Resolva o sistema de equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais onde precisamos encontrar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ que satisfazem ambas as equações. Para resolver isso, vamos usar métodos de sistemas lineares aplicados a equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
Aqui, $ x’ $ e $ y’ $ representam as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação ao tempo $ t $.
Passo 3
Vamos isolar uma das derivadas para facilitar. Observando a segunda equação:
Passo 4
Agora, substituímos $ x’ $ na primeira equação usando a expressão que encontramos:
Passo 5
Temos agora uma nova equação envolvendo $ y’ $, $ x $ e $ y $:
Passo 6
Vamos derivar a expressão de $ x’ $ para obter $ x’’ $:
Substituindo $ x’ = 3x + 2y $ e $ y’ = -3x -4y $ na equação acima:
Passo 7
Agora temos uma equação de segunda ordem para $ x $:
Mas sabemos que $ y = \frac{x’ - 3x}{2} $ a partir da expressão de $ x’ $. Substituindo isso na equação de $ x’’ $:
Passo 8
Rearranjando a equação:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 9
Para resolver, achamos as raízes da equação característica:
Calculando o discriminante:
Isso dá:
Passo 10
Com as raízes, a solução geral para $ x(t) $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (caso existam).
Passo 11
Agora, voltamos para encontrar $ y(t) $ usando a expressão que encontramos antes:
Primeiro, derivamos $ x(t) $:
Substituindo na expressão de $ y $:
Resposta
A solução geral do sistema é: