Desenhe curvas de nível, para diferentes valores do parâmetro (altura) c >= 0, para o parabolóide z=x^2+y^2 e para o ramo positivo do cone z=raizx^2+y^2; note que em ambos os casos as curvas de nível são circunferências centradas na origem. Quais as principais diferenças entre esses conjuntos?

Passo 1

Vou desenhar as curvas de nível de duas superfícies quadráticas: o parabolóide circular z=x^2+y^2 e o ramo positivo do cone z=raizx^2+y^2. Para isso vou usar o conceito de nível em funções de duas variáveis: fixar z=c e achar a curva no plano (x,y).

Passo 2

Para o parabolóide, a curva de nível vem de x^2+y^2=c,, com c>=0. Isso é simplesmente uma circunferência de centro na origem e raio r=raizc, Então, para cada valor de c eu desenharia um círculo de raio raizc.

Passo 3

No caso do cone positivo, fixamos raizx^2+y^2=c,, o que equivale a x^2+y^2=c^2, Assim as curvas de nível são circunferências centradas na origem de raio r=c, Para cada c>=0 desenha-se um círculo de raio c.

Passo 4

A principal diferença está em como o raio cresce quando c varia. No parabolóide temos r(c)=raizc que cresce de forma desacelerada conforme c aumenta. No cone, r(c)=c cresce de forma linear, sempre na mesma taxa.

Passo 5

Em termos de espaçamento entre curvas: no cone as circunferências ficam igualmente separadas no plano porque De é constante. No parabolóide, para um mesmo incremento De o incremento de raio De diminui à medida que c aumenta, de modo que as curvas de nível ficam mais próximas quando subimos em z.

Passo 6

Gráficos (desenhos no plano (x,y)): para o parabolóide círculos de raios 0,raiz1,raiz2,raiz3,dots; para o cone círculos de raios 0,1,2,3,dots.

Resposta

As curvas de nível do parabolóide são circunferências de raio r=raizc, enquanto as do cone têm raio r=c. Isso faz com que, para incrementos iguais de altura c, os círculos do cone fiquem igualmente espaçados no plano, mas os do parabolóide fiquem cada vez mais próximos à medida que c cresce, devido ao crescimento mais lento de raizc em relação a c.

Exercícios relacionados