Desenhe o conjunto de nível da função f dada por:
f(x, y, z)=x^24+z^2 (f) f(x, y, z)=e^-(x^2+y^2+z^2).

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar” (ou seja, identificar geometricamente) os conjuntos de nível em R^3 de duas funções distintas. O conteúdo aqui é superfícies de nível: para cada valor constante lambda, estudamos
(x,y,z)mid f(x,y,z)=lambda
Para isso, basta isolar a equação f(x,y,z)=lambda e reconhecer a forma geométrica resultante.

Passo 2

Considere primeiro
f(x,y,z)=x^24+z^2
Fixando um nível lambda>=0, o conjunto de nível é
x^24+z^2=lambda
Repare que y não aparece nessa equação, ou seja, para cada ponto (x,z) que satisfaça essa relação, y pode ser qualquer real. Logo obtemos um cilindro.

Passo 3

No plano xz,
x^24+z^2=lambda
é uma elipse de semi-eixos 2raizlambda (direção x) e raizlambda (direção z). Como y é livre, essa elipse “se estende” ao longo de todo o eixo y. Conclusão: para cada lambda>0 temos um cilindro elíptico de eixo paralelo a Oy; para lambda=0 reduz-se ao eixo Oz em x=0.

Passo 4

Agora considere
f(x,y,z)=expl(-(x^2+y^2+z^2)r)
Escolhendo um nível c, escrevemos
expl(-(x^2+y^2+z^2)r)=c
Como a função exponencial é positiva, só faz sentido c>0. Aplicando ln, obtemos
-(x^2+y^2+z^2)=ln c Longrightarrow x^2+y^2+z^2=-ln c

Passo 5

A equação
x^2+y^2+z^2=-ln c
é uma esfera de raio raiz-ln c centrada na origem. Note que f assume valores em (0,1], pois em (x,y,z)=(0,0,0) temos f=1 e, à medida que |(x,y,z)|toinfty, fto0^+. Portanto para cada cin(0,1) a superfície de nível é uma esfera não degenerada; para c=1 é o ponto (0,0,0); para c>=1 ou c<=0 não há nível.

Resposta

Para f(x,y,z)=tfracx^24+z^2, os conjuntos de nível tfracx^24+z^2=lambda são cilindros elípticos de eixo paralelo a Oy.
Para f(x,y,z)=exp(-(x^2+y^2+z^2)), os conjuntos de nível exp(-(x^2+y^2+z^2))=c são esferas de raio raiz-ln c centradas na origem (definidas para 0<c<=1).

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