Resolva o sistema de equações diferenciais
l x^prime+y^prime+2 y=0 x^prime-3 x-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais onde precisamos encontrar as funções $ x(t) $ e $ y(t) $ que satisfazem ambas as equações. Para resolver isso, vamos usar métodos de sistemas lineares aplicados a equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma clara:
x' + y' + 2y = 0 x' - 3x - 2y = 0
Aqui, $ x’ $ e $ y’ $ representam as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação ao tempo $ t $.

Passo 3

Vamos isolar uma das derivadas para facilitar. Observando a segunda equação:
x' - 3x - 2y = 0 Rightarrow x' = 3x + 2y

Passo 4

Agora, substituímos $ x’ $ na primeira equação usando a expressão que encontramos:
x'

Passo 5

Temos agora uma nova equação envolvendo $ y’ $, $ x $ e $ y $:
y'

Passo 6

Vamos derivar a expressão de $ x’ $ para obter $ x’’ $:
x'
Substituindo $ x’ = 3x + 2y $ e $ y’ = -3x -4y $ na equação acima:
x''

Passo 7

Agora temos uma equação de segunda ordem para $ x $:
x
Mas sabemos que $ y = \frac{x’ - 3x}{2} $ a partir da expressão de $ x’ $. Substituindo isso na equação de $ x’’ $:
x'' = 3x - 2y

Passo 8

Rearranjando a equação:
x'' + x' - 6x = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 9

Para resolver, achamos as raízes da equação característica:
r^2 + r - 6 = 0
Calculando o discriminante:
De
Isso dá:
r1 = 2 e r2 = -3

Passo 10

Com as raízes, a solução geral para $ x(t) $ é:
x(t)
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (caso existam).

Passo 11

Agora, voltamos para encontrar $ y(t) $ usando a expressão que encontramos antes:
y(t)
Primeiro, derivamos $ x(t) $:
y = x' - 3x2
Substituindo na expressão de $ y $:
x(t)

Resposta

A solução geral do sistema é:
boxed x(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t y(t) = -dfracC12 e^2t -3C2 e^-3t

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