Desenhe curvas de nível, para diferentes valores do parâmetro (altura)
, para o parabolóide
e para o ramo positivo do cone
; note que em ambos os casos as curvas de nível são circunferências centradas na origem. Quais as principais diferenças entre esses conjuntos?
Passo 1
Vou desenhar as curvas de nível de duas superfícies quadráticas: o parabolóide circular
e o ramo positivo do cone
. Para isso vou usar o conceito de nível em funções de duas variáveis: fixar
e achar a curva no plano
.
Passo 2
Para o parabolóide, a curva de nível vem de
com
. Isso é simplesmente uma circunferência de centro na origem e raio
Então, para cada valor de
eu desenharia um círculo de raio
.
Passo 3
No caso do cone positivo, fixamos
o que equivale a
Assim as curvas de nível são circunferências centradas na origem de raio
Para cada
desenha-se um círculo de raio
.
Passo 4
A principal diferença está em como o raio cresce quando
varia. No parabolóide temos
que cresce de forma desacelerada conforme
aumenta. No cone,
cresce de forma linear, sempre na mesma taxa.
Passo 5
Em termos de espaçamento entre curvas: no cone as circunferências ficam igualmente separadas no plano porque
é constante. No parabolóide, para um mesmo incremento
o incremento de raio
diminui à medida que
aumenta, de modo que as curvas de nível ficam mais próximas quando subimos em
.
Passo 6
Gráficos (desenhos no plano
): para o parabolóide círculos de raios
; para o cone círculos de raios
.
Resposta
As curvas de nível do parabolóide são circunferências de raio
, enquanto as do cone têm raio
. Isso faz com que, para incrementos iguais de altura
, os círculos do cone fiquem igualmente espaçados no plano, mas os do parabolóide fiquem cada vez mais próximos à medida que
cresce, devido ao crescimento mais lento de
em relação a
.