferas de raio
centradas na origem (definidas para
).
Para